河南省洛阳市2015-2016学年高一下期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 17 页） 2015年河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1集合 A=（ x， y） |y=3x 2， B=（ x， y） |y=x+4，则 AB=（ ） A 3， 7 B （ 3， 7） C（ 3， 7） D 3， 7 2计算： 1 2（ ） A B C D 3过点（ 3， 1）且与直线 x 2y 3=0 垂直的直线方程是（ ） A 2x+y 7=0 B x+2y 5=0 C x 2y 1=0 D 2x y 5=0 4下列函数中，最小正周期为 且图象关于 y 轴对称的函数是（ ） A y= y= y=|D y=2x+ ） 5如图所 示的程序框图输出的结果是 S=5040，则判断框内应填的条件是（ ） A i 7 B i 7 C i 6 D i 6 6某工厂生产某种产品的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）有如表几组样本数据： x 3 4 5 6 y 3 m 相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是 =实数m 的值为 （ ） A 4 D 在区间 1， 2上随机取一个数，则 1 2 的概率为（ ） A B C D 8一个几何体的三视图如图所示，则这个几 何体的体积等于（ ） 第 2 页（共 17 页） A 12 B C D 4 9设向量 =（ 1， =（ 1， 3若 ，则 等于（ ） A B C D 10已知函数 f（ x） =x+）（其中 0| ）图象相邻对称轴的距离为 ，一个对称中心为（ ， 0），为了得到 g（ x） =图象，则只要将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 11已知函数 f（ x） =|若 0 a b，且 f（ a） =f（ b），则坐标原点 O 与圆（ x ）2+（ y+ ） 2=2 的位置关系是（ ） A点 O 在圆外 B点 O 在圆上 C点 O 在圆内 D不能确定 12已知 O 的半径为 2， A 为圆上的一个定点， B 为圆上的一个动点，若点 A， B， O 不共线，且 | t | | |对任意 t R 恒成立，则 =（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 0 分 . 13某工厂生产 A、 B、 C、 D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2： 3： 5： 2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号的产 品有 16 件，那么此样本的容量 n=_ 14如图程序运行后输出的结果是 _ 15设 f（ x） =x+） +x+） +8，其中 m， n， ， 均为实数，若 f=_ 第 3 页（共 17 页） 16已知符号函数 x） = ， f（ x） =2x，则函数 F（ x） =f（ x） f（ x）的零点个数为 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 | |=4， | |= ，（ + ） （ 2 ） =16 （ 1）求 ； （ 2）求 | + | 18学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为 n 的样本，按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出了如图的频率分布直方图，已知 50， 60）与 90， 100两组的频数分别为 24 与 6 （ 1）求 n 及频率分布直方图中的 x， y 的值； （ 2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数； （ 3）已知 90， 100组中有 2 名男生， 4 名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选 2 名作进一步调查，求 2 名学生中至少有 1 名男生的频率 19已知函数 f（ x） =2x ） + 0）的最小正周期是 （ 1）求函数 f（ x）图象的对称轴方程； （ 2）求函数 f（ x）的 单调递增区间 20如图，三棱柱 所有棱长都为 1，且侧棱与底面垂直， M 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值； （ 3）求点 C 到平面 距离 21已知 f（ x） = 是奇函数， g（ x） =x2+ 为偶函数 （ 1）求 m， n 的值； 第 4 页（共 17 页） （ 2）不等式 3f（ g（ g（ 对任意 x R 恒成 立，求实数 的取值范围 22如图，已知点 A（ 3， 0）， B（ 3， 0）， M 是线段 的任意一点，在 同侧分别作正方形 P 和 Q 是两个正方形的外接圆，它们交于点 M， N （ 1）证明：直线 过一定点 S，并求 S 的坐标； （ 2）过 A 作 Q 的割线，交 Q 于 G、 H 两点，求 |取值范围 第 5 页（共 17 页） 2015年河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 ，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的 . 1集合 A=（ x， y） |y=3x 2， B=（ x， y） |y=x+4，则 AB=（ ） A 3， 7 B （ 3， 7） C（ 3， 7） D 3， 7 【考点】 交集及其运算 【分析】 联立 A 与 B 中二元一次方程组成方程组，求出方程组的解即可得到两集合的交集即可 【解答】 解：联立 A 与 B 中方程得： ， 消去 y 得： 3x 2=x+4， 解得： x=3， 把 x=3 代入得： y=9 2=7， 方程组的解为 ， A=（ x， y） |y=3x 2， B=（ x， y） |y=x+4， AB=（ 3， 7） ， 故选： B 2计算： 1 2（ ） A B C D 【考点】 二倍角的余弦 【分析 】 利用诱导公式，降幂公式，特殊角的三角函数值即可化简求值得解 【解答】 解： 1 21 21（ 1 = 故选： C 3过点（ 3， 1）且与直线 x 2y 3=0 垂直的直线方程是（ ） A 2x+y 7=0 B x+2y 5=0 C x 2y 1=0 D 2x y 5=0 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系 【分析】 由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率 k，然后利用直线的点 斜式可求直线方程 【解答】 解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率 k= 2 所求直线的方程为 y 1= 2（ x 3）即 2x+y 7=0 故选： A 4下列函数中，最小正周期为 且图象关于 y 轴对称的函数是（ ） A y= y= 6 页（共 17 页） C y=|D y=2x+ ） 【考点】 三角函数的周期性及其求法 【分析】 利用两角和差的三角函数、诱导公式化简函数的解析式，再利用三角函数的周期性和奇偶性， 判断各个选项是否正确，从而得出结论 【解答】 解：由于 y=2x+ ）为非奇非偶函数，故它的图象不关于 排除 A； 由于 y=奇函数，它的图象关于原点对称，故排除 B； 由于 y=|周期为 = ，故排除 C； 由于 y=2x+ ） =的周期为 =，且它为偶函数，它的图象关于 y 轴对称，故满足条件， 故选： D 5如图所示的程序框图输出的结果是 S=5040，则判断框内应填的条件是（ ） A i 7 B i 7 C i 6 D i 6 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序输出的结果，得到满足条件的 i 的取值，即可得到结论 【解答】 解：模拟执行程序框图，可得 i=10， S=1 满足条件，执行循环体， S=10， i=9 满足条件，执行循环体， S=90， i=8 满足条件，执行循环体， S=720， i=7 满足条件，执行循环体， S=5040， i=6 由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出 S 的值为 5040 故判断框内应填入的条件是 i 6 故选： D 6某工厂生产某种产品的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y（吨标准煤）有如表几组样 本数据： x 3 4 5 6 第 7 页（共 17 页） y 3 m 相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是 =实数m 的值为 （ ） A 4 D 考点】 线性回归方程 【分析】 根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于 m 的方程，解方程即可 【解答】 解：根据所给的表格可以求 出 = （ 3+4+5+6） = = （ +m+ ， 这组数据的样本中心点在线性回归直线上， = m=4， 故选： C 7在区间 1， 2上随机取一个数，则 1 2 的概率为（ ） A B C D 【考点】 几何概型 【分析】 根据三角函数的不等式求出 x 的取值范围，结合几何概型的 概率公式进行计算即可 【解答】 解：由可 1 2 得 ， 1 x 2， ， 则 ， 即 x 1， 则对应的概率 P= = = ， 故选： C 8一个几何体 的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ） 第 8 页（共 17 页） A 12 B C D 4 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由已知中的三视图，我们易判断出这个几何体的形状及结构特征，进而求出底面各边长，求出底面面积和棱锥的高后，代入棱锥的体积公式，是解答本题的关键 【解答】 解：由已知中的三视图可得这是一个底面为梯形的四棱锥 其中底面的上底为 2，下底为 4，高为 2， 则底面面积 S= =6 棱锥的高 H 为 2 则这个几何体的体积 V= = =4 故选 D 9设向量 =（ 1， =（ 1， 3若 ，则 等于（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 根据两向量平行的坐标表示，利用同角的三角函数关系弦化切，即可求出答案 【解 答】 解： 向量 =（ 1， =（ 1， 3 ， 3得： ， = = = = ， 故选： D 10已知函数 f（ x） =x+）（其中 0| ）图象相邻对称轴的距离为 ，一个对称中心为（ ， 0），为了得到 g（ x） =图象，则只要将 f（ x）的图象（ ） A向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单位 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 第 9 页（共 17 页） 【分析】 由周期求得 ，根据图象的对称中心求得 的值，可得函数的解析式，再根据函数 y=x+）的图象变换规律得出结论 【解答】 解：由题意可得函数的最小正周期为 =2 ， =2 再根据 2+=| ， k z，可得 = ， f（ x） =2x+ ）， 故将 f（ x）的图象向左平移 个单位，可得 y=（ x+ ） + =2x+ ） = 故选： D 11已知函数 f（ x） =|若 0 a b，且 f（ a） =f（ b），则坐标原点 O 与圆（ x ）2+（ y+ ） 2=2 的位置关系是（ ） A点 O 在圆外 B点 O 在圆上 C点 O 在圆内 D不能确定 【考点】 分段函数的应用；对数函数的图象与性质；点与圆的位置关系 【分析】 画出分段函数 y=|图象，求出 系，进而根据点与圆的位置关系定义，可得答案 【解答】 解：画出 y=|图象如图： 0 a b，且 f（ a） =f（ b）， | 0 a 1， b 1 ，则 a+b 2， 故坐标原点 O 在圆（ x ） 2+（ y+ ） 2=2 外， 故选： A 12已知 O 的半径为 2， A 为圆上的一个定点， B 为圆上的一个动点，若点 A， B， O 不共线，且 | t | | |对任意 t R 恒成立，则 =（ ） A 4 B 4 C 2 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的减法的运算法则将向量进行化简，然后两边平方，设 =m，整理可得 42 4 2m） 0 恒成立，再由不等式恒成立思想，运用判别式小于等于 0，解不等式即可 【解答】 解： | t | | |， 第 10 页（共 17 页） | t | | |， 两边平方可得： 2 2t + 2 2 + 2， 设 =m，则有： 42 4 2m） 0 恒成立， 则有判别式 =46（ 4 2m） 0， 即 8m+16 0， 化简可得（ m 4） 2 0，即 m=4， 即有 =4， 故选： B 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分 0 分 . 13某工厂生产 A、 B、 C、 D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为 2： 3： 5： 2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本，样本中 A 种型号的产品有 16 件，那么此样本的容量 n=96 【考点】 分层抽样方法 【分析】 先求出总体中中 A 种型号产品所占的比例，是样本中 A 种型号产品所占的比例，再由条件求出样本容量 【解答】 解：由题意知，总体中中 A 种型号产品所占的比例是 = ， 因样本中 A 种型号产品有 16 件，则 n=16，解 得 n=96 故答案为： 96 14如图程序运行后输出的结果是 61 【考点】 伪代码 【分析】 经过观察为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足条件时跳出循环，输出结果即可 【解答】 解：经过分析，本题为直到型循环结构，模拟执行程序如下： i=1， S=1 执行循环体， S=5， i=3 不满足条件 i 8，执行循环体， S=13， i=5 第 11 页（共 17 页） 不满足条件 i 8，执行循环体， S=29， i=7 不满足条件 i 8，执行循环体， S=61， i=9 此时，满足条件 i 8，跳出循环，输出 S=61 故答案为： 61 15设 f（ x） =x+） +x+） +8，其中 m， n， ， 均为实数，若 f=2016 【考点】 运用诱导公式化简求值 【分析】 根据三角函数的诱导公式，列方程即可得到结论 【解答】 解： f（ x） =x+） +x+） +8， f=2000， 可得： 2008， 则 f+= =（ +8=2016 故答案为： 2016 16已知符号函数 x） = ， f（ x） =2x，则函数 F（ x） =f（ x） f（ x）的零点个数为 5 【考点】 根的存在性及根的个数判断 【分析】 利用符号函数求出 F（ x）的解析式，然后求解函数的零点即可得到结果 【解答】 解：符号函数 x） = ， f（ x） =2x， 则函数 F（ x） =f（ x） f（ x） = ， 当 x （ ， 0） （ 2， +）时， x+1=0，解得 x= 满足题意 当 x=0 或 x=2 时， x=0， x=0 或 x=2 是函数的零点 当 x （ 0， 2）时， x 1=0，解得 x=1 满足题意 所以函数的零点个数是 5 故答案为： 5 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知 | |=4， | |= ，（ + ） （ 2 ） =16 （ 1）求 ； （ 2）求 | + | 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算 【分析】 （ 1）根据条件，（ + ） （ 2 ） =16，展开化简即可得 ； （ 2）根据向量长度和向量数量积的关系即可求 | + | 【解答】 解：（ 1） （ + ） （ 2 ） =16， 2 2 2 =16， 第 12 页（共 17 页） 即 = 2 2 2 16=16 2 3 16= 6； （ 2） | + |= = 18学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为 n 的样本，按照 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100的分组作出了如图的频率分布直方图，已知 50， 60）与 90， 100两组的频数分别 为 24 与 6 （ 1）求 n 及频率分布直方图中的 x， y 的值； （ 2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数； （ 3）已知 90， 100组中有 2 名男生， 4 名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选 2 名作进一步调查，求 2 名学生中至少有 1 名男生的频率 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；众数、中位数、平均数 【分析】 （ 1）由题意能求出样本容量 n 和 x， y 的值 （ 2）利用频率分布直主图能估计学生成绩的中位数和学生成绩的 平均数 （ 3）记 2 名男生分别为 4 名女生分别为 少有一名男生的对立事件为抽到 2 名女生，由此利用对立事件能求出 2 名学生中至少有 1 名男生的频率 【解答】 解：（ 1）由题意知样本容量 n= =150， y= = x= （ 2）估计学生成绩的中位数 m=70+ 10=71， 估计学生成绩的平均数 =55 5 5 5 5 （ 3）记 2 名男生分别为 4 名女生分别为 抽取两名学生的结果有： 基本事件总数 n= =15， 其中至少有一名男生的对立事件为抽到 2 名女生， 2 名学生中至少有 1 名男生的频率 p=1 = 19已知函数 f（ x） =2x ） + 0）的最小正周期是 （ 1）求函数 f（ x）图象的对称轴方程； （ 2）求函数 f（ x）的单调递增区间 第 13 页（共 17 页） 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【分析】 （ 1）利用二倍角的正弦公式，两角差的余弦、正弦公式化简解析式，由周期公式求出 的值，由正弦函数的对称轴求出函数 f（ x）图象的对称轴方程； （ 2） 由正弦函数的增区间、整体思想求出函数 f（ x）的单调递增区间 【解答】 解：（ 1）由题意得， f（ x） = ， 最小正周期 T= =，解得 =1，则 f（ x） = 由 得， ， f（ x）图象的对称轴方程是 ； （ 2）由（ 1）得 f（ x） = ， 由 得， ， 函数 f（ x）的单调递增区间是 20如图，三棱柱 所有棱长都为 1，且侧棱与底面垂直， M 是 中点 （ 1）求证： 平面 （ 2）求直线 平面 成角的正弦值； （ 3）求点 C 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角 【分析】 （ 1）证明线面平行，通常利用线面平行的判定定理，这里我们可以利用中位线的 性质，得到线线平行； （ 2）过 B 作 D，易得 平面 直线 平面 （ 3） M 是 中点，点 C 与点 B 到平面 距离相等 【解答】 （ 1）证明：连接 O，连接 为直三棱柱 以 O 是 中点 因为 O， M 分别是 中点，所以 为 14 页（共 17 页） 所以 面 （ 2）解：由题意 M 是 中点， 平面 平 面 平面 过 B 作 D，易得 平面 直线 平面 成角 ， = ， ， 直线 平面 成角的正弦值为 ； （ 3）解： M 是 中点，点 C 与点 B 到平面 距离相等， 由（ 2）可知点 B 到平面 距离 ， 点 C 到平面 距离为 21已知 f（ x） = 是奇函数， g（ x） =x2+ 为偶函数 （ 1）求 m， n 的值； （ 2）不等式 3f（ g（ g（ 对任意 x R 恒成立，求实数 的取值范围 【考点】 函 数恒成立问题；函数奇偶性的性质 【分析】 （ 1）根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可 （ 2）将不等式进行化简，利用参数分离法把不等式恒成立问题进行转化