概率论与数理统计复习题

1概率论与数理统计大题类型0：古典概率（10 页，例子）排列和组合的区别一：全概率公式和贝叶斯公式（14 页）例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为 3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。解：设 A1，A 2，A 3 分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B 表示产品不合格，则 A1，A 2，A 3 为一个完备事件组。 P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)0.08，P(B| A 2)0.09，P(B| A 3)0.12。由全概率公式 P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09由贝叶斯公式：P(A 1| B)P(A 1B)/P(B) = 4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的 2 倍，第二、三两厂家相等，2而且第一、二、三厂家的次品率依次为 2，2，4 。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？ 练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装 50 件，有 10 件一等品，第二箱装 30 件，有 18 件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取 2 个零件，求：（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。解：设事件 =从第 i 箱取的零件， =第 i 次取的零件iAiB是一等品（1）P( )=P( )P( | )+P( )P( | )=1B11BA212A523018（2）P( )= ,则 P( | )= = 0.48512 94.0238250C2B1)(12P二、连续型随机变量的综合题（期望（76 页） ，方差（82页） ，分布函数（41 页） ，概率和参数求法（37 页） （第二章，第三章） ）例：设随机变量 X 的概率密度函数为 othersxxf02)(求：（1）常数 ；（2）EX；(3)P1X3；（4）X 的分布函数 F(x) 解：(1)由 得到 1/2201)(xdxf3(2) (3)3421)(0dxxfEX311)(1fP(4)当 x0 时， xdtF0当 0 x2 时，xtdf0241)()(当 x 2 时，F（x） =1故 201()4xx练习：已知随机变量 X 的密度函数为 othersxbaxf01)(且 E(X)=7/12。求：（1）a , b ；（2）X 的分布函数 F(x) （3）P-1X0.5练习：已知随机变量 X 的密度函数为 othersxxf012)(求：（1）X 的分布函数 F(x) ；（2）P0.3X2三、离散型随机变量和分布函数（期望，方差，分布函数，概率，参数求法）例：设 X 的分布函数 F(x)为：4, 则 X 的概率分布为318.014)(xxF（ ） 。分析：其分布函数的图形是阶梯形，故 x 是离散型的随机变量答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.练习：设随机变量 X 的概率分布为 P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数 F(x)。当 x1 时， F(x)=0; 当 1 x2 时， F(x)=0.2; 当 2 x3 时 ， F(x)=0.5;当 3 x 时 ， F(x)=1 四、二维连续型随机向量（未知参数求法，边缘概率，独立性，联合概率密度与边缘概率密度的关系，某个区间的概率）例：设 与 相互独立，且 服从 的指数分布， 服从XYX3Y的指数分布.4（1） 联合概率密度与联合分布函数；（2） ；),( )1,(XP5（3） 在 取值的概率。),(YX34,0),(yxyxD解:（1）依题知他,03)(exfX 他,0)(4yefY所以 联合概率密度为,(Y他,0,12),(43yxeyxfy当 时，有0,yx )1)(),( 43043 yxxyst edetF所以 联合分布函数),(YX他, ;0,),1)(),(43yxyx（2） ；143eFP（3） 304312),( dydxDYXx练习：设二元随机变量（X，Y ）的联合密度是othersyxyxf y0,251),( )(51求：（1）关于 X 的边缘密度函数 f X(x)；（2）PX50， Y50五、二维离散型随机向量（边缘分布，独立性，联合分布与边缘分布的关系，函数的分布求法） （重点：书里例题）设随机变量 X 与 Y 相互独立，下表列出了二维随机向量(X,Y)的联合分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处。616182132j ipxpyXY 答案： 132614842132j ipxpyXY 六、协方差和相关系数（86 页） ，期望（80 页）和方差（84 页）的性质（公式）例：已知随机向量（X,Y）的协差矩阵 V 为 964计算随机向量（XY, XY）的协差矩阵解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(XY)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(X-Y) = DX + DY -2 COV(X,Y)=1COV（XY, XY）=DX-DY=-5故（XY, XY）的协差矩阵 152练习：随机向量（X,Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为 212211V7计算随机向量（9XY, XY）的协差矩阵解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y 9 1+ 2E(XY)= EXE Y 1 2D(9XY)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81 12 18 1 2 22D(XY)= DX + DY 2 COV(X,Y)= 122 1 2 22COV（9XY, XY ）=9DX-DY8 COV(X,Y)= 9 128 1 2 22然后写出它们的矩阵形式（略）七、随机变量函数的密度函数（离散型（所有函数都会求，特别 MAX，MIN 函数）和连续型（简单函数会求） ） （63页）重点：书里相应例题。例：设 XU(0,2),则 Y= 在(0,4)内的概率密度 （ 2X)(yfY） 。答案 填： y41解： XU(0,2) ， 1,02()xfxothers，2()()yYFyPyPXfxd求导出 = （ ）)(fY11()()2Xffy404y8练习：设随机变量 X 在区间1，2上服从均匀分布，求 Y=的概率密度 f(y)。Xe2答案：当 时， f(y)= ，当 y 在其他范围内取值42ey21时， f(y)=0.八、中心极限定理（109 页）(正态分布的标准化（101 页） ，及其可加性公式（105 页）)例：设对目标独立地发射 400 发炮弹，已知每一发炮弹地命中率等于 0.2。请用中心极限定理计算命中 60 发到 100发的概率。解：设 X 表示 400 发炮弹的命中颗数，则 X 服从 B(400,0.2),EX=80，DX=64,由中心极限定理：X 服从正态分布 N(80,64)P60X100=P-2.5(X-80)/82.5=2(2.5) 10.9876练习：袋装食盐，每袋净重为随机变量，规定每袋标准重量为 500 克，标准差为 10 克，一箱内装 100 袋，求一箱食盐净重超过 50250 克的概率。九、最大似然估计（148 页） ，矩估计法（146 页） （书本）例：设总体 X 的概率密度为9其 他,01)1()xxf其中未知参数 ， 是取自总体的简单随机样本，nX,21用极大似然估计法求 的估计量。解：设似然函数 ),21;0()1()( nixLinii 对此式取对数，即：且niixnL1l)l()(l niixdL1ll令 可得 ，此即 的极大似然估计量。,0ldniix1l例：设总体 的概率密度为X)0,(,0,0)(1 axeaxf a据来自总体 的简单随机样本 ，求未知参数 的X),(21nX 最大似然估计量。解：由 0,0)(1xeaxf a得总体 的样本 的似然函数X),(21nX niainxniain xexLai 1121 ep)(),( 再取对数得：niiniaxxL11)l()l(ln10再求 对 的导数：LlnniaxdL1l令 ，得0l1niaxdniax1所以未知参数 的最大似然估计量为 。niax1练习：设总体 X 的密度函数为 )0(01),(1othersxxxfX1,X2,Xn 是取自总体 X 的一组