上饶市余干县2017届九年级上竞赛数学试卷含答案解析

第 1 页（共 24 页） 2016年江西省上饶市余干县九年级（上）竞赛数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1有两个一元二次方程 M： bx+c=0， N： bx+a=0，其中 a c 0， a c；以下列四个结论中错误的是（ ） A如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根 B如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同 C如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根 D如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1 2等腰三角形边长分别为 a， b， 2，且 a， b 是关于 x 的一元二次方程 6x+n 1=0 的两根，则 n 的值为 （ ） A 9 B 10 C 9 或 10 D 8 或 10 3如图，正方形 边长为 3点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（ s）， 面积为 y（ 则 y 关于 x 的函数图象是（ ） A B CD 4如图，二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，且 C则下列结论： 0； 0； b+1=0； B= 其中正确结论的个数是（ ） 第 2 页（共 24 页） A 4 B 3 C 2 D 1 5某同学在用描点法画二次函数 y=bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ） A 11 B 2 C 1 D 5 6如图，有一块边长为 6正三角形纸板，在它的三个角处分 别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） A 如图， O 的半径是 2， O 的弦，点 P 是弦 的动点，且 1 2，则弦对的圆周角的度数是（ ） A 60 B 120 C 60或 120 D 30或 150 8我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为 “整圆 ”如图，直线 l： y=与 x 轴、 y 轴分别交 于 A、 B， 0，点 P 在 x 轴上， P 与 l 相切，当 P 在线段 得 P 成为整圆的点 P 个数是（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 第 3 页（共 24 页） 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9关于 x 的一元二次方程 3x 1=0 的两个不相等的实数根都在 1 和 0 之间（不包括 1 和 0），则 a 的取值范围是 10如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=2x+2 上运动过点 A 作 x 轴于点 C，以 对角线作矩形 结 对角线 最小值为 11如图，在扇形 ， 0，扇形半径为 r，点 C 在 上， 足为D，当 面积最大时， 的长为 12某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1m 宽的 门已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，则能建成的饲养室面积最大为 13在 ， C=90， ， ，点 P 在以 C 为圆心， 5 为半径的圆上，连结 ，则 长为 14如图，一块直角三角板 斜边 量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是58，则 度数为 15如图，两个同心圆，大圆半径为 5圆的 半径为 3大圆的弦 小圆相交，则弦 取值范围是 第 4 页（共 24 页） 16关于 x 的方程 x m+1=0，有以下三个结论： 当 m=0 时，方程只有一个实数解；当 m 0 时，方程有两个不等的实数解； 无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号） 三、（本大题共小题，共 56 分） 17 O 为 外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图 1，图 2 中画出一条弦，使这条弦将 成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法 ） （ 1）如图 1， C； （ 2）如图 2，直线 l 与 O 相切于点 P，且 l 18已知如图，以 为直径作 O 交斜边 点 E，连接 延长交延长线于点 D，点 F 为 中点，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 O 的半径为 3， 0，求 长 19阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题 计算：（ 1 ） （ + + + ）（ 1 ） （ + + ） 令 + + =t，则 原式 =（ 1 t）（ t+ ）（ 1 t ） t =t+ t t+ 问题： （ 1）计算 （ 1 ） （ + + + + + ）（ 1 ） （ + + + ）； 第 5 页（共 24 页） （ 2）解方程（ x+1）（ x+7） =7 20抛物线 y=bx+c，若 a， b， c 满足 b=a+c，则称抛物线 y=bx+c 为 “恒定 ”抛物线 （ 1）求证： “恒定 ”抛物线 y=bx+c 必过 x 轴上的一个定点 A； （ 2）已知 “恒定 ”抛物线 y= 的顶点为 P，与 x 轴另一个交点为 B，是否存在以 x 轴另一 个交点为 C 的 “恒定 ”抛物线，使得以 边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由 21如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用 y= x2+bx+c 表示，且抛物线的点 C 到墙面 水平距离为 3m 时，到地面 距离为 m （ 1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 距离； （ 2）一辆 货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ （ 3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 第 6 页（共 24 页） 2016年江西省上饶市余干县九年级（上）竞赛数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1有两个一元二次方程 M： bx+c=0， N： bx+a=0，其 中 a c 0， a c；以下列四个结论中错误的是（ ） A如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根 B如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同 C如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根 D如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1 【考点】 根的判别式；一元二次方程的解 【分析】 利用根的判别式判断 A；利用根与系数的关系判断 B；利用一元二次方程的解的定义判断 C 与 D 【解答】 解： A、如果方程 M 有 两个相等的实数根，那么 =4，所以方程 N 也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意； B、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同，那么 =40， 0，所以 a 与 c 符号相同， 0，所以方程 N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意； C、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a+5b+c=0，两边同时除以 25，得 c+ b+a=0，所以 是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意； D、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么 bx+c=bx+a，（ a c） x2=a c，由a c，得 ， x= 1，结论错误，符合题意； 故选： D 2等腰三角形边长分别为 a， b， 2，且 a， b 是关于 x 的一元二次方程 6x+n 1=0 的两根，则 n 的值为 （ ） A 9 B 10 C 9 或 10 D 8 或 10 【考点 】 根的判别式；一元二次方程的解；等腰直角三角形 【分析】 由三角形是等腰三角形，得到 a=2，或 b=2， a=b当 a=2，或 b=2 时，得到方程的根 x=2，把 x=2 代入 6x+n 1=0 即可得到结果； 当 a=b 时，方程 6x+n1=0 有两个相等的实数根，由 =（ 6） 2 4（ n 1） =0 可的结果 【解答】 解： 三角形是等腰三角形， a=2，或 b=2， a=b 两种情况， 当 a=2，或 b=2 时， a， b 是关于 x 的一元二次方程 6x+n 1=0 的两根， 第 7 页（共 24 页） x=2， 把 x=2 代入 6x+n 1=0 得， 22 6 2+n 1=0， 解得： n=9， 当 n=9，方程的两根是 2 和 4，而 2， 4， 2 不能组成三角形， 故 n=9 不合题意， 当 a=b 时，方程 6x+n 1=0 有两个相等的实数根， =（ 6） 2 4（ n 1） =0 解得： n=10， 故选 B 3如图，正方形 边长为 3点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（ s）， 面积 为 y（ 则 y 关于 x 的函数图象是（ ） A B CD 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 首先根据正方形的边长与动点 P、 Q 的速度可知动点 Q 始终在 上，而动点 C 边、 、 上，再分三种情况进行 讨论： 0 x 1； 1 x 2； 2 x 3；分别求出 y 关于 x 的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解 【解答】 解：由题意可得 BQ=x 0 x 1 时， P 点在 上， x， 则 面积 = Q， 解 y= 3xx= A 选项错误； 1 x 2 时， P 点在 上， 则 面积 = C， 第 8 页（共 24 页） 解 y= x3= x；故 B 选项错误； 2 x 3 时， P 点在 上， 3x， 则 面积 = Q， 解 y= （ 9 3x） x= x D 选项错误 故选： C 4如图，二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，且 C则下列结论： 0； 0； b+1=0； B= 其中正确结论的个数是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 【考点】 二次函数图象与系数的关系 【分析】 由抛物线开口方向得 a 0，由抛物线的对称轴位置可得 b 0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c 0，则可对 进行判断；根据抛物线与 x 轴的交点个数得到 40，加上 a 0，则可对 进行判断；利用 C 可得到 A（ c， 0），再把 A（ c， 0）代入y=bx+c 得 bc+c=0，两边除以 c 则可对 进行判断；设 A（ 0）， B（ 0），则 OB=据抛物线与 x 轴的交点问题得到 方程 bx+c=0（ a 0）的两根，利用根与系数的关系得到 x1，于是 B= ，则可对 进行判断 【解答】 解： 抛物线开口向下， a 0， 抛物线的对称轴在 y 轴的右侧， b 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0， 0，所以 正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， =40， 而 a 0， 0，所以 错误； 第 9 页（共 24 页） C（ 0， c）， C， A（ c， 0）， 把 A（ c， 0）代入 y=bx+c 得 bc+c=0， b+1=0，所以 正确； 设 A（ 0）， B（ 0）， 二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象与 x 轴交于 A， B 两点， 方程 bx+c=0（ a 0）的两根， x1， B= ，所以 正确 故选： B 5某同学在用描点法画二次函数 y=bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ） A 11 B 2 C 1 D 5 【考点】 二次函数的图象 【分析】 根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案 【解答】 解：由函数图象关于对称轴对称，得 （ 1， 2），（ 0， 1），（ 1， 2）在函数图象上， 把（ 1， 2），（ 0， 1），（ 1， 2）代入函数解析式，得 ， 解得 ， 函数解析式为 y= 3 x=2 时 y= 11， 故选： D 6如图，有一块边长为 6正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） 第 10 页（共 24 页） A 考点】 二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质 【分析】 如图，由等边三角形的性质可以得出 A= B= C=60，由三个筝形全等就可以得出 E=G=K，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出E=G=K，四边形 边形 边形 矩形，且全等连结 明 可以得出 0，设 OD=x，则 x，由勾股定理就可以求出 x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论 【解答】 解： 等边三角形， A= B= C=60， C= 筝形 筝形 筝形 E=G=K 折叠后 是一个三棱柱， E=G=K，四边形 边形 边形 为矩形 0 连结 在 ， ， 0 设 OD=x，则 x，由勾股定理就可以求出 x， 2 x， 纸盒侧面积 =3x（ 6 2 x） = 6 8x， = 6 （ x ） 2+ ， 当 x= 时，纸盒侧面积最大为 故选 C 7如图， O 的半径是 2， O 的弦，点 P 是弦 的动点，且 1 2，则弦对的圆周角的度数是（ ） 第 11 页（共 24 页） A 60 B 120 C 60或 120 D 30或 150 【考点】 圆周角定理；含 30 度角的直角三角形；垂径定理 【分析】 作 图，利用垂线段最短得 ，则根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 0，根据三角形内角和定理可计算出 20，则可根据圆周角定理得到 0，根据圆内接四边形的性质得 F=120，所以弦 对的圆周角的度数为 60或 120 【解答】 解：作 图， 点 P 是弦 的动点，且 1 2， ， 0， 20， 0， E+ F=180， F=120， 即弦 对的圆周角的度数为 60或 120 故选 C 8我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为 “整圆 ”如图，直线 l： y=与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B， 0，点 P 在 x 轴上， P 与 l 相切，当 P 在线段 得 P 成为整圆的点 P 个数是（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【考点】 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征 第 12 页（共 24 页） 【分析 】 根据直线的解析式求得 ，进而求得 2，根据切线的性质求得 B，根据 0，求得 后根据 “整圆 ”的定义，即可求得使得 P 成为整圆的点 P 的坐标，从而求得点 P 个数 【解答】 解： 直线 l： y= 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B， B（ 0， 4 ）， ， 在 ， 0， =12， P 与 l 相切，设切点为 M，连接 设 P（ x， 0）， 2 x， P 的半径 x， x 为整数， 整数， x 可以取 0， 2， 4， 6， 8， 10， 6 个数， 使得 P 成为整圆的点 P 个数是 6 故选： A 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 9关于 x 的一元二次方程 3x 1=0 的两个不相等的实数根都在 1 和 0 之间（不包括 1 和 0），则 a 的取值范围是 a 2 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 首先根据根的情况利用根的判别式解得 a 的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在 1 和 0 之间（不包括 1 和 0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得 a，易得 a 的取值范围 【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程 3x 1=0 的两个不相等的实数根 =（ 3） 2 4 a （ 1） 0， 解得： a 设 f（ x） =3x 1，如图， 实数根都在 1 和 0 之间， 1 ， 第 13 页（共 24 页） a ， 且有 f（ 1） 0， f（ 0） 0， 即 f（ 1） =a （ 1） 2 3 （ 1） 1 0， f（ 0） = 1 0， 解得： a 2， a 2， 故答案为： a 2 10如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=2x+2 上运动过点 A 作 x 轴于点 C，以 对角线作矩形 结 对角线 最小值为 1 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；矩形的性质 【分析】 先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（ 1， 1），再根据矩形的性质得 C，由于 长等于点 A 的纵坐标，所以当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1，从而得到 最小值 【解答】 解： y=2x+2=（ x 1） 2+1， 抛物线的顶点坐标为（ 1， 1）， 四边形 矩形， C， 而 x 轴， 长等于点 A 的纵坐标， 当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1， 对角线 最小值为 1 故答案为 1 11如图，在扇形 ， 0，扇形半径为 r，点 C 在 上， 足为D，当 面积最大时， 的长为 第 14 页（共 24 页） 【考点】 垂径定理；弧长的计算；解直角三角形 【分析】 由 OC=r，点 C 在 上， 用勾股定理可得 长，求出 时 面积最大， 5时，利用弧长公示得到答案 【解答】 解： OC=r，点 C 在 上， = ， S ， S = （ ） 2+ 当 ，即 r 时 面积最大， 5， 5， 的长为： = r， 故答案为： 12某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1m 宽的门已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，则能建成的饲养室面积最大为 75 【考点】 二次函数的应用 【分析】 设垂直于墙的材料长为 x 米，则平行于墙的材料长为 27+3 3x=30 3x，表示出总面积 S=x（ 30 3x） = 30x= 3（ x 5） 2+75 即可求得面积的最值 【解答 】 解：设垂直于墙的材料长为 x 米， 则平行于墙的材料长为 27+3 3x=30 3x， 则总面积 S=x（ 30 3x） = 30x= 3（ x 5） 2+75， 故饲养室的最大面积为 75 平方米， 故答案为： 75 第 15 页（共 24 页） 13在 ， C=90， ， ，点 P 在以 C 为圆心， 5 为半径的圆上，连结 ，则 长为 3 或 【考点】 点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理 【分析】 连结 延长线交 C 于 P，如图， 先计算出 根据勾股定理的逆定理得 0，再根据垂径定理得到 B=4，接着证明四边形 矩形，则 C=3，然后在 利用勾股定理计算出 PA= ，从而得到满足条件的长为 3 或 【解答】 解：连结 延长线交 C 于 P，如图， ， ， ， 直角三角形， 0， B=4， C=90， 而 C=4， 四边形 矩形， C=3， 在 ， ， 8， PA= = ， 长为 3 或 故答案为 3 或 14如图，一块直角三角板 斜边 量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是58，则 度数为 61 【考点】 圆周角定理 【分析】 首先连接 直角三角板 斜边 量角器的直径恰好重合，可得点 A，B， C， D 共圆，又由点 D 对应的刻度是 58，利用圆周角定理求解即可求得 度数，继而求得答案 第 16 页（共 24 页） 【解答】 解：连接 直角三角板 斜边 量角器的直径恰好重合， 点 A， B， C， D 共圆， 点 D 对应的刻度是 58， 8， 9， 0 1 故答案为： 61 15如图，两个同心圆，大圆半径为 5圆的半径为 3大圆的弦 小圆相交，则弦 取值范围是 8 10 【考点】 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理 【分析】 解决此题首 先要弄清楚 什么时候最大，什么时候最小当 小圆相切时有一个公共点，此时可知 小；当 过同心圆的圆心时，弦 大且与小圆相交有两个公共点，此时 大，由此可以确定所以 取值范围 【解答】 解：如图，当 小圆相切时有一个公共点 D， 连接 得 D 为 中点，即 D， 在 ， ， ， ， ； 当 过同心圆的圆心时，弦 大且与小圆相交有两 个公共点， 此时 0， 所以 取值范围是 8 10 故答案为： 8 10 第 17 页（共 24 页） 16关于 x 的方程 x m+1=0，有以下三个结论： 当 m=0 时，方程只有一个实数解；当 m 0 时，方程有两个不等的实数解； 无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是 （填序号） 【考点】 根的判别式；一元一次方程的解 【分析】 分别讨论 m=0 和 m 0 时方程 x m+1=0 根的情况，进而填空 【解答】 解：当 m=0 时， x= 1，方程只有一个解， 正确； 当 m 0 时，方程 x m+1=0 是一元二次方程， =1 4m（ 1 m） =1 4m+4 2m 1） 2 0，方程有两个实数解， 错误； 把 x m+1=0 分解为（ x+1）（ m+1） =0， 当 x= 1 时， m 1 m+1=0，即 x= 1 是方程 x m+1=0 的根， 正确； 故答案为 三、（本大题共小题，共 56 分） 17 O 为 外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图 1，图 2 中画出一条弦，使这条弦将 成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法） （ 1）如图 1， C； （ 2）如图 2，直线 l 与 O 相切于点 P，且 l 【考点】 作图 复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质 【分析】 （ 1）过点 C 作直径 于 C， = ，根据垂径定理的推理得 直平分 以 成面积相等的两部分； （ 2）连结 延长交 E，过点 A、 E 作弦 于直线 l 与 O 相切于点 P，根据切线的性质得 l， 而 l 据垂径定理得 E，所以弦 成面积相等的两部分 【解答】 解：（ 1）如图 1， 直径 所求； （ 2）如图 2， 弦 所求 第 18 页（共 24 页） 18已知如图，以 为直径作 O 交斜边 点 E，连接 延长交延长线于点 D，点 F 为 中点，连接 （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 O 的半径为 3， 0，求 长 【考点】 切线的判定 【分析】 （ 1）连接 F 为 中点， O，得到 于 O 的直径，得出 据 出 是得到 在直线垂直平分 出 E， C，再由 0，即可得到结论 （ 2）证出 等边三角形，得到 0，再由直角三角形的性质即可得到结果 【解答】 证明：（ 1）如图 1，连接 F 为 中点， O， O 的直径， 在直线垂直平分 E， C， 0 0 0， 即： 0 0， 0 0， 即： 0， O 的切线； （ 2）如图 2， O 的半径为 3， O=， 0， E， 0， 0， 在 ， 0， ， ， 在 ， 0， ， ， 第 19 页（共 24 页） 19阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题 计算：（ 1 ） （ + + + ）（ 1 ） （ + + ） 令 + + =t，则 原式 =（ 1 t）（ t+ ）（ 1 t ） t =t+ t t+ 问题： （ 1）计算 （ 1 ） （ + + + + + ）（ 1 ） （ + + + ）； （ 2）解方程（ x+1）（ x+7） =7 【考点】 换元法解一元二次方程；有理数的混合运算 【分析】 （ 1）设 + + =t，则原式 =（ 1 t） （ t+ ）（ 1 t ） t，进行计算即可； （ 2）设 x+1=t，则原方程化为： t（ t+6） =7，求出 t 的值，再解一元二次方程即可 【解答】 解：（ 1）设 + + =t， 则原式 =（ 1 t） （ t+ ）（ 1 t ） t =t+ t t+t = ； （ 2）设 x+1=t， 第 20 页（共 24 页） 则原方程化为： t（ t+6） =7， t 7=0， 解得： t= 7 或 1， 当 t=1 时， x+1=1， x=0， x（ x+5） =0， x=0， x+5=0， ， 5； 当 t= 7 时， x+1= 7， x+8=0， 42 4 1 8 0， 此时方程无解； 即原方程的解为： ， 5 20抛物线 y=bx+c，若 a， b， c 满足 b=a+c，则称抛物线 y=bx+c 为 “恒定 ”抛物线 （ 1）求证： “恒定 ”抛物线 y=bx+c 必过 x 轴上的一个定点 A； （ 2）已知 “恒定 ”抛物线 y= 的顶点为 P，与 x 轴另一个交点为 B，是否存在以 x 轴另一个交点为 C 的 “恒定 ”抛物线，使得以 边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由 【考点】 二 次函数综合题 【分析】 （ 1）由 “恒定 ”抛物线 y=bx+c，得到 b=a+c，即 a b+c=0，即可确定出抛物线恒过定点（ 1， 0）； （ 2）先求出抛物线 y= 的顶点坐标和 B 的坐标，由题意得出 Q；存在两种情况： 作 M，则 P= ，证明 A=1，得出点 抛物线的解析式为 y=a（ x+2） 2 ，把点 A 坐标代入求出 a 的值即可； 顶点 Q 在 y 轴上，此时点 C 与点 B 重合；证明 出 P= ，得出点 Q 坐标，设抛物线的解析式为 y=，把点 C 坐标代入求出 a 的值即可 【解答】 （ 1）证明：由 “恒定 ”抛物线 y=bx+c， 得： b=a+c， 即 a b+c=0， 抛物线 y=bx+c， 当 x= 1 时， y=0， “恒定 ”抛物线 y=bx+c 必过 x 轴上的一个定点 A（ 1， 0）； （ 2）解：存在；理由如下： “恒定 ”抛物线 y= ， 当 y=0 时， =0， 解得： x= 1， A（ 1， 0）， B（ 1， 0）； x=0 时， y= ， 顶点 P 的坐标为（ 0， ）， 以 边的平行四边形， 对边， Q， 第 21 页（共 24 页） 存在两种情况： 如图 1 所示：作 M， 则 P= ， 0= 在 ， ， A=1， ， 点 A 和点 C 是抛物线上的对称点， C=1， 点 Q 的坐标为（ 2， ）， 设以