固体习题之一

1固体物理学习题1. 求 sc 晶格中沿 ，以及面对角线，体对角线方向，和 方向的晶列指数。321321a,a 321a2. 设两原子间的相互作用能可表示为mnurr其中，第一项为吸引能；第二项为排斥能；、n 和 m 均为大于零的常数。证明，要使这个两原子系统处于稳定平衡状态，必须满足 n m 。3. 原子质量为 ，原子间距为 的一维单原子链，设原子间力常数为 , 在最近邻近似和最近邻近似下a（1）写出晶格振动的运动方程；（2）求出格波色散关系并画出示意图；（3）分析并确定波矢的独立取值范围；（4）分析并确定波矢的具体分立取值。4. *设晶体的总相互作用能可表示为 mnABUrr其中，A、B、m 和 n 均为大于零的常数， r 为最近邻原子间的距离。根据平衡条件求：(1)平衡时，晶体中最近邻原子的间距 r0和晶体的相互作用能 U0；(2)设晶体的体积可表为 VNr 3，其中 N 为晶体的原子总数， 为体积因子。若平衡时晶体的体积为 V0，证明：平衡时晶体的体积压缩模量 K 为。09nUK5. 画出 sc 的（100） ， （110） ， （111） ， （121） ， （231）晶面。6. 证明晶面指数的两个定义等价。7. 证明，对于立方晶系，晶向 与晶面( hkl)正交。hkl8. 证明：1） 、正基矢与倒基矢的关系 02ijjiba2） 、正格矢与倒格矢的关系 （ m 为整数） hlR3） 、两种点阵原胞间的关系 3)2(4） 、正格子与倒格子互为对方的倒格子（倒格子的倒格子是正格子） 25） 、倒格矢 与正格子晶面族( )正交.321bhh321h9. 说明半导体硅单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞（Conventional unit cell）中的硅原子数；如果晶格常数为 a，求正格子空间原胞（Primitive cell）的体积和第一布里渊区的体积。10. 说明氯化钠单晶的晶体结构，布拉伐格子，所属晶系，每个晶胞中包含的原子数；如果晶格常数为 a，求正格子空间原胞（Primitive cell）的体积和第一布里渊区的体积。11. 求 NaCl 晶体中一个原胞的平均相互作用势能。12. 求一维 NaCl 晶体的马德隆常数。13. 求 NaCl 晶体的马德隆常数，仅计算至次次近邻。14. 用 H 原子的波函数（R n,l, Yl,m）表示出 Px, Py, Pz 轨道波函数；写出金刚石中 C 原子的四个 sp3杂化轨道波函数。15. 问题：证明(2.45)可以等价地写成如下形式：（1） ， r0为两原子体系的平衡距离。60120ijijijru（2） ， （约化单位：能/，长度/ r0）612ijijij16. 写出 Lennard-Jones 势。17. 计算一位单原子晶格中格波速度（相速度）v p，证明在长波极限（ ） ，晶格中传播的格波就象在连续介质中传0q播一样。18. 计算布里渊区边界处格波的群速度，并对结果进行讨论。19. 一维双原子晶格，对长声学波（ q0， -0） ，证明：1） ， 它与连续介质的色散关系（ kv）一致，这是 -支被称为声vYaMmaq 22学波的原因。2） 表明，在长波限，两种原子振幅相同；又相邻原子的位相 aq0，故长波限声学波与连续机械波类1AB似。这是 -支被称为声学波的又一原因。20. 一维双原子晶格，对长光学波（ q0） ，证明： 说明这结果的物理意义。1.2MmABCons21. 求三维晶格的波矢空间 q 点的分布密度。22. 证明声子无真实物理动量。323. 一维单原子晶格中两个声子 和 发生碰撞后形成第三个声子 ,求 的大小: 1）1q2 3q.a);aq32621 24. (2013-11-27 改造) 二维正方格子，原胞基矢 ， ，求：1aijja21) 倒基矢 ， ；1b22) 写出倒易空间中任意倒格点的位置矢量 的表达式；hK3) 画出第一布里渊区；4) 写出倒易空间中声子波矢 的表达式；q5) 画出倒易空间中声子波矢 （点）的分布示意图6) 设两个声子 相撞后变成 ，求 ：12,3(1) 22120.5.,0.qbqb(2) .136二维正方格子，原胞基矢 ， ，求：1aijja21、 2120.5.,0.qbqb2、 。1336解：（1） 由正基矢与倒基矢的关系 可得：ijjiba22,()biija（2） 倒易空间中任意倒格点的位置矢量可表示为12112()mGbmija（3） 如图：4（4）（a）:当 时，1122120.5.,0.qbqb位于第一布里渊区内，所以，2 4(54)ija3112.(b):当 时，122120.,0.3.6qbqb位于第一布里渊区外，所以，2168(8)ija3,121212.0.4.0.4.()0Gbiijijaa 25. 求一个振动模的平均声子占有数。26. 对于 ，求振动模式密度 ：（a）三维情况；（b）二维情况；（c）一维情况。2cq)(g27. 什么是固体热容量的爱因斯坦模型，什么是固体热容量的德拜模型？28. 利用晶格振动的量子理论，导出爱因思坦模型的定容热容 的表示式，并进一步证明： （1）T 时， 过渡VCEVC到杜隆柏替定律。 （2）T 时，此模型不正确。E29. 利用晶格振动的量子理论，导出德拜模型的定容热容 的表示式，并进一步证明（1）T 时， 过渡到杜隆DV柏替定律。 （2）T 时，此模型严格正确。D530. 求一维单原子链的振动模式密度 。)(g31. 求德拜模型的振动模式密度32. 计算一定模式（振动模）下原子的振幅与该模式中声子占有数的关系，并对结果进行讨论，说明 T0 时也有振动。33. 一边长为 L 的单价原子立方体金属块，由 N 个原子组成，将价电子视为自由电子。 （1）求自由电子气的能级密度的表达式。 （2）求 T0K 时，电子气的费米能 的表达式及电子的平均动能。0FE34. 使用自由电子气模型证明绝对 0K 下 k 空间费米球的半径为 kF=(3 2n)1/3, n 为电子密度。35. 设有二价金属原子构成的晶体，试证明自由电子费米球与第一布里渊区边界相交（提示：倒格子空间离原点与最近的倒格子间连线的垂直平分面围成的区域位第一布里渊区，也称简约布里渊区）解：（1）T=0 时低于费米能 EF0 的能及全部被电子占据，而电子是费米子，每个状态只允许一个电子占据 )( 0)(0FEf在能级间隔 EE+dE 中的电子数 dN=f(E) (E)dE 23000)(1FEECdddNFF 其中 带入上式得：23)(4hmVC2302)(3FEN设 n 为电子密度，则 n=N/V 2302)(4FhmV 30)(nEFT=0 时费米球面半径 31200)(nEkFF得证。（2）二价金属原子构成的晶体，其布拉伐格子为体心立方（bcc） ，其倒格子为面心立方（fcc）在 bcc 中 a、b 、c 为晶胞基矢，则 a=ai, b=bj, c=ck原胞基矢：a1=a(-i +j +k)，a 2=a(+i -j +k)，a 3=a(+i +j +k)6则 fcc 中 ，12314()4()bajkjk在具有体心立方结构的二价金属原子的一个晶胞中，有 4 个电子电子密度 n=4/a3，代入自由电子费米球面半径 得31200)(nmEkFF面心立方原胞和 WignerSeitz 原胞面心立方原胞和 WignerSeitz 原胞1230()Fka123011230()4.924.76.8Fbaka自由电子费米球与第一布里渊区边界相交。36. 由泡利不相容原理，金属中费米面附近的自由电子容易被激发，费米能级以下的很低能级上的电子很难被激发，通常被称为费米冻结。用此物理图像，估算在室温下金属中一个自由电子的比热。解：电子的热容主要来自金属中费米面附近的自由电子的贡献。在室温 T0 时，能够发生跃迁的电子数为：70232300 49 FBETkETk ETkNdCdNFBFB （N 为自由电子总数）每个电子具有的能量为 BN个可发生跃迁的电子总能量 02)(8723 FBBETkNkE2074BVFkTECN金属中一个自由电子的比热 20VBF36-1. （2015 加）证明对金属自由电子气的热容量有贡献的电子数约为总自由电子数目的 1%。36-2. （ 2015 加 ） 根据金属热电子发射的电流密度的查孙-杜师曼公式： ， 证明两块金属 I 和 II 的接触电势B-W/kT2j=Ae差是， ()/IIWe36-3. （2015 加）一个电子具有的固有磁矩叫什么，用什么符号表示。电子气磁化率的经典理论叫什么（哪位科学家的贡献），与温度是什么关系？对吗？电子气磁化率的量子理论叫什么（哪位科学家的贡献） ，与温度是什么关系？对吗？37. （20 分）六角晶体的原胞基矢是， ， 。jia213jiab213kc（2015-6-29 说明：以上有误，应该为 ， ， ，相应地以下求解也要改。 ）132aij312aij3ck8求其倒格矢。解：原胞体积 )(cbaacicjaji k23)213()1( 23由倒格子基矢的定义 )(*ba)3(2214)32jaiicckjia*cb)3(2214)(32jaiiccjiak*bckckaajiji2)43(34)21()21(29倒格矢 （h,k,l 为整数）321blkhGkcljhikaljaij 2)(2)(32)38. 证明布洛赫定理39. 一电子在如图所示的周期势场 中运动，这里， 。)nax(V) axcV)x(0求：1） 、将 的展为傅立叶级数，并计算展开系数 Vm；)x(V2） 、计算 ； dxVH)(kL*)(kk00?dx)(kL*)(k 003） 、写出一般微扰理论的二级修正本征能量和一级修正波函数。说明为什么一般微扰理论不适于描述晶格周期场中电子的状态；am4） 、对本题周期势场 中运动的单电子，设 是一小量（ ） ，对于接近 的态 ，利用简并微扰)x(1am)(k1理论求其本征能量表达式；5） 、对 的情况，求电子能量表达式 ； 0E6） 、求第一能带宽度和第二带隙 Eg。解：1）于是， ，其中，nxaineV)x(2a*nxainde)(V021利用 ， 可以写为bGn1100ciGan*xiGn nneade)(V102） )amk(Vd)(eaHmaimk 20123）一级微扰修正的波函数： kkkkk EH)0()0()0()1()0( = xamkimmikx eLaVeL )2(221)( .e)ak(meLxamiikx 221二级微扰修正的能量为： mm)(k)(k )ak(VVE22220 表示对 的所有整数求和。m二级微扰修正的能量 在 处发散。显然，这结果没有意义。换句话说，上述计算结果在 处没有意)2(ka amk义，不适于描述晶格周期场中电子的状态。出现这种情况的原因是，当 时，存