微分方程自测题答案

微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页367提示：差分方程内容不用看微分方程自测题 A 答案与提示一、单项选择题1. 答案：A提示： 原方程可化为 .221yxd2. 答案：D提示：原方程可化为 （伯努利方程 ）.2xyd2n3. 答案：A提示：特征方程为 ， .故特解为 .20r1,2rxeAy21)(4. 答案：C提示：特征方程为 , .故特解为 .24r120ri)sinco(21xx5. 答案：B提示：所求齐次微分方程的特征方程的根应为 ，而选项 B 的特征方程为1,2ri，满足条件.20r6. 答案：B提示：由已知条件，特征方程 有根 .故320rabrc12,3 0r，则 .322(1)rabrc,17. 答案：B提示：按照差分及差分方程的定义验证即可.8. 答案：C提示：差分方程的定义验证即可.二、填空题1答案： 21xey微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页368提示：原方程可化为变量可分离方程 ，解得 .由21xdy21()xCe，得 ，从而 .(1)2yC21xey2. 答案： )(1cx提示：原方程可化为变量可分离方程 ，解得 .1dyx)(1cxy3. 答案： 21xy提示：原方程可化为齐次方程 .令 ，则 ，解得2dyxyux2dxu，即 .由 ，得 ，故 .21uCx21y(1)1C24. 答案： xexcex 2cos4sino(提示：特征方程为 ，特征根为 .则齐次方程的通解为250r1,ri.由于 是特征方程的根 ,所以应设特解为12(cosin)xYex12i(1, 2).把它代入原方程，可得 .*isyab0, 4ab5. 答案： 6xy提示：设曲线方程为 .过曲线上点 的切线方程为 .因切线()yx(,)xy()dyx被切点平分，则 .由此得微分方程 ，解得 ，又曲线通02ddyc过点 ，则 .(2, 3)6c6. 答案： )1(2xe提示：函数 连续，则 可导，从而 可导.对yf0()xfd 201()()xfxefd其求导，得 ，解得2xdex.由 ,得 .故22(2)(2)()1()ddxxyCeeC1(0)2fC微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页369.21()()xfe7. 答案： 6x提示： ，代入函数 并化简得3321()xxxyyy3(1)2xxy3 313()(2)6.xx 8. 答案： 124xxxyC提示：特征方程为 ，特征根为 ，按照齐次差分方程的求解70123,4公式得通解为 .1243xxxy三、计算题1.解： (1） 1)2ln(2xey(2） 1cx(3） yos(4） 4122yCexy(5） )(xx(6） )215sin215cos3211 xCeyx(7） 6)(14xx(8） ysin3co2sin32解：原方程化为 ，令 u = x y , 得)(l)(yx(分离变量方程)uxld3解： ypeuxpx1212代入原方程整理得x4()微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页370uqpu()1402令 得ku04.解: 将特解代入方程得恒等式 xxx ecbaeeba)1()2()1(比较系数得 ，得0c2故原方程为 xey2对应齐次方程通解: ，由于xxeCY21 xey原方程通解为 x5解：用 对等式左边的积分 进行替换，然后再两边求导数，得出tu10)(dtxf需满足的微分方程便能解出 .)(xf nC6解： 4)63si263(cos2 ttetPt7解：验证 及 都是对应齐次方程的解.用齐次线性方程解的)1xy(1xy性质即可得出证明.8. 解： 由两种不同类型的自由项，分别设定试解得()fx.122384534xxyCx微分方程自测题 B 答案与提示一、单项选择题1. 答案：A提示： .11, xxxee2. 答案：C微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页371提示：解方程可得 .由 ，知 .1coslnl2xyC21lntaxC()ye0C由此可得 .ta2xye3. 答案：D提示：原方程可化为 .12dyxx4. 答案：B提示：方程 对应齐次方程的通解为 ，故原方程的通解为)()(QyP ()PxdYce.()1xdyce5. 答案：A提示：代换 将微分方程 化为 ,为一阶齐次方mzybyaxy 11maxbzz程，则有 ， ，从而 .1116. 答案：C提示：特征方程为 ，得 .则通解为2222104rpqrpr1,2pr.21()pxye7. 答案：A提示：方程 的通解是 方程 的特解形式为 待130tty3,ttYC12ttyB(tyk定），代入方程 得到 ，所以选择 A.2ttBk8. 答案：B提示： 的特征根是 1 是特征单根，所以特解形式是21430xxxyy12,3,.()xA二、填空题 1答案：通解是 21yxc微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页372提示：原方程化为可分离变量方程 ，可得通解为 .21ydx21yxc2. 答案：特解 xy2提示：特征方程为 ， ， .非齐次项 属于 型，其中0r1r212()xmeP是特征方程的单根， ，故非齐次方程的特解可设为 ，代入原方程可0m*yc得 .2c3. 答案：通解是 1323()()DCyy提示：由已知条件，可证 和 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解.故原方程的通解是12()()0yaxy.33C4. 答案：通解是 12345()sin()cosxyCexCx提示：特征方程为 ，特征54 2211()10rrrrr根为 (二重), (二重). 故原方程的通解可表示为12,3 ri4,5i.)sn)cosxyCexCx5. 答案：通解是 2l(y提示：作变量替换 ，则原方程可化为 .则通解为 ，即ux 0udxlnxuc.2ln()xyC6. 答案：需求函数 310pxe提示：由题意，知需求价格弹性函数 ,解得 .当 时，需3pdx3()pxce0求量为 ，则 .从而需求函数为 .10x10c310p7. 答案：通解是 2xy微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页373提示：方程 是一阶线性非齐次方程，对应齐次方程的通解为 ，非齐次的2xy xYc特解形式为 ,代入方程 求得 ，所以通解是()AB2xy1,AB.2xyc8. 答案：通解是 123xxxyC提示：方程 的特征方程为 ，特征根是 所2560x 256012,3,以通解是 .13xxy三、计算题1解：将 代入微分方程 ，xtde02 2xey，所以 - = ，方程成立，220xtxyey220xted20xted2x因此 是方程特解。t22解： 时， ； ，ydyx2dyx2()4c时， ，令 ，有方程 ，0zzddzx， ，2()4cxz2()4cy。时， 时， 0)(2yxcy3（1）解： ， ，为一阶齐次微dxd)(22222()1yxyx分方程，令 ，则 ，原方程化为uxyuxy， ，解得21d2()x1lncxu即 或 1lnycxcxln（2）解： ，当 时，e)(22 x1y微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页374为一阶线性非齐次方程，代入其通解公式221()xyex=()()PdPdeQC2211()dxdxyeeC，112()xxye1x1xc当 时， ，C=1,y因此 xe1（3）解： ， 是一阶线性非齐次方程，代xyycosln2 21cos2lnlxyyx入通解公式， ，12lln()deedC或 21silnyxCxcysil2（4） co提示：令 ()sinzf解：令 ， 是一阶线性非齐次方程，xy()sin1yzx(1)dxeeCxe因此 csin4 解： ，得到 ，代入一阶线性非齐次0()() xxyt()xyt()xyxe方程通解公式 ，dece又 ，(0)1c因此 xy5（1）解: 二阶常系数齐次微分方程的特征根 ， 120，r因为 ，二阶常系数非齐次微分方程特解应为2()fabc*01)yxAx（2）解: 二阶常系数齐次微分方程的特征根 （二重根），121，r因为 ，二阶常系数非齐次微分方程特解应为()xfeab*201y（3）解: 二阶常系数齐次微分方程的特征根 120，r因为 ，二阶常系数非齐次微分方程特解应为()cosinfxx*yab微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页375（4）解: 二阶常系数齐次微分方程的特征根 121，riri因为 ，二阶常系数非齐次微分方程特解应为()cosin)xfeABx*yab6解: 的特征方程： ，2 210r12，rii的特解设为 ，代入解出2x*101yxA，012,AA2的特解设为 ，代入解出cosy*(cosin)abx，,ab*2sinyx所以，方程 的特解为 xysin217解: 通解为:0xCy21通解为aasincos通解为:xxae218解：化方程为 )(3dy令 , 则1xt txtd(齐次方程)ytt23d令 ，得可分离变量方程tutud132解为 ，将变量回代得通解为C)3(2 Cxy)3)(29解：（） 由题设可得),(1)(2,023xfxp解此方程组，得 .3)(,xf（） 原方程为 .13yx 解 ，程 的 两 个 线 性 无 关 的 特是 原 方 程 对 应 的 齐 次 方显 见 21,y所以是 原 方 程 的 一 个 特 解 ，又 x* .121xCy微积分学习辅导与提高 第八章 微分方程与差分方程第 页37610. 解： 由两种不同类型自由项构成，特解有两种形式，与方程()fx对应的特解为 ，与方程 对应的特解为12632nny13xya1262ny，分别代入方程求待定系数得 ， ；所以方程通解为b b132xxyC代入初始条件得到特解为 。 1352xxxy11. 解：由于 ，把 代入，方程可改写为11()6ttttpSD32,45ttttSpDp1)28tttttp328ttpP这是一阶常系数非齐次线性差分方程，对应齐次方程的特征方程 故10,2对应齐次方程的通解 .12ttpc因为 1 不