北航7系理论力学d-ch5D

2018/6/4,1,作业：5-14、5-29、补充题,补充题：已知质量为m的质点, 被约束在 y=sin2x 的曲线上运动 ( y 轴铅垂向上x 轴水平 ). 试应用第一类Lagrange方程建立质点的运动微分方程.,第一类Lagrange方程,2018/6/4,2,5-5、第一类拉格朗日方程,一、问题的引出,受完整理想约束系统的Hamilton原理:系统的真实运动满足,2018/6/4,3,5-5、第一类拉格朗日方程,应用第二类拉格朗日方程必须选取独立的位形坐标。第二类拉格朗日方程不能求约束力。,2018/6/4,4,5-5、第一类拉格朗日方程,系统的约束方程为：,系统的自由度: k=n-s,受完整理想约束系统的Hamilton原理:系统的真实运动满足,二、第一类拉格朗日方程,2018/6/4,5,5-5、第一类拉格朗日方程,应用第一类Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤：将各物体的约束解除，确定各物体的广义坐标（n）用广义速度和广义坐标描述系统的动能T给出解除约束后对应于广义坐标的主动力的广义力给出系统的约束方程（s）将系统动能和约束方程代入第一类Lagrange方程,2018/6/4,6,5-5、第一类拉格朗日方程,例：应用第一类拉格朗日方程建立滑块A（视为质点）的动力学方程并求约束力。,解：1、给出系统动能,2、求系统主动力的广义力,3、给出系统约束方程,2018/6/4,7,5-5、第一类拉格朗日方程,例：质量为m, 半径为R 的均质圆盘在水平面上纯滚动，其上作用有力 Fx ,Fy和力偶 M ，求圆盘角加速度，质心加速度和摩擦力。,解：动能、约束方程和主动力的广义力,2018/6/4,8,5-5、第一类拉格朗日方程,Lagrange乘子的物理含义,2018/6/4,9,5-5、第一类拉格朗日方程,y,x,F(t),例：应用第一类拉格朗日方程建立系统动力学方程并求约束力,解：1、给出系统动能和约束方程,2018/6/4,10,5-5、第一类拉格朗日方程,2、求系统的广义力,3、求系统的Lagrange方程,2018/6/4,11,5-5、第一类拉格朗日方程,4、分析Lagrange乘子的物理含义,2018/6/4,12,5-5、第一类拉格朗日方程,2、求系统的广义力,例: 质量为m的质点被约束在半径为R的光滑圆柱面上，用第一类拉格朗日方程建立质点的运动微分方程。,解：1、给出质点的动能,3、给出质点约束方程,Lagrnage 乘子的物理含义：,2018/6/4,13,5-5、第一类拉格朗日方程,2、求系统的广义力,解：1、给出质点的动能,3、给出质点的约束方程,2018/6/4,14,5-5、第一类拉格朗日方程,参见朱照宣等编写理论力学下册，北京大学出版社,Lagrnage 乘子的物理含义：,2018/6/4,15,5-5、第一类拉格朗日方程,例: 质量为m的质点被约束在 y=sinx 的轨道上运动，该轨道在铅垂平面内，用第一类拉格朗日方程建立质点的运动微分方程。,2、求系统的广义力,解：1、给出质点的动能,3、给出质点的约束方程,问题：如何求解微分代数方程问题：如何用质点动力学的方法求约束力,2018/6/4,16,5-5、第一类拉格朗日方程,实际求解所用的方程组,第一类拉格朗日方程组,2018/6/4,17,5-5、第一类拉格朗日方程,R=1m -x -y,第一类拉格朗日方程的数值求解,2018/6/4,18,5-5、第一类拉格朗日方程,R=1m -x -y,1972年Baumgarte 提出的违约修正方法,2018/6/4,19,5-5、第一类拉格朗日方程,三、拉格朗日方程的发展与应用,17551788年：第一类和第二类Lagrange方程:,1894年:用于具有非完整约束质点系的Routh方程:,1972年:具有Baumgart违约修正的Lagrange方程:,2018/6/4,20,5-5、第一类拉格朗日方程,上个世纪80年代：开始研究微分代数方程组的数值计算方法,上个世纪90年代：开始研究基于Lagrange方程的大型动力学应用软件,2018/6/4,21,计算软件在工程设计中的应用,第一类Lagrange方程的矩阵表示法简介,2018/6/4,22,5-5、第一类拉格朗日方程,具有理想定常约束的平面运动多刚体系统的第一类Lagrange方程矩阵形式:,设系统有N个刚体,其中第k个刚体的动能为:,系统的约束方程为:,2018/6/4,23,5-5、第一类拉格朗日方程,定常约束,2018/6/4,24,5-5、第一类拉格朗日方程,只需给出：q， M，Q，,2018/6/4,25,5-5、第一类拉格朗日方程,三、第一类Lagrange方程在静力学中的应用（补充部分）,第一类Lagrange方程:,当系统平衡时，系统的动能 T=0,2018/6/4,26,5-5、第一类拉格朗日方程,例：长为L，重为W