金融工程习题及答案

二习题1、假定外汇市场美元兑换马克的即期汇率是 1 美元换 1.8 马克，美元利率是 8%，马克利率是 4%，试问一年后远期无套利的均衡利率是多少？2、银行希望在 6 个月后对客户提供一笔 6 个月的远期贷款。银行发现金融市场上即期利率水平是：6 个月利率为 9.5%，12 个月利率为 9.875%，按照无套利定价思想，银行为这笔远期贷款索要的利率是多少？3、假如英镑与美元的即期汇率是 1 英镑=1.6650 美元，远期汇率是 1 英镑=1.6600 美元， 6 个月期美远与英镑的无风险年利率分别是 6%和 8%，问是否存在无风险套利机会？如存在，如何套利？4、一只股票现在价格是 40 元，该股票一个月后价格将是 42 元或者 38 元。假如无风险利率是 8%，用无风险套利原则说明，执行价格为 39 元的一个月期欧式看涨期权的价值是多少？5、条件同题 4，试用风险中性定价法计算题 4 中看涨期权的价值，并比较两种计算结果。6、一只股票现在的价格是 50 元，预计 6 个月后涨到 55 元或是下降到 45 元。运用无套利定价原理，求执行价格为 50 元的欧式看跌期权的价值。7、一只股票现在价格是 100 元。有连续两个时间步，每个步长 6 个月，每个单步二叉树预期上涨 10%，或下跌 10%，无风险利率 8%（连续复利） ，运用无套利原则求执行价格为 100 元的看涨期权的价值。8、假设市场上股票价格 S=20 元，执行价格 X=18 元，r=10%,T=1 年。如果市场报价欧式看涨期权的价格是 3 元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？9、股票当前的价格是 100 元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是 3 元和 7 元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为 100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票） 。试问无风险债券的投资成本是多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？习题解答：1、按照式子：（1+8%）美元=1.8 （1+4% ）马克，得到 1 美元=1.7333 马克。2、设远期利率为 i,根据（1+9.5% ）（1+i ）=1+9.875%, i=9.785%.3、存在套利机会，其步骤为：（1） 以 6%的利率借入 1655 万美元，期限 6 个月；（2） 按市场汇率将 1655 万美元换成 1000 万英镑；（3） 将 1000 万英镑以 8%的利率贷出，期限 6 个月；（4） 按 1.6600 美元/英镑的远期汇率卖出 1037.5 万英镑；（5） 6 个月后收到英镑贷款本息 1040.8 万英镑（1000e 0.080.5） ，剩余 3.3万英镑；（6） 用 1037.5 万元英镑换回 1722.3 万美元（1037.51.66） ；（7） 用 1715.7 美元（1665 e 0.060.5）归还贷款本息，剩余 6.6 万美元；（8） 套利盈余=6.6 万美元+3.3 万英镑。4、考虑这样的证券组合：购买一个看涨期权并卖出 股股票。如果股票价格上涨到 42 元，组合价值是 42-3；如果股票价格下降到 38 元，组合价值是 38。若两者相等，则 42-3=38，=075。可以算出一个月后无论股票价格是多少，组合 的价值都是 28.5，今天的价值一定是 28.5 的现值，即 28.31=28.5 e-0.080.08333。即-f+40=28.31，f 是看涨期权价格。f=1.69。5、按照风险中性的原则，我们首先计算风险中性条件下股票价格向上变动的概率 p,它满足等式：42p+38(1-p)=40 e 0.080.08333,p=0.5669,期权 的价值是：（30.5669+0 0.4331）e -0.080.08333=1.69,同题 4 按照无套利定价原则计算的结果相同。6、考虑这样的组合：卖出一个看跌期权并购买 股股票。如果股票价格是 55元，组合的价值是 55；如果股票的价格是 45 元，组合的价值是 45-5。若两者相等，则 45-5=55。=-05。一个月后无论股票价格如何变化，组合的价值都是-27.5，今天的价值则一定是-27.5 的现值，即-27.5 e -0.10.5=-26.16。这意味着-p+50=-26.16,p=1.16。p 是看跌期权的价值。7、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08, 所以 p=( e0.080.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。这里 p 是风险中性概率。期权的价值是：(0. 7041221+20.70410.29590+0.295920) e-0.08=9.61。8、本题中看涨期权的价值应该是 S-Xe-rT=20-18e-0.1=3.71。显然题中的期权价格小于此数，会引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是20-3=17。17 以 10%投资一年，成为 17 e0.1=18.79。到期后如果股票价格高于18，套利者以 18 元的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利 18.79-18=0.79 元。若股票价格低于 18 元（比如 17 元） ，套利者可以购买股票并将股票空头平仓，盈利是 18.79-17=1.79 元。9、无风险证券的投资成本因该是 100-7+3=96 元，否则，市场就会出现以下套利活动。第一，若投资成本低于 96 元（比如是 93 元） ，则合成股票的成本只有 97元（7-3+93） ，相对于股票投资少了 3 元。套利者以 97 元买入合成股票，以100 元卖空标的股票，获得无风险收益 3 元。第二，若投资成本高于 96 元（比如是 98 元） ，则合成股票的成本是 102 元，高于股票投资成本 2 元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来 2元的无风险利润。三习题：1. 某交易商拥有 1 亿日元远期空头，远期汇率为 0.008 美元/日元。如果合约到期时汇率分别为 0.0074 美元/日元和 0.0090 美元/日元，那么该交易商的盈亏如何？2. 目前黄金价格为 500 美元/盎司，1 年远期价格为 700 美元/盎司。市场借贷年利率为 10%，假设黄金的储藏成本为 0，请问有无套利机会？3. 一交易商买入两份橙汁期货，每份含 15000 磅，目前的期货价格为每磅1.60 元，初始保证金为每份 6000 元，维持保证金为每份 4500 元。请问在什么情况下该交易商将收到追缴保证金通知？在什么情况下，他可以从保证金账户中提走 2000 元？4. 一个航空公司的高级主管说：“我们没有理由使用石油期货，因为将来油价上升和下降的机会是均等的。 ”请对此说法加以评论。5. 每季度计一次复利的年利率为 14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连续复利年利率。6. 每月计一次复利的年利率为 15%，请计算与之等价的连续复利年利率。7. 某笔存款的连续复利年利率为 12%，但实际上利息是每季度支付一次。请问 1 万元存款每季度能得到多少利息？8. 假设连续复利的零息票利率如下：期限（年） 年利率（%）1 12.02 13.03 13.74 14.25 14.5请计算第 2、3、4、5 年的连续复利远期利率。9. 假设连续复利的零息票利率分别为：期限（月） 年利率3 806 829 8412 8515 8618 87请计算第 2、3、4、5、6 季度的连续复利远期利率。10假设一种无红利支付的股票目前的市价为 20 元，无风险连续复利年利率为 10%，求该股票 3 个月期远期价格。11假设恒生指数目前为 10000 点，香港无风险连续复利年利率为 10%，恒生指数股息收益率为每年 3%，求该指数 4 个月期的期货价格。12某股票预计在 2 个月和 5 个月后每股分别派发 1 元股息，该股票目前市价等于 30，所有期限的无风险连续复利年利率均为 6%，某投资者刚取得该股票 6 个月期的远期合约空头，请问：该远期价格等于多少？若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少？3 个月后，该股票价格涨到 35元，无风险利率仍为 6%，此时远期价格和该合约空头价值等于多少？13假设目前白银价格为每盎司 80 元，储存成本为每盎司每年 2 元，每3 个月初预付一次，所有期限的无风险连续复利率均为 5%，求 9 个月后交割的白银期货的价格。14. 有些公司并不能确切知道支付外币的确切日期，这样它就希望与银行签订一种在一段时期中都可交割的远期合同。公司希望拥有选择确切的交割日期的权力以匹配它的现金流。如果把你自己放在银行经理的位置上，你会如何对客户想要的这个产品进行定价?15有些学者认为，远期汇率是对未来汇率的无偏预测。请问在什么情况下这种观点是正确的？16一家银行为其客户提供了两种贷款选择，一是按年利率 11%（一年计一次复利）贷出现金，一是按年利率 2%（一年计一次复利）货出黄金。黄金贷款用黄金计算，并需用黄金归还本息。假设市场无风险连续复利年利率为 9.25%。储存成本为每年 0.5%（连续复利） 。请问哪种贷款利率较低？17瑞士和美国两个月连续复利率分别为 2%和 7%，瑞士法郎的现货汇率为 0.6500 美元，2 个月期的瑞士法郎期货价格为 0.6600 美元，请问有无套利机会？18一个存款账户按连续复利年利率计算为 12%，但实际上是每个季度支付利息的，请问 10 万元存款每个季度能得到多少利息？19股价指数期货价格大于还是小于指数预期未来的点数？请解释原因。习题答案：1 若合约到期时汇率为 0.0075 美元/日元，则他赢利 1 亿（0.008-0.0075）=5 万美元。若合约到期时汇率为 0.0090 美元/日元，则他赢利 1 亿（0.008-0.009）=-10 万美元。2 套利者可以借钱买入 100 盎司黄金，并卖空 1 年期的 100 盎司黄金期货，并等到 1 年后交割，再将得到的钱用于还本付息，这样就可获得无风险利润。3 如果每份合约损失超过 1500 元他就会收到追缴保证金通知。此时期货价格低于 1.50 元/磅。当每份合约的价值上升超过 1000 元，即期货价格超过 1.667 元/磅时，他就可以从其保证金账户提取 2000 元了。4 他的说法是不对的。因为油价的高低是影响航空公司成本的重要因素之一，通过购买石油期货，航空公司就可以消除因油价波动而带来的风险。5 每年计一次复利的年利率=（1+0.14/4 ） 4-1=14.75%连续复利年利率=4ln(1+0.14/4)=13.76%。6 连续复利年利率=12ln(1+0.15/12)=14.91%。7 与 12%连续复利利率等价的每季度支付一次利息的年利率=4（e 0.03-1） =12.18%。因此每个季度可得的利息=1000012.8%/4=304.55 元。8 第 2、3、4、5 年的连续复利远期利率分别为：第 2 年：14.0%第 3 年：15.1%第 4 年：15.7%第 5 年：15.7%9 第 2、3、4、5、6 季度的连续复利远期利率分别为：第 2 季度：8.4%第 3 季度：8.8%第 4 季度：8.8%第 5 季度：9.0%第 6 季度：9.2%10.期货价格=20e 0.10.25=20.51 元。11.指数期货价格=10000e (0.1-0.05)4/12=10125.78 点。12.（1）2 个月和 5 个月后派发的 1 元股息的现值=e -0.062/12+e-0.065/12=1.96 元。远期价格=(30-1.96)e 0.060.5=28.89 元。若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始价格为 0。（2）3 个月后的 2 个月派发的 1 元股息的现值= e -0.062/12=0.99 元。远期价格=（35-0.99）e 0.063/12=34.52 元。此时空头远期合约价值=（28.89-34.52）e -0.063/12=-5.55 元。13. 9 个月储藏成本的现值=0.5+0.5e -0.053/12+0.5e-0.056/12=1.48 元。白银远期价格=(80+1.48)e 0.059/12=84.59 元。14. 银行在定价时可假定客户会选择对银行最不利的交割日期。我们可以很容易证明，如果外币利率高于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最早的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最迟的交割日期。相反，如果外币利率低于本币利率，则拥有远期外币多头的客户会选择最迟的交割日期，而拥有远期外币空头的客户则会选择最早的交割日期。只要在合约有效期中，外币利率和本币利率的高低次序不变，上述分析就没问题，银行可按这个原则定价。但是当外币利率和本币利率较为接近时，两者的高低次序就有可能发生变化。因此，客户选择交割日期的权力就有特别的价值。银行应考虑这个价值。如果合约签订后，客户不会选择最有利的交割日期，则银行可以另赚一笔。15. 只有当外币的系统性风险等于 0 时，上述说法才能成立。16. 将上述贷款利率转换成连续复利年利率，则正常贷款为 10.44%,黄金贷款为 1.98。假设银行按 S 元/盎司买了 1 盎司黄金，按 1.98的黄金利率贷给客户 1 年，同时卖出 e0.0198盎司 1 年远期黄金，根据黄金的储存成本和市场的无风险利率，我们可以算出黄金的 1 年远期价格为 Se0.0975元/盎司。也就是说银行 1 年后可以收到 Se0.0198+0.0975=Se0.1173元现金。可见黄金贷款的连续复利收益率为 11.73%。显然黄金贷款利率高于正常贷款。17. 瑞士法郎期货的理论价格为：0.65e0.1667(0.07-0.02)=0.06554可见，实际的期货价格太高了。投资者可以通过借美元，买瑞士法郎，再卖瑞士法郎期货来套利。18. 与 12连续复利年利率等价的 3 个月计一次复利的年利率为：4（e 0.03-1）=12.18%因此，每个月应得的利息为：10 万0.1218/43045.5 元。19. 由于股价指数的系统性风险为正，因此股价指数期货价格总是低于预期未来的指数值。四习题：1. A 公司和 B 公司如果要在金融市场上借入 5 年期本金为 2000 万美元的贷款，需支付的年利率分别为：固定利率 浮动利率A 公司 12.0 LIBOR+0.1%B 公司 13.4 LIBOR+0.6%A 公司需要的是浮动利率贷款，B 公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是 0.1的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。2. X 公司希望以固定利率借入美元，而 Y 公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下：日元 美元X 公司 5.0 9.6%Y 公司 6.5 10.0%请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是 50 个基点，而且要求互换对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。3. 一份本金为 10 亿美元的利率互换还有 10 月的期限。这笔互换规定以 6个月的 LIBOR 利率交换 12的年利率（每半年计一次复利） 。市场上对交换 6个月的 LIBOR 利率的所有期限的利率的平均报价为 10（连续复利） 。两个月前 6 个月的 LIBOR 利率为 9.6。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？4. 一份货币还有 15 月的期限。这笔互换规定每年交换利率为 14、本金为 2000 万英镑和利率为 10、本金为 3000 万美元两笔借款的现金流。英国和美国现在的利率期限结构都是平的。如果这笔互换是今天签订的，那将是用8的美元利率交换 11的英镑利率。上述利率是连续复利。即期汇率为 1 英镑1.6500 美元。请问上述互换对支付英镑的那一方价值为多少？对支付美元的那一方价值为多少？5. 解释互换的市场风险和信用风险的区别。6. X 公司和 Y 公司的各自在市场上的 10 年期 500 万美元的投资可以获得的收益率为：固定利率 浮动利率X 公司 8.0 LIBORY 公司 8.8 LIBORX 公司希望以固定利率进行投资，而 Y 公司希望以浮动利率进行投资。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是 0.2的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。7. A 公司和 B 公司如果要在金融市场上借款需支付的利率分别为：A 公司 B 公司美元浮动利率 LIBOR0.5 LIBOR+1.0%加元固定利率 5.0 6.5%假设 A 公司需要的是美元浮动利率贷款，B 公司需要的是加元固定利率贷款。一家银行想设计一个互换，并从希望中获得的 0.5的利差如果互换对双方具有同样的吸引力，A 公司和 B 公司的利率支付是怎么安排的？8.为 什 么 说 货 币 互 换 可 以 分 解 为 一 系 列 远 期 外 汇 协 议 ？习题答案1. A 公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但 A 公司想借的是浮动利率贷款。而 B 公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但 A 公司想借的是固定利率贷款。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利率贷款上的年利差是 1.4%，在浮动利率贷款上的年利差是 0.5。如果双方合作，互换交易每年的总收益将是 1.4%0.5%=0.9%。因为银行要获得 0.1%的报酬，所以 A 公司和 B 公司每人将获得 0.4%的收益。这意味着 A 公司和 B 公司将分别以 LIBOR0.3%和 13%的利率借入贷款。合适的协议安排如图所示。12.3% 12.4%12% A 金 融 中 介 B LIBOR+0.6%LIBOR LIBOR2. X 公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，Y 公司在美元市场上有比较优势但想借入日元。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在日元贷款上的利差为 1.5%，在美元贷款上的利差为 0.4%，因此双方在互换合作中的年总收益为 1.5%0.4%=1.1%。因为银行要求收取 0.5%的中介费，这样 X公司和 Y 公司将分别获得 0.3%的合作收益。互换后 X 公司实际上以9.6% 0.3%=9.3%的利率借入美元，而 Y 实际上以 6.5%0.3%=6.2%借入日元。合适的协议安排如图所示。所有的汇率风险由银行承担。日 元 5% 日 元 6.2%日 元 5% A 金 融 中 介 B 美 元 10%美 元 9.3% 美 元 10%3. 根据题目提供的条件可知，LIBOR 的收益率曲线的期限结构是平的，都是 10%（半年计一次复利） 。互换合约中隐含的固定利率债券的价值为百万美元0.3.10.83.166.ee互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为百万美元0.3.14.6因此，互换对支付浮动利率的一方的价值为 百万美元，031.97对支付固定利率的一方的价值为1.97 百万美元。4.我们可以用远期合约的组合来给互换定价。英镑和美元的连续复利年利率分别为 10.43和 7.70。3 个月和 15 个月的远期汇率分别别和 。对支付英镑的一方，远期合约0.2573161.68e1.25073.946e的价值为百万美元0.7.25.81.百万美元.32159463e本金交换对应的远期合约的价值为百万美元0.71.250.4.6所以互换合约的价值为 百万美元。15635.信用风险源于交易对方违约的可能性，而市场风险源于利率、汇率等市场变量的波动。6.X 公司在固定利率投资上的年利差为 0.8，在浮动利率投资上的年利差为 0。因此互换带来的总收益是 0.8。其中有 0.2要支付给银行，剩下的 X和 Y 每人各得 0.3。换句话说，X 公司可以获得 8.3的回报，Y 公司可以获得 LIBOR0.3的回报。互换流程如图所示。8.3% 8.5%LIBOR X 金 融 中 介 Y 8.8%LIBOR LIBOR7. A 公 司 在 加 元 固 定 利 率 市 场 上 有 比 较 优 势 ， 而 B 公 司 在 美 元 浮 动利 率 市 场 上 有 比 较 优 势 ， 但 两 个 公 司 需 要 的 借 款 都 不 是 自 己 有 比 较 优 势 的那 一 种 ， 因 此 存 在 互 换 的 机 会 。两 个 公 司 在 美 元 浮 动 利 率 借 款 上 的 利 差 是 0.5%， 在 加 元 固 定 利 率 借款 上 的 利 差 是 1.5%， 两 者 的 差 额 是 1%， 因 此 合 作 者 潜 在 的 收 益 是 1%或 100 个 基 点 ， 如 果 金 融 中 介 要 了 50 个 基 点 ， A、 B 公 司 分 别 可 得 25个 基 点 。 因 此 可 以 设 计 一 个 互 换 ， 付 给 A 公 司 LIBOR+0.25%的 美 元 浮 动利 率 ， 付 给 B 公 司 6.25%的 加 元 固 定 利 率 。加 元 5% 加 元 6.25%加 元 5% A 金 融 中 介 B 美 元LIBOR+1%美 元 LIBOR+0.25% 美 元 LIBOR+1%本 金 的 支 付 方 向 在 互 换 开 始 时 与 箭 头 指 示 相 反 ， 在 互 换 终 止 时 与 箭 头 指示 相 同 。 金 融 中 介 在 此 期 间 承 担 了 外 汇 风 险 ， 但 可 以 用 外 汇 远 期 合 约 抵 补 。8.货 币 互 换 的 每 一 项 支 付 都 可 以 看 作 一 份 远 期 合 约 ， 因 此 货 币 互 换 等 价与 于 远 期 合 约 的 组 合 。五习题：1某投资者买进一份看涨期权同时卖出一份相同标的资产、相同期限相同协议价格的看跌期权，请描述该投资者的状况。2. 甲卖出 1 份 A 股票的欧式看涨期权，9 月份到期，协议价格为 20 元。现在是 5 月份，A 股票价格为 18 元，期权价格为 2 元。如果期权到期时 A 股票价格为 25 元，请问甲在整个过程中的现金流状况如何？3. 为什么交易所向期权卖方收保证金而不向买方收保证金？4请解释为什么相同标的资产、相同期限、相同协议价格的美式期权的价值总是大于等于欧式期权。5设某一无红利支付股票的现货价格为 30 元，连续复利无风险年利率为 6%，求该股息协议价格为 27 元，有效期 3 个月的看涨期权价格的下限。6某一协议价格为 25 元，有效期 6 个月的欧式看涨期权价格为 2 元，标的股票价格为 24 元，该股票预计在 2 个月和 5 个月后各支付 0.50 元股息，所有期限的无风险连续复利年利率均为 8%，请问该股票协议价格为 25 元，有效期 6 个月的欧式看跌期权价格等于多少？7假设你是一家负债率很高的公司的唯一股东。该公司的所有债务在 1 年后到期。如果到时公司的价值高于债务，你将偿还债务。否则的话，你将宣布破产并让债权人接管公司。（1）请将你的股权表示为公司价值的期权；（2）请将债权人的债权表示为公司价值的期权；（3）你有什么办法来提高股权的价值？8设 c1、c 2和 c3分别表示协议价格为 X1、X 2、X 3的欧式看涨期权的价格，其中X3X2X1且 X3X 2=X2X 1，所有期权的到期日相同，请证明： )(5.0312cc9、请用看涨期权看跌期权平价证明用欧式看跌期权创造蝶式差价组合的成本等于用欧式看涨期权创造蝶式差价组合的成本。10、箱型差价组合（Box Spread）由看涨期权的牛市差价组合和看跌期权的熊市差价组合组成。两个差价组合的协议价格都是 X1和 X2。所有期权的期限都一样。请分析该箱型差价组合的结果。习题答案：1、 该投资者最终的结果为：max(ST-X,0)+min(ST-X,0)=ST-X可见，这相当于协议价格为 X 的远期合约多头。本习题说