浙江大学控制理论作业答案三

控制理论第五章习题5-1 设一线性系统的传递函数为)42)(1024)1(0)(2 jsjssG5-1试绘制该系统的幅频和相频特性曲线。解 令 ，代入式（5-1） ，得2js 8.3625.1)48)(6.7140(35)2)(4(10)jjjG上述结果表明， 时，频率特性的幅值 ，相角 。给出不同的225.)(jG.3频率 值，重复上述的计算，就可求得对应的一组 和 值。据此，也可由下面)(的 MATLAB 函数绘制出图 5-2 所示的幅频特性曲线和相频特性曲线。function exe51G=tf(10*1,1,1,4,20；X=;Y=;w=logspace(-1,1,100)；x,y,w=bode(G)；%X=X,x;Y=Y,y；figure(1),plot(w,x(:),axis(0,10,0,3),xlabel(频率（弧度）),ylabel(幅值)；figure(2),plot(w,y(:),axis(0,10,-120,40),xlabel(频率（弧度）),ylabel(相角) 2 4 6 8 0 0 0 图 5-2 所示系统的幅频特性和相频特性0 2 4 6 8 05 5 25 3 5-2 试绘制下列开环传递函数的奈奎斯特曲线： )1.0)()ssHG解 该开环系统由三个典型环节串联组成：一个比例环节 、两个一阶惯性KsG)(1环节 和 。这三个环节的幅、相频率特性分别为s1)(2 s1.0)(31.0arctg23 arct2 ).0(1.01)( jjejjGjj 因而开环系统的幅频特性为 22)1.0(1)(jH相频特性为 1.0arctgrt)(取不同的频率 值，可得到对应的幅值和相角，根据这些值可得图 5-3 所示的开环系统图 5-3 开环系统的奈氏图 0 2 4 6 8 0 的奈氏图。事实上，MATLAB 中有专门的函数 Nyquist 用于绘制开环系统的极坐标图。g=tf(10,conv(1,1,0.1,1)Transfer function：10-0.1 s2 + 1.1 s + 1Nyquist(g)5-3 已知型系统、型系统和 II 型系统的开环传递函数分别为、 、30)1(sKG)1(0)1s)1(0)22sG试绘制它们对应的奈氏图。解 型系统的频率特性为 )(3231()1() jeKjjG式中： 。分别取 ，计算出不同 值时的 和 ，arctg)(05或 )(jG(可得图 5-15 所示的奈氏图。根据第三章劳斯判据可知， 时闭环系统稳定，表现在奈5K氏图上是极坐标图不包围（1，j0 ） ，这与后面将介绍的奈氏稳定判据是一致的。I 型系统的频率特性为Real AxisNyquist Diagrams-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-8-6-4-202468K=5 K=10 图 5-4 K5、10 时的奈氏图ImaginaryAx)(210)1(0)( jejjG式中： 。将上式改写为arctg9)( 3222 1010)( jjjj由上式可知，当 时， ，即 ；当 时，jjG10)( 9)(jG，据此可得图 5-5 所示的奈氏图。180)(jG型系统的开环频率特性为 )(22210)1()0( jejjj 式中： 。将上式改写为arctg180)(3222 10)1()( jjjG由上式可知，当 时， ；当 时， ，与0jj)(0)(jG27正虚轴相切，据此可得图 5-6 所示的奈氏图。由于采用了 MATLAB 方法，对于 I、II 型系统在无穷远处的极坐标无法在图中标明，但从图中可以看到，当频率接近零时，对于 I 型系统，极坐标曲线渐近于平行于虚轴的-10线，而对于 II 型系统则无此性质，这一点可将幅值频率特性写成实频、虚频形式得到验证。5-4 已知一反馈控制系统的开环传递函数为 )5.01()(ssHG试绘制开环系统的伯德图。 5 0 00 0 0 0 0 0 0 图 5-6 II 型系统的奈氏图图 5-5 I 型系统的奈氏图解 1）系统的开环频率特性为 )21(0)(jjG由此可知，该系统是由比例、积分、微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为 )()()( 4321 LLL22)10(lg1lg0l0lg 系统的相频特性为 )()()( 432110arctgrt902）系统的转折频率分别为 2 和 10。3）作出系统的对数幅频特性曲线的渐近线。在低频段， ，则渐近线的斜率为1v。在 处，其幅值为 ；当 时，由于惯性环节对信dB/ec01dB201lg2号幅值的衰减任用，使分段直线的斜率由 变为 ；同理，当/ec/dec4时，由于微分环节对信号幅值的提升任用，使分段直线的斜率上升 ，即1 B/ec0由 变为 。d/ec40dB/ec204）对幅频特性曲线进行修正。5）作系统相频特性曲线，先求 ，然后叠加。)(41 0 0 0 0 0 1 图 5-7 开环系统的频率特性系统伯德图如图 5-7 所示。用 MATLAB 语句绘制 Bode 图的程序为% exe5_4function exe5_4G=tf(10*0.1,1,conv(1,0,0.5,1)；%得到传递函数x0,y0,w=bode(G)；%由 Bode 函数获取幅值和相角x,y=bode_asymp(G,w)；%得到转折频率subplot(211),semilogx(w,20*log10(x0(:),x,y)；%画幅频曲线和渐近线subplot(212),semilogx(w,y0(:)；%现相频曲线5-5 系统的开环传递函数为 )2(1)5.0()( ssHsG试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。解 当 由 变化时， 曲)(jHG线如图 5-8 所示。因为 的开环极点为-)(s0.5、-1 和-2，在 s 的右半平面上没有任何极点，即 P=0，由图 5-39 可知，奈氏曲线不包围（-1，j0）点，因此 N0，则 Z=N+P=0。所以，该闭环系统是稳定的。5-6 反馈控制系统的开环传递函数为 )2(10)(ssHGp 0 2 4 4图 5-8试判别该系统的稳定性。解 由于该系统为 I 型系统，它在坐标原点处有一个开环极点，在 s 平面上的奈氏轨线如图 5-9 所示。该图的 部分在 GH 平2C面上的映射曲线为一半径为无穷大的半圆，若将它与图 5-9 的奈氏曲线 相)(jHG连接，则有 N2，而系统的 P0，因而Z2，即闭环系统是不稳定的，且有 2 个闭环极点位于 s 的右半平面。5-7 已知系统的开环传递函数为 )1()(2sTKHsG试分析时间常数 和 的相对大小对系统稳定性的影响，并画出它们所对应的奈氏图。12解 由系统的开环传递函数得 212)()(TKjHGarctgrt180)根据以上两式，在 ， 和 三种情况下的 曲线如图 5-432T2121)(jHG所示。当 时， 曲线不包围（-1，j0 ）点，闭环系统稳定。当21 )(jHG时， 曲线通过（-1，j0 ）点，说明闭环极点位于 轴上，闭环系21T)(j j统不稳定。当 时， 曲线以顺时针方向包围（-1，j0 ）点旋转两周，21T)(j这意味着有 2 个闭环极点位于 s 右半平面上，闭环系统不稳定。s 0 1 2 05 15 25 5 5 55 6 75 图 5-9图 5-1021T 21T21T5-8 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 1)(TsKHsG试用奈氏判据确定该闭环系统稳定的 K 值范围。解 该系统是一个非最小相位系统，其开环系统的幅频特性和相频特性为 21)(Tjarctg80和惯性环节一样，它的奈氏图也是一个圆，如图 5-44所示。由于系统的 P1，当 由 变化时，曲线如果以逆时针方向围绕（-1，j0 ）点旋转一)(jG周，即 N-1，则 Z11 0，表示闭环系统是稳定的。由图 5-11 可见，仅当 K1 时映射曲线才会对（-1，j0）点产生围绕，所以系统稳定的条件是 K1。5-9 设一时滞控制系统如图 5-12 所示。已知图中的 ，试分)2(1/)(1ssG析滞后时间 对系统稳定性的影响。解 系统的开环传递函数为 sseGesG)(2)(1)(1（5-14）图 5-13 给出了 值为 0、2、4 时的式（5-14）的奈氏曲线。由图可见，当滞后时间 时，0GH 平面ImRe图 5-11 非最小相位系统奈氏图00K图 5-12 时滞控制系统)(R)(1sG)(sCse图 5-13.03.1.1.0.3.系统相当于无时滞环节， 不包围（-1，j0 ） ，闭环系统稳定；当 时，)(jG2刚好经过（-1，j0） ，系统处于临界稳定状态；当 时， 包围（-)(jG4)(jG1，j0）点，闭环系统不稳定。可见，时滞时间的增大，对控制系统的稳定性是极为不利的。5-10 已知单位负反馈最小相位系统 A