压电声波谐振器电路参数计算分析

I 压电声波谐振器电路参数计算分析 摘 要 石英晶体谐振器作为用于电路的一个电子元件，必须需要知道它的电阻、电容、电感和品质因数等电路参数。用板 理论对石英晶体谐振器进行振动分析所获得的振动频率、位移和模态耦合等信息对电子工 程师而言，用处并不大。为了能与实际产品的测量结果直接比较，必须 计算和分析其电路参数，如电容比，品质因数等。电路参数的求解可以通过考虑 石英晶体的压电特性与材料粘性来获得，因为材料粘性通过能量损耗来影响电阻和品质因 素。由于利用早期测量的石英晶体粘性系数计算所得的动态电阻比实际测量的要 小很多。本文引入等效粘性耗散来计算石英晶体谐振器的各个电路参数，以 期能找到最合适的粘性值来对产品的电路参数进行合理的估算。 从三维的弹性力学方程出发，推导了材料等效粘性系数与石英晶体谐振器工作模态厚度剪切振动频率间的关系。结果表 明，随着石英晶体谐振器频率的提高，等效粘性对振动频率的影响亦逐渐增大。 利用 阶板理论对考虑等效粘性耗散石英晶体板的自由振动进行分析，得出了色 散关系和频谱关系。由于复弹性常数的引入，对应于每个实频率，得到 的波数解是复数。同样，对应于实数长厚比，得到的频率也是复数。对数据进行 合理的选取后，我们发现粘性耗散对石英晶体的色散关系和频谱关系影响不大。 考虑压电特性与等效粘性，对覆盖电极情况下石英晶体板的自由振动与受迫振动进行分析 ，我们计算了电容比、动态电感、动态电阻、品质因数几个重要的电路参数。 由于石英晶体谐振器可看作是部分覆盖电极的晶体板，部分覆盖电极情况下 板的振动分析与电参数计算对产品设计更具参考价值。最后，对考虑等效粘性耗 散情况下，石英晶体谐振器的温频关系也进行了初步研究。 本文提供的理论分析方法可供设计者在设计初期对谐振器的电路参数进行合理的估算，避开电路参数性能和温频特 性不理想的区间，进而达到优化产品设计的目的。同时，本文分析石英 晶体谐振器的方法亦可推广到其他压电声波谐振器产品的设计和分析中。 关键词：谐振器，等效粘性， 板，振动频率，电路参数，频温关系 s an F of as as of a of we in to we to be It be of is to in is it is of we of of of an of We of of as of we of of no no of as to is to we as by of of of to of of of we of of We do in of IV of is of be to 目 录 第 1 章 绪论 . 1 究背景 . 1 内外研究现状 . 2 文主要研究工作 . 4 第 2 章 粘性与厚度剪切振动频率的关系 . 5 言 . 5 效粘性概念 . 5 虑等效粘性影响的压电弹性体三维运动方程 . 5 T 切石英晶体板厚度剪切频率的计算 . 7 值算例 . 9 章小结 . 14 第 3 章 考虑粘性耗散的石英晶体板自由振动分析 . 16 言 . 16 阶 维方程组 . 16 阶板方程 . 18 值算例 . 21 散关系 . 24 谱关系 . 25 章小结 . 36 第 4 章 电路参数的计算 . 37 言 . 37 虑压电效应与粘性耗散的 石英晶体板的自由振动分析 . 37 虑压电效应的 阶板方程组 . 37 值算例 . 38 T 切石英晶体板受迫振动分析 . 47 迫振动的 阶板方程组 . 47 值算例 1全部覆盖电极情况 . 48 值算例 2部分覆盖电极情况 . 61 章小结 . 67 第 5 章 温频关系分析 . 68 言 . 68 虑热效应的二维 阶板方程 . 68 虑热效应的 阶板方程 . 69 值算例 . 71 章小结 . 80 第 6 章 总结与展望 . 82 结与主要创新点 . 82 一步工作的展望 . 83 参考文献 . 84 附录 材料常数 . 90 在学研究成果 . 94 致谢 . 96 - 1- 第 1章 绪论 究背景 无论是手机、汽车电子等产品功能的不断完善，还是无线通信、物联网等信息技术的不断进步，都使得压 电声波器件的需求量成倍增长 1。压电声波器件是利用材料的逆压电效应将电信号转化为机 械振动和声波的一类重要的高频声波信号发生器件，它在国防、航空航天、 机械、电子等领域有着广泛而重要的应用。常用的压电声波器件有压电谐振器、压电换能器 、压电发动机、压电转换器、声波延迟线等。石英晶体谐振器作为频率 控制的压电声波器件，它可以使频率稳定并实现频率的选择和检测。由于其具有 高精密、高准确、高稳定性和高一致性等特点，自 20 世纪 20 年代诞生以来，被广泛应用于 通讯、导航、敌我识别系统、雷达、传感器、制导系统、原子钟、计算机、数字系统、无线电设备和高频设备、电视摄像机、 球定位系统、玩具以及手机等军工民用电子产品中。而今，从全球范围来看石英晶体谐振器有良好的 市场前景，特别是手机和汽车电子领域，随着产品功能的不断完善，所用的 石英晶体元器件数目亦成倍增长。其他高科技领域如生物技术和智能系统等热点行业 ，高精度石英晶体谐振器作为传感器的核心元件也有着极为重要的应用远景。市 场的需求正促使石英晶体谐振器朝着高频率、频率高精度和高稳定、小型化 、片式化、低噪声等的方向发展。 石英晶体谐振器主要由石英晶片、金属电极、支架和外壳等组成，其核心结构为厚度均匀或变化、贴有电极并具有 支架构件的石英晶片。在石英晶片表面上的金属电极层加上激励电场时，由于石 英晶体的逆压电效应，会使其产生微小的变形。当外加电场的频率与石英晶片的 固有频率接近时，石英晶片产生谐振，此时阻抗最小；如外加电场频率偏离石英 晶片的固有频率，则阻抗迅速增加，利用它的这一特点来实现稳定的频率源的目的。 石英晶体谐振器的频率及温度特性在很大程度上取决于石英晶体的切型。 石英晶体的切型主要有： 、 、 、 、 等，其主要振动模式有扭转、弯曲、伸缩和剪切等。 很宽 的温度范围都可获得优良的频率稳定性，体积可以做得很小，有利于小型化。 石英晶体利用厚度剪切振动模态作为工作模态，可以用来制作高频和超高频的谐 振器。因此，目前大多数的石英晶体谐振器均采用 型，本论文亦选用 石英晶体作为研究对象。 石英晶体谐振器的设计中需要考虑的主要参数包括：几何尺寸、电极材料和尺寸、安装形式等。在产品设计过程中， 还需要考虑其频率温度特性、谐振和抗负载性、静态和动态电容、电感和激励 电平效应等的影响。以及减少寄生模态 (指 - 2 - 的是在晶片振动过程中产生的除工作模态以外的其他振动模态 )的出现和活动性下降。石英晶体谐振器的研究和分析需要综合压 电学、电磁弹性力学、机械振动、电学以及电子器件制造技术和可靠性分析等知识 。无论从产品应用还是科学研究的角度来看，这一涉及跨学科的研究工 作都有着重要的意义和无穷的魅力。 目前关于石英晶体谐振器的研究和分析，大都忽略了石英晶体电极粘性以及产品制造和封装过程中产生的能量耗散对石英晶 体板振动效应、电路参数以及温频特性等的影响。随着石英晶体谐振器 的小型化与高频化发展，粘性耗散从更大程度上影响着石英晶体谐振器的性能，尤其是其电路参数性能。 三维的电磁弹性方程出发，在本构关系中引入粘 性张量，初步构建了考虑粘性耗散下分析压电结构振动问题的理论框架 2 人对考虑石英晶体板自身粘性耗散的振动进行了分析，其选用的粘性系数来自于 室温下测量的石英晶体材料的粘性系数，这样计算的动态电 阻远小于目前产品的实际测量值 4这一方面是由于当时实验条件的限制导致测量的 粘性系数不够准确，更重要的是产品制造、封装以及镀膜过程中将引入了其他粘 性耗散引起的。因此本文将引入等效粘性耗散对石英晶体谐振器的振动进行分析 ，考虑压电效应的影响对电路参数进行计算，并初步探讨考虑粘性耗散 下石英晶体谐振器的温频特性。 内外研究现状 石英晶体谐振器的性能是由石英晶体板的高频振动来决定的。为了对产品设计进行优化，板的高频振动理论已得到 了广泛的研究。压电介质中的三维运动方程加上边界条件可以精确地描述石英晶体谐振器 的振动规律。但由于运动方程及边界条件的复杂性，要求出三维运动方程的解析 解，几乎是不可能的。虽然理论上利用有限元法可以求解三维运动方程， 但庞大的矩阵运算使得计算时间长、占用内存空间大。且有限元求解结果的后 处理也异常的复杂，因此实际应用中通常采用近似的二维板理论对谐振器的振动进行研究 和分析。最常用来设计石英晶体谐振器的理论是由 展的将位移沿厚度方向展开成幂级数的 理论 6其他常用的板理论还包括将位 移沿着厚度方向展开成三角函数的 理论 15以及基于特征解的 理论等 18。关于高阶板理论的发展和应用 文献中有具体和详细的介绍 19。 许多研究人员已经对石英晶体谐振器的设计理论进行了广泛的研究，得出了基于近似理论的精确的振动频率计算方法、 模态耦合分析方法、以及在偏场作用下的频率稳定性分析方法等 20 覆盖电极石英晶体板的能陷现象进行了理论研究和实验分析 38 出最佳的电极尺寸应在各个 - 3- 方向满足 (即电极覆盖长度与石英晶体板厚度之比等于 40。 旋转 Y 切石英晶体板厚度扭转振动的 进行了研究41。 厚度剪切振动和弯曲振动耦 合情况下，部分覆盖电极矩形石英晶体板的最佳电极长度尺寸进行了研究 42。 人也对最佳的电极形状和尺寸进行了研究 43这些计算和分析可以在石 英晶体谐振器设计时作为最初的参考。随着产品高频化的发展，泛 音谐振器在各类电子产品中得到了广泛的应用，分析泛音振动的理论 也得到了越来越多的研究 45随着产品小型化的发展，为进一步提高产品设计精度， 在石英晶体谐振器振动分析中考虑粘性耗散的影响就显得尤为重要。这些粘性耗散 不仅包括石英晶体板自身的粘性，还包括了电极覆盖层的粘性以及产品制造和封装过程中 的表面不平整、粉尘等带来的能量耗散。 本文通过 阶板理论来对考虑等效粘性耗散的石英晶体板振动进行分析，得出石英晶体的色散关系、频 谱关系以及模态耦合等信息，能为谐振器尺寸的设计提供重要参考。 实际设计石英晶体谐振器时，大家关心的并不仅仅是石英晶体板的尺寸，更重要的是一个具体工作频率下石英晶体谐振器在 电路中的各个电学参数。大部分电路参数的求解可以通过考虑石英晶体的压电特 性与材料粘性来获得，材料粘性通过能量损耗来影响电阻和品 质因素。利用早期由 量的石英晶体的粘性系数， 算了各种切型石英晶体的品质因数 49 人建立了在准静电场近似情况下考虑粘性耗散的压电板 的三维方程组，并分析了考虑粘性耗散的无限大压电板的色散 关系和位移模态波形图 51 人利用有限元方法对 、 石英晶体谐振器以及钛酸钡 谐振器的自由振动和受迫振动进行了分析，并得出谐振器的品质因数与其振动的频谱关系有关 53 用 阶板理论计算了考虑压电效应和石英晶体自身粘性的谐振器的动态电阻、电容比、品质因素几个重要参数 56。这些通过考虑石英晶体粘性计算的电路参数比实际测量的要小很多，因 为在计算的过程中有一些重要的因素(如：电极粘接过程中的粘性耗散、空气阻尼以及支架损耗等 )未能得以考虑所导致的。 人对 石英晶体谐振器的粘弹性 负载的物理特性进行了详细的描述 57。总而言之，到目前为此人们对考虑粘性 耗散的石英晶体板的理论分析还不多，而利用早期测量的石英晶体粘 性系数计算出来的动态电阻则与实际产品测量的结果相差较远。为此，本文引入 等效粘性系数来对石英晶体谐振器的电路参数进行计算和分析。 温频特性也是衡量石英晶体谐 振器好坏的一个重要指标。 人利用波传播理论对石英晶体的一阶、 二阶、三阶温度系数进行了计算和测 - 4 - 量 58。 导了考虑热效应下石英晶体 板的三维运动方程组，并利用方法将位移沿厚度方向展开，得 到了等温变化下的二维运动方程组，同时对厚度剪切、厚度扭曲、厚 度拉伸和弯曲四个模态耦合下 石英晶体板的温频特性进行了分析 34。 厚度均匀和不等厚的 石英晶体板的温频特性进行了分析 32。 利用 理论对石英晶体板的温频关系进行了分析 29。 本文将初步探讨和研究考虑等 效粘性耗散的情况下 石英晶体板的温频关系。 文主要研究工作 本文研究工作的目的是找到最 佳的等效粘性系数来预估 石英晶体的粘性，电极粘性以及谐振器制造和封装过程中产生 的粘性耗散，进而计算其相关的电路参数。同时分析在考虑粘性耗散下石英晶体 板的温度频率关系，以期为石英晶体谐振器的设计提供更精确 的参考。本文的主要写作思路如下： 一、由于石英晶体谐振器的工作模态是厚度剪切振动模态，因此对石英晶体板进行振动分析前，先计算等效粘性系数对厚度 剪切振动频率的影响。即本文第二章的内容。 二、在石英晶体板的本构关系中引入等效粘性系数，建立各向异性压电板的粘弹性本构关系。 利用 阶板理论对考虑等效粘性系数影响石英晶体谐振器的自由振动进行分析，得到相应的色 散关系、频谱关系等信息。即本文的第三章。 三、对考虑等效粘性耗散和压电效应的石英晶体板的自由振动和受迫振动进行分析，并计算石英晶体谐振器的动态电阻、 电容比、品质因数等重要的电路参数。其中对部分覆盖电极石英晶体板受迫 振动分析得到的电路参数更具参考价值，因为实际的石英晶体谐振器可以看作是部分 覆盖电极的石英晶体板。即本文第四章的内容。 四、对考虑等效粘性耗散的石英晶体板的温度频率特性进行分析，得到考虑温度效应和粘性耗散影响时石英晶体板的频谱关 系和温频曲线等信息。即本文第五章的内容。 5 - 6第 2章 粘性与厚度剪切振动频率的关系 言 厚度剪切振动模态是 石英晶体谐振器的工作模态，在石英晶体谐振器设计之初就需要对厚度剪切振动频率进行 精确的计算。从三维弹性力学方程出发，对位移模态进行假设可以计算出厚度剪切振 动的频率。以往研究人员对石英晶体板振动分析时，很少考虑到石英晶 体及其表面电极覆盖层等造成的粘性耗散对石英晶体板振动频率的影响。随着石 英晶体谐振器的小型化与高频化，在考虑粘性耗散的情况下对石英晶体谐振器振动频率 进行分析就显得很有必要了。 本构关系中引入 粘性系数，初步构建了考虑粘性耗散下分析压电结构振动问题的理论框架。 人利用 室温下测量的石英晶体材料的粘性系数，对考 虑粘性耗散的石英晶体板振动进行分析，发现计算的动态电阻远小于目前产品的实际 测量值。因此，本文首先引入等效粘性这一概念来等效石英晶体自身的粘性 、电极材料的粘性以及产品制造和封装过程可能造成的其他能量耗散，进而 通过等效粘性系数来研究粘性与厚度剪切振动频率之间的关系。 效粘性概念 所谓等效粘性是指在研究考虑粘性耗散的石英晶体板振动过程中用来表征各种粘性耗散共同作用的一个物理量。等 效粘性系数就是在将石英晶体的实弹性常数变为复弹性常数引入的一个可变参数 Q，它直接反映出等效粘性的大小。也就是说，考虑等效粘 性耗散时石英晶体的复弹性常数 ()211 ,pq pq s =+ =， (其中 ,2pq 分别为石英晶体和电极材料的弹性常数，具体数值见附录。 虑等效粘性影响的压电弹性体三维运动方程 弹性体的三维运动方程可以归纳为如下三组： 场量方程 - 7,0,ij i &(式中别为应力、机械位移和电位移分量， 为压电体的密度。 本构关系 ,ij kl =+(式中别为复弹性常数、压电常数和介电常数，别为应变与电场分量。 几何方程 (),1,2,ij i j j =+=(式中 为电势。 为了表示和计算的方便，公式中的各物 理量通常采用缩略下标表示形式 6。完全下标与缩略下标的对应关系见表 示。 表 全下标与缩略下标的对应关系 完全下标 1 22 33 23 或 32 13 或 31 12 或 21 缩略下标 p或 q 1 2 3 4 5 6 因此，应力和应变分量的缩略下标表示形式为 ,1,2,6., , 1, 2,3,2 , , 4,5,=弹性常数与压电常数的缩略下标表示形式为 - 8,ip (而本构关系 (可以表示为 ,=+(组方程构成一套封闭的偏微 分运动方程组，包括 22 个方程与 22个变量。 T 切石英晶体板厚度剪切频率的计算 本节不考虑石英晶体的压电效应来计算厚度剪切振动频率，并将石英晶体板假设成一个无限大板来简化分 析过程。计算模型如图 示，其中石英晶体板的厚度为 2b，电极层厚度为 2 。 图 覆盖对称电极的无限大石英晶体板 假设在石英晶体板和电极层中 的厚度剪切位移分别为 () ()12 222) ,xe = + +(2石英晶体 - 9其中 ， 分别为石英晶体板和电极层中的波数， A B， 可以由应力自由边界条件求解出来。与位移假设对应的应力分量为 ( )() ()666 2666 2 2) b =+其中66C 为复弹性常数，66 66分别为石英晶体和电极层的材料常数。对于无限大板，由位移假设（ 应力表达式（ 到石英晶体层和电极层各自运动方程可以化简为 22 2266 660, 0,= =(这里 为石英晶体谐振器振动的圆频率， , 分别为石英晶体与电极层的密度。相应的边界条件 ( )662 6 2,b T x =+，( (代入 (则有 ()() ()66 6666,) =+=-(石英晶体板自由振动，故振幅 的系数矩阵行列式为零 () () ( )66 66 ) =-(为简化公式方便表达，对各参数做如下定义 222 6 2 666 66 66 66 66,2.k c v c c c = = = =(于是公式 (以表示为 ()()6666 1=+，(得到频率解 66 6600212, =(为了进一步简化公式，我们重新定义频率解 = =(最后重新改写频率公式 (为 ()()6666 12 =+ ，(只有纯厚度剪切振动模态时， 石英晶体板半厚度的计算公式为 =(值算例 假设电极覆盖层材料为金属 极层厚度为 1000(1=10石英晶体谐振器的基频分别为 31030式 (以计算出频率公式 (的厚度比 B。由电极材料的密度、弹性模量和石英 晶体的密度与弹性常数则可以计算 k 的值。进而可以得出等效粘性系数 Q 与归一化厚度剪切振动频率 的关系曲线，如图 示。由图可见粘性系数对厚度剪切振动频率的影响不大，且随着粘性系数 Q 的增加厚度剪切振动频率愈加接近于 1，频率的虚部远远小于实部。但是随着石英晶体谐振器基频的增加，式 (的厚度比 B 亦因晶体板厚度变薄而增大，此时粘性耗散对厚度剪切振 动频率的影响亦会增大，这与实 - 11际情况是相符合的。由图 见基频为 30等效粘性系数对厚度剪切振动的频率还是比较小的。 0 x )基频为 3等效粘性系数与厚度剪切振动频率的关系 120 x )基频为 10等效粘性系数与厚度剪切振动频率的关系 0 1 2x )基频为 30等效粘性系数与厚度剪切振动频率的关系 13 - 14 - 章小结 本章引入等效粘性与等效粘性系数的概 念，从三维的压电体弹性方程出发，通过对石英晶体谐振器的模型进行简化， 对厚度剪切振动位移进行假设，得出了厚度剪切振动频率公式。公式中包含了 厚度剪切振动频率与等效粘性系数，通过数值算例分析了等效粘性系数对厚度剪切振动频 率的影响。结果表明等效粘性系数对石英晶体谐振器工作模态振动频率的影响很 小。但是随着石英晶体谐振器基频的增加这个影响会逐渐的增加，进一 步地说明产品高频化的发展导致粘性耗散的影响愈加的不能忽略。这意味着我们 的等效粘性假设方式是合理的，同时也为我们后面的计算和分析做好了铺垫与准备。 15 - 16 - 第 3章 考虑粘性耗散的石英晶体板自由振动分析 言 石英晶体板振动分析是石英晶体谐振器设计的关键步骤，通过振动分析可以得到石英晶体谐振器振动的色散关系、频谱关系 以及模态耦合等信息。这些信息可以为晶体工程师设计石英晶体板的尺寸提供重 要参考。由压电体三维运动方程组加上边界条件可以对石英晶体板的振动作精确 描述，但是由于运动方程和边界条件的复杂性使得其求解非常 困难。因此通常情况下采用 方程来对石英晶体板的振动进行分析。我们先忽略 压电效应的影响，对考虑等效粘性耗散情况下 石英晶体板的自由振动进行分析。为 下一章分析石英晶体板的受迫振动，以及计算电路参数做准备。 阶 理论 如图 将位移( )1, 2, 3和电势 展开为厚度坐标2x 的幂级数。 图 角坐标系中矩形石英晶体板示意图 ()()()()123 13 20123 13 20, , , , ,n u =(上式中13,x x 为坐标， 样一来位移分量( )( )1, 2, 3和电势分量 2 17- ( )()0,1, 2,. 只是时间 x x 的函数，而与2x 无关。由三维运动方程变分 形式，可推导出 阶板方程的二维方程组，其推导过程已有详细介绍 6。 最终得到二维 阶场量方程为 ( ) ( ) ( )() ( ) ()1 (),21,2,0,nn n i j j mn +=+=&(其中 ()()()()22222222122,2,10, bn +=+=+， 当 为偶数当 为奇数.(式中( )()3,