2015年高考理科数学天津卷含答案

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）第 I 卷注意事项：1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2、本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1 ）已知全集 ，集合 ，集合 ，则1,234,678U2,356A1,3467B集合 AB（A） （B ） （ C） （D） 2,5,5,8【答案】A【解析】试题分析： ,所以 ，故选 A.258UB2,5UAB考点：集合运算.（2 ）设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为,xy032xy6zxy（A）3 （B）4 （C ）18 （D ）40【答案】C864224681510551015AB考点：线性规划.（3 ）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（A） （B ）6（C）14（D）1810【答案】B【解析】试题分析：模拟法：输入 ；20,1Si不成立；8,25i不成立4,14成立26,iS输出 ,故选 B.6考点：程序框图.（4 ）设 ，则“ ”是“ ”的xR21x20x（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C ）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A考点：充分条件与必要条件.（5 ）如图，在圆 中， 是弦 的三等分点，弦 分别经过点 .若O,MNAB,CDE,MN，则线段 的长为2,4,3CMDE（A） （B ）3 （C） （D） 81052EDOABMNC【答案】A【解析】试题分析：由相交弦定理可知， ，又因为,AMBCDNEAB是弦 的三等分点，所以 ，所以,MNAB CMD，故选 A.2483CDE考点：相交弦定理.（6 ）已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦210,xyab2,3点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为247（A） （B ） （C） （D）218xy218xy2134xy213xy【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.（7 ）已知定义在 上的函数 （ 为实数）为偶函数，记R21xmf，则 的大小关系为0.52(log3),log5,afbfc,abc（A） （B ） （C） （D） caba【答案】C【解析】试题分析：因为函数 为偶函数，所以 ，即 ，所以21xmf0m21xf22loglog330.52(log3)l 1,aff2log5 02l14,()bf cff所以 ，故选 C.ca考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.（8 ）已知函数 函数 ，其中 ，若函2,xf2gxbfxbR数 恰有 4 个零点，则 的取值范围是yfxgb（A） （B ） （C ） （D ）7,47,70,4,2【答案】D【解析】试题分析：由 得 ，2,xf2,0(),xfx所以 ，22,0()4(),yfxxx即22,0(),58,2yfxx,所以 恰有 4 个零点等价于方程()()fgfbyfxg有 4 个不同的解，即函数 与函数 的图象20xbb()2)yfx的 4 个公共点，由图象可知 .728642246815105 51015考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合.第 II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共 12 小题，共计 110 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.（9 ） 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 .i12iaa【答案】 2【解析】试题分析： 是纯度数，所以 ，即 .121iaai20a2a考点：1.复数相关定义；2.复数运算.（10 ）一个几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积为 . m3m【答案】 83【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为 ，高为 的圆柱，两端是底12面半径为 ，高为 的圆锥，所以该几何体的体积 .1 2 8133V考点：1.三视图；2.旋转体体积.（11 ）曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 .2yxyx【答案】 16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为 ，所以它们所围成的封闭图形的面积(0,)1.12230 016Sxdx考点：定积分几何意义.（12 ）在 的展开式中， 的系数为 .64x2x【答案】 15考点：二项式定理及二项展开式的通项.（13 ）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ABC,ABC,abcABC315， 则 的值为 .12,cos4ba【答案】 8【解析】试题分析：因为 ，所以 ，0A215sin1cos4A又 ，解方程组 得 ，由115sin3,28ABCSbcbc2bc6,4c余弦定理得，所以 .2221cos6464abA8a考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理 .（14 ）在等腰梯形 中,已知 ,动点 和 BCD/,2,60BCABACEF分别在线段 和 上,且, 则 的最小值为 .19EFDEF【答案】 2918【解析】试题分析：因为 ，1,9DFC12AB，98CD ，AEBA，191FFBCABBC 229 19888ABC 19142cos108277928当且仅当 即 时 的最小值为 .21923AEF2918BADCEF考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15. （本小题满分 13 分）已知函数 ，22sini6fxxR(I)求 最小正周期；()fx(II)求 在区间 上的最大值和最小值 .,34p-【答案】(I) ; (II) , .max()fmin1()2f考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.16. （本小题满分 13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名.从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛.(I)设 A 为事件 “选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率；(II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 .【答案】(I) ; 635(II) 随机变量 的分布列为 X1234P47152EX【解析】试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量 的所有可能值，求X出其相应的概率，即可求概率分布列及期望.试题解析：(I)由已知，有 2233486()5CPA所以事件 发生的概率为 .65(II)随机变量 的所有可能取值为X1,234548(1,234)kCP所以随机变量 的分布列为 XP143714所以随机变量 的数学期望X522E考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望.17. （本小题满分 13 分）如图，在四棱柱 中，侧棱 ,1ABCD-1ABCD底 面, ,ABC1=,且点 M 和 N 分别为 的中点.25D1和(I)求证： ；MNABCD平 面(II)求二面角 的正弦值；11-(III)设 E 为棱 上的点，若直线 NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，求线段 的131EA长【答案】(I)见解析； (II) ； (III) .31072【解析】试题分析：以 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线 的方向向量与平面 的法AMNABCD向量，两个向量的乘积等于 即可；(