河北省沧州市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1在 ， a=3， b=5， ，则 ） A B C D 1 2直线 x y+1=0 的倾斜角是（ ） A B C D 3在正项等比数列 ，若 ， ，则公比为（ ） A 2 B 1 C D 4若 a b，则下列不等式成立的是（ ） A C 5若直线 l 平面 ，直线 m ，则 l 与 m 的位置关系是（ ） A l m B l 与 m 异面 C l 与 m 相交 D l 与 m 没有公共点 6已知等差数列 足 a2+a7=，则 ） A 2 B 3 C 4 D 5 7下列说法正确的是（ ） A圆台是直角梯形绕其一 边旋转而成的旋转体 B棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等 C顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正三棱锥 D圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的旋转体 8轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C，两艘轮船航行方向的夹角为 120，轮船 A 的航行速度是 25 海里 /小时，轮船 B 航行速度是 15 海里 /小时，下午 2 时两船之间的距离是（ ） A 35 海里 B 35 海里 C 35 海里 D 70 海里 9设 变量 x， y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A 5， B 5， 0） ， +） C（ ， 5 ， +） D 5， 0） （ 0， 10已知某几何体的三 视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 3 11已知点 P 为线段 y=2x， x 2， 4上任意一点，点 Q 为圆 C：（ x 3） 2+（ y+2） 2=1 上一动点，则线段 |最小值为（ ） A 1 B C D 12已知数列 足 ， = ， ，则使 63 的最小的 n 为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分 . 13关于 x 的不等 式 280 的解集为（ 2， 4），则 a= 14在三棱锥 V ， B=C=2， ， ，则二面角 V 15已知 m 0， n 0 且满足 2m+3n=2，则 + 的最小值是 16已知三棱锥 A ， D=D= ， C= ，则该三棱锥外接球的体积为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知直线 2x y+1=0， y 2=0 （ ）若 a 的值； （ ）若 a 的值，并求出 的距离 18如图，已知平面 平面 D=， ， （ ）求证： （ ）求三棱锥 B 体积 19已知锐角 内角分别为 A， B， C，其对边分别为 a， b， c，向量 =（ 2）， =（ 且 第 3 页（共 16 页） （ ）求角 B 的大小； （ ）若 b= ，求 周长的最大值 20如图，直三棱柱 各条棱长均为 4， D 是侧棱 中点 （ ）在线段 是否存在一点 M，使得 平面 存在，求出 长若不存在，请说明理由； （ ）求 平面 成角的正弦值 21已知数列 足 =3， n N*， ， bn= （ ）证明 等比数列，并求 通项公式； （ ）若 n，求数列 cn前 n 项和 22已知 A（ 1， 0）， B（ 1， 0），圆 C： 2kx+y 35=0 （ ）若过 B 点至少能作一条直线与圆 C 相切，求 k 的取值范围 （ ）当 k= 时，圆 C 上存在两点 足 0（ i=1， 2），求 | 长 第 4 页（共 16 页） 2015年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1在 ， a=3， b=5， ，则 ） A B C D 1 【考点】 正弦定理 【分析】 由正弦定理列出关系式，将 a， b 及 值代入即可求出 值 【解答】 解： a=3， b=5， ， 由正弦定理得： = = 故选 B 2直线 x y+1=0 的倾斜角是（ ） A B C D 【考点】 直线的倾斜角 【分析】 把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小 【解答】 解：直线 y+1=0 即 y= x+1，故直线的斜率等于 ，设直线的倾斜角等于 ， 则 0 ，且 ，故 =60， 故选 B 3在正项等比数列 ，若 ， ，则公比为（ ） A 2 B 1 C D 【考点】 等比数列的通项公式 【分析】 利用等比数列的通项 公式及其性质即可得出， 【解答】 解：设正项等比数列 公比为 q 0， ， ， =22q=4， 化为 q 2=0，解得 q=2 故选； A 4若 a b，则下列不等式成立的是（ ） 第 5 页（共 16 页） A C 【考点】 不等关系与不等式 【分析】 利用不等式的性质和指数函数的单调性就 看得出 【解答】 解： a b， 2a 2b 0， ， 故 D 正确 故选 D 5若直线 l 平面 ，直线 m ，则 l 与 m 的位置关系是（ ） A l m B l 与 m 异面 C l 与 m 相交 D l 与 m 没有公共点 【考点】 空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 由线面平行的定义可判断 l 与 无公共点，直线 m 在平面 内，故 l m，或 l 与m 异面 【解答】 解： 直线 l 平面 ，由线面平行的定义知 l 与 无公共点， 又直线 m 在平面 内， l m，或 l 与 m 异面， 故选 D 6已知等差数列 足 a2+a7=，则 ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数列的性质即可得出 【解答】 解：由等差数列的性质可得： a2+a7=a5+a4=，则 ， 故选： B 7下列说法正确的是（ ） A圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的旋转体 B棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等 C顶点在底面的投影为底面中心的棱锥为正三棱锥 D圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的旋转体 【考点】 棱台的 结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 根据旋转体和正棱锥的概念判断，圆柱、圆锥、圆台的旋转轴是否正确 【解答】 解： 圆台是直角梯形绕直角腰所在的直线旋转而成， A 错误； 棱台是由平行于底面的平面截得的，故棱台的上下底面一定相似，但侧棱长不一定相等， B 正确； 顶点在底面的投影为底面中心且底面是正三角形的棱锥为正三棱锥， C 错误； 圆锥是直角三角形绕其直角边所在的直线旋转而成， D 错误； 故选 B 8轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时离开海港 C，两艘轮船航行方向的夹角为 120，轮船 A 的航行速 度是 25 海里 /小时，轮船 B 航行速度是 15 海里 /小时，下午 2 时两船之间的距离是（ ） 第 6 页（共 16 页） A 35 海里 B 35 海里 C 35 海里 D 70 海里 【考点】 解三角形的实际应用 【分析】 题意可得， 0， 0， 20，作出示意图，由余弦定理可得2求 两轮船的距离 【解答】 解：由题意可得， 0， 0， 20 由余弦定理可得， 2 =4900 0 海里 故选： D 9设变量 x， y 满足约束条件 ，则 的取值范围是（ ） A 5， B 5， 0） ， +） C（ ， 5 ， +） D 5， 0） （ 0， 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义，结合数形结合进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 的几何意义是区域内的点到定点 D（ 2， 2）的斜率， 由 得 ，即 A（ 1， 3）， 由 得 ，即 B（ 5， 3）， 则 斜率 k= = 5， 斜率 k= = ， 第 7 页（共 16 页） 则 的取值范围是 k 或 k 5， 即（ ， 5 ， +）， 故选： C 10已知某几何体的三视图如图所示，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ） A B C D 3 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图知几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体， 且长方体长、宽、高分别是 1、 1、 3， 三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边是 1，三棱锥的高是 1， 该几何体的体积 V= = ， 故选： B 11已知点 P 为线段 y=2x， x 2， 4上任意一点，点 Q 为圆 C：（ x 3） 2+（ y+2） 2=1 上一动点，则线段 |最小值为（ ） A 1 B C D 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 用参数法，设出点 P（ x， 2x）， x 2， 4，求出点 P 到圆心 C 的距离 |计算|最小值即可得出结论 第 8 页（共 16 页） 【解答】 解：设点 P（ x， 2x）， x 2， 4， 则点 P 到圆 C：（ x 3） 2+（ y+2） 2=1 的圆心距离是 | = ， 设 f（ x） =5x+13， x 2， 4， 则 f（ x）是单调增函数，且 f（ x） f（ 2） =37， 所以 | ； 所以线段 |最小值为 1 故选： A 12已知数列 足 ， = ， ，则使 63 的最小的 n 为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考点】 数列递推式 【分析】 先化简已知的等式，利用待定系数法和构造法得到数列 +3是等比数列，由条件和等比数列的通项 公式求出 ，代入 求出 简使 63 即可求出最小的 n 【解答】 解：因为 ，所以 3= 两边同除 ， ， 设 ，则 ，即 k=3， =2，由 得 +3=4， 数列 +3是以 2 为公比、 4 为首项的等比数列， 则 +3=42n 1=2n+1， =2n+1 3， 由 得 =2n+1 3， 63 为 2n+1 3 63，即 2n+1 66， 26=64， 27=128， 使 63 的最小的 n 为 6， 故选： C 二、填空题 :本大题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分 . 13关于 x 的不等式 280 的解集为（ 2， 4），则 a= 1 第 9 页（共 16 页） 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出 a 的值 【解答】 解：不等式 280 的解集为（ 2， 4）， 所以方程 28 的实数根为 2 和 4， 由根与系数的关系知 2+4=2a， 2 4= 8 解得 a=1 故答 案为： 1 14在三棱锥 V ， B=C=2， ， ，则二面角 V 60 【考点】 二面角的平面角及求法 【分析】 取 中点为 D，连接 二面角 V C 的平面角，从而可得结论 【解答】 解：取 中点为 D，连接 B， 同理 所以 二面角 V C 的平面角 由题设可知 D=1，即 0 故二面角 V C 的大小为 60 故答案为： 60 15已知 m 0， n 0 且满足 2m+3n=2，则 + 的最小值是 2+ 【考点】 基本不等式 【分析】 变形利用基本不等式的性质即可得出 【解答】 解： m 0， n 0 且满足 2m+3n=2， + = （ + ）（ 2m+3n） = （ 4+ + ） （ 4+2 ） =2+ ， 当且仅当 = 时取等号 + 的最小值是 2+ 故答案为： 2+ 第 10 页（共 16 页） 16已知三棱锥 A ， D=D= ， C= ，则该三棱锥外接球的体积为 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由三棱锥的对边相等可得三棱锥 A 某一长方体的对角线组成的三棱锥，求出长方体的棱长即可得出外接球的半径，从而计算出外接球的体积 【解答】 解： D=D= ， C= ， 三棱锥 A 看做对角线分别为 ， ， 的长方体的对角线所组成的三棱锥， 设长方体的棱长为 a， b， c，则 ，解得 长方体的体对角线长为 = ，即三棱锥的外接球的直径为 ， 外接球的半径为 r= 外接球的体积 V= = = 故答 案为： 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤 17已知直线 2x y+1=0， y 2=0 （ ）若 a 的值； （ ）若 a 的值，并求出 的距离 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 （ ）利用直线垂直的性质求解；（ ）利用直线平行的性质求解即可 【解答】 解：（ ）直线 2x y+1=0， y 2=0， 若 2a 4=0，解得： a=2； （ ）若 = ， 解得： a= 8， 2x y+ =0， d= = 18如图，已知平面 平面 D=， ， （ ）求证： （ ）求三棱锥 B 体积 第 11 页（共 16 页） 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系 【分析】 （ 1）由面面垂直的性质得出 平面 是 （ 2）取 点 E，连接 勾股定理得出 而得出 面积，故而P 【解答】 证明：（ 1） 面 平面 面 面 D，面 平面 又 面 （ 2）取 点 E，连接 ， ， 四边形 平行四边形， D ， ， ， S = =4， P = = 19已知锐角 内角分别为 A， B， C，其对边分别为 a， b， c，向量 =（ 2）， =（ 且 （ ）求角 B 的大小； （ ）若 b= ，求 周长的最大值 【考点】 正弦定理；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （ ）根据向量平行列出方程，使用三角函数公式化简可求得 22B+ ） =0，结合 B 的范围得出 B 的值； 第 12 页（共 16 页） （ ）利用正弦定理求出 a=2c=2用三角函数恒等变换的应用可得 周长 L=2 A+ ） + ，利用正弦函数的性质即可得解其最大值 【解答】 解：（ ） =（ 2 ）， =（ 且 2 即 ， 22B+ ） =04 分 角 B 为锐角， 2B+ （ ， ），可得： 2B+ =， B= 6 分 （ ）由正弦定理可得： ， a=2c=2 周长 L=a+c+ =2 =2A+ ） + =2 A+ ） + ， 10 分 当 A= 时，三角形周长最大，最大值为 3 12 分 20如图，直三棱柱 各条棱长均为 4， D 是侧棱 中点 （ ）在线段 是否存在一点 M，使得 平面 存在，求出 长若不存在，请说明理由； （ ）求 平面 成角的正弦 值 【考点】 直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质 【分析】 （ ）取 中点分别为 N， M，连接 明四边形 平行四边形，即可； （ ）根据线面角的定义作出直线和平面所成角的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可 【解答】 解：（ ）在线段 存在一点 M，使得 平面 如图，取 中点分别为 N， M，连接 则 C， 四边形 平行四边形， 面 面 第 13 页（共 16 页） 平面 时 ， （ ）取 中点 E，连接 平面 又 11， 平面 连接 平面 的射影， 平面 成的角， 在直角三角形 ， ， ， 则 = ， 即 平面 成角的正弦值 21已知数列 足 =3， n N*， ， bn= （ ）证明 等比数列，并求 通项公式； （ ）若 n，求数列 cn前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式 【分析】 （ ） =3，两边同时加上 ， + =3（ ），即可 =3列 等比数列，求得 据等比数列通项公式求得 （ ）求出数列 通项公式，利用错位相减法进行求和即可 【解答】 解：（ ）证明： =3， + =3+ =3（