北航7系理论力学d-ch5B

2018/6/4,1,作业：5-4、5-8、5-27,第二类Lagrange方程,2018/6/4,2,动力学普遍方程,系统的虚位移,上次课讲的动力学普遍方程：,探究新方法,2018/6/4,3,5-2 拉格朗日方程,设：具有完整理想约束的非自由质点系有 k 个自由度 系统的广义坐标为：,T 为系统的动能，可表示成：,方程的推导见:教材动力学P140-142,2018/6/4,4,5-2 拉格朗日方程,例：建立质量为m的质点在重力作用下的动力学方程。,1、系统的自由度为 k=3,2、系统的广义坐标：,3、系统的动能,解：,4、系统的广义力,2018/6/4,5,5-2 拉格朗日方程,例题:长为L，质量为m的均质杆AB绕水平轴自由转动，求其动力学方程 。,1、系统的自由度为 k=1,2、系统的广义坐标：,3、系统的动能,解：,4、系统的广义力,2018/6/4,6,5-2 拉格朗日方程,第二类拉格朗日方程几种形式,1、当主动力均为有势力时,设：LT-V （拉格朗日函数）,2018/6/4,7,5-2 拉格朗日方程,例题:长为L，质量为m的均质杆AB绕水平轴自由转动，求其动力学方程 。,1、系统的自由度为 k=1,2、系统的广义坐标：,3、系统的动能,解：,4、系统的势能,5、Lagrange函数：,2018/6/4,8,5-2 拉格朗日方程,2、当主动力部分为有势力时,设：LT-V （拉格朗日函数）,应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤：1、确定系统的自由度和广义坐标；2、用广义速度和广义坐标给出系统的动能和势能；3、给出系统的拉格朗日函数；4、确定系统的非有势力的广义力。,2018/6/4,9,5-2 拉格朗日方程,解：1、求系统的动能和势能 ( 拉格朗日函数 ),例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统运动微分方程。AB2L,2018/6/4,10,5-2 拉格朗日方程,2、求非有势力的广义力,3、建立系统运动微分方程,方程的物理意义？,2018/6/4,11,5-2 拉格朗日方程,例：双摆杆长为1m，质量为1kg，扭簧刚度 k=11.4Nm/rad, 当 时扭簧无变形。求系统运动微分方程并数值仿真。,解：1、确定系统的广义坐标 2、求系统的动能和势能 ( 拉格朗日函数 ),2018/6/4,12,5-2 拉格朗日方程,3、建立系统运动微分方程,2018/6/4,13,5-2 拉格朗日方程,数值仿真,2018/6/4,14,5-2 拉格朗日方程,2018/6/4,15,动力学的基本方法,牛顿定律,动量定理动量矩定理动能定理,达朗贝尔原理-动静法,虚位移原理,动力学普遍方程和拉格朗日方程,2018/6/4,16,5-3 拉格朗日方程的首次积分,一、质点系动能的结构,当,当,对于具有非定常约束的质点系，若自由度为k,则：,2018/6/4,17,5-3 拉格朗日方程的首次积分,对于定常约束的质点系有：,系统的动能：,2018/6/4,18,5-3 拉格朗日方程的首次积分,已知非定常约束,则系统的自由度为k=1,系统的广义坐标：,系统的动能为：,2018/6/4,19,5-3 拉格朗日方程的首次积分,设：系统主动力为有势力,循环坐标：拉格朗日函数L中不显含的广义坐标,拉格朗日函数表示成：,二、循环积分,则：,该式称为 循环积分,称为对应于广义坐标 的广义动量,证明：当主动力为有势力时，系统的Lagrange方程为,若Lagrange函数L中不显含广义坐标,2018/6/4,20,5-3 拉格朗日方程的首次积分,三、能量积分,如果保守系统拉格朗日函数中不显含时间t，,n次齐函数的欧拉定理：设 是 的n次齐次函数，则：,设：系统主动力为有势力,2018/6/4,21,5-3 拉格朗日方程的首次积分,对于具有定常约束的保守系统有：,如果保守系统拉格朗日函数中不显含时间t，,2018/6/4,22,5-3 拉格朗日方程的首次积分,例：给出系统拉格朗日方程的首次积分。,解：系统的主动力为有势力,系统的动能和势能分别为,拉格朗日函数 中不显含广义坐标x和时间t,系统的水平动量守恒,系统的机械能守恒,2018/6/4,23,5-3 拉格朗日方程的首次积分,例：图示机构在铅垂面内运动，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。求系统的首次积分。AB=L,解：系统的主动力均为有势力 分析系统的动能和势能,拉格朗日函数 中不显含广义坐标x和时间t,2018/6/4,24,5-3 拉格朗日方程的首次积分,系统的什么广义动量守恒？,研究整体：,研究圆盘：,2018/6/4,25,第二类拉格朗日方程的总结,对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，则系统的动力学方程为：,：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力,当系统为保守系统时，有：,1：若系统存在循环坐标 ，则：,2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：,2018/6/4,26,5-3 拉格朗日方程的首次积分,思考题：长为 L 质量为 m 的