丁克现象与人口增长数学建模论文刘彦春

丁克与人口增长摘要：本文针对丁克现象与人口增长的关系展开研究，对于问题一“由浅入深”的利用马尔萨斯(Malthus)模型，建立自限模型(Logistic 模型)，进而对我国未来 50 年丁克现象进行预测。运用 Matlab 软件对预测数据进行图象模拟，直观的反映了我国丁克现象的发展趋势。对于问题二丁克现象对我国未来人口增长的影响，本文通过改进总和生育率函数，利用偏微分方程建立了人口预测模型，从而实现对我国未来 50 年的人口预测，并运用 Matlab 软件拟合预测曲线。本文最后通过后验差检验法对预测数据进行检验，并对模型结果进行科学分析，进而说明了模型的精确度和可靠性。关键词：马尔萨斯(Malthus)模型 自限模型(Logistic 模型) 生育率 偏微分方程 后验差检验法 Matlab 软件一 、问题分析丁克家庭主要是指夫妻双方有生育能力而自愿不生育的新型家庭模式。据美国人口调查局公布的年度分析报告表明：1993 年美国丁克家庭已超过家庭总数的 51%，致使总和生育率下降，人口出现负增长；而意大利、希腊和西班牙由于受丁克现象影响较为严重，已加入全球出生率最低的国家之列；丁克家庭的增长直接影响人口的老龄化速度加快，导致生产力水平下降，制约着社会经济发展。从 20 世纪 80 年代开始，丁克家庭开始在我国大城市涌现，1979 一 1989 年间上海共有 113.24 万对男女登记结婚，其中约有 16.48 万对夫妇没有生育过孩子。在上海 2002 年丁克家庭占家庭总数的12.6%，并且，至今连续 8 年上海人口持续负增长。 我国的丁克家庭在日益增多，这1将会制约着我国人口发展影响总和生育率，人口老龄化问题严重，致使生产力水平下降，国民经济下滑。基于丁克人口现状分析，预测未来发展趋势，是人口发展及社会经济发展的有力保障。 1本文在丁克现象的分析预测中，暂时忽略了一些外在影响因素。现在假设我国社会经济稳定，短期时间内丁克现象的自然增长率不变，此时，本文只考虑丁克现象原有的基数及自然增长率对未来丁克现象的数量发展的预测作用。根据中国人口统计年鉴中的数据进行模型的建立。本文研究的课题是丁克与人口增长，将复杂问题简单化，分析时，从单个影响因素逐一思考，建立模型解题时，简单模型不断完善，全面考虑影响因素，提高预测模型准确性。首先，基于马尔萨斯(Malthus)模型建立自限模型(Logistic 模型)，利用Matlab 软件模拟图象。丁克家庭的持续增长，会使我国人口大幅度降低，这对我国人口问题是一个好的帮助，从而导致了我国生育率的下降。通过建立我国女性函数关系，分析丁克现象对生育率的影响，进一步改进总和生育率函数，利用偏微分方程考虑生育率和人口增长的关系，进而得出丁克现象对我国未来五十年人口增长的影响。根据模型预测出各个年份的人口数，最后利用后验差检验法对其进行比较，了解模型的精度和可靠性。二、符号说明P(t)：t 年时丁克人口数N(t)：我国育龄妇女总人数a(t)：生育率Y(t)：丁克女性人数m(t)：丁克影响系数d(t)：不孕不育患病率K(t)：t 年时丁克人口占全国总人口的最大百分比G(t)：t 时刻我国人口总数:人口年龄分布密度函数),(rp：在 年里年龄段为 的人口数drtp),(t ,dr:在 年里年龄为 的人的死亡率,Dr:妇女生育函数，即 年里年龄为 的妇女的生育率)(trBtr:在 年里妇女的总和生育率,三、模型假设3.1 基本假设1不考虑所查统计数字中的人口漏报现象；2没有重大影响人口发展的社会政治事件、严重的流行性疾病和自然灾害等；3假定所给数据大部分真实可靠，可以以此来估计总体数据；4假定人口总和生育率将长期稳定在某一常数；5同一年里每一个人的死亡率、生育率将保持不变为定值；6没有国际迁入和迁出或其可以忽略不计。3.2 基本概念和名词解释1.生育率：某年每 1000 名 15-49 岁妇女的活产婴儿数。又称一般生育率。该指标比出生率要精确一些，因为它将生育同可能生育的特定性别年龄的人口联系起来（通常是 15-49 岁的妇女） ，排除了年龄性别结构不同引起的偏差。2.死亡率：一年内死亡人数与同期平均人数（或期中人数）之比。说明该时期人口的死亡强度，用千分比表示。3.人口增长率：人口增长程度或增长速度，即一定时期内人口增长数与人口总数之比。通常以一年为期计算，用百分数表示。4.人口性别比：指某一人口中男性对女性的比例，通常以每 100 个女性对应的男性数来表示。5.人口年龄结构：某一年某一地区按年龄的人口总数。四、模型建立与求解1.马尔萨斯(Malthus)模型1.1 马尔萨斯(Malthus)模型的建立首先，假设只考虑丁克人口的基数和自然增长率，其他因素的影响暂不考虑，则在 t 到 t+t 这段时间内丁克人口增长为 P(t+t)-P(t)=rt, P(t)P(t)t 由此，即得丁克人口满足的微分方程 = rt, P(t)P(t) (1.1)dtP()式(1.1)函数形式简单，但由于自然增长率 r(t, P(t)的不确定性，比较难于求解，下面本文逐步深入讨论。设 rt, P(t)=r(常数)，则= rP(t) dtP()P(t ) = P (1.2)01.2 马尔萨斯(Malthus)模型求解 对式(1.2)进行求解，其解为P(t)= P e (1.3)0)t-r( 0即丁克人数按指数规律增长。 但是 t时，丁克人数也将趋于无穷，我们国家人口数将会达到下降趋势，并趋于 0，这显然不符合现实规律。当丁克人数达到一定数量时，我们国家将要采取一些措施，控制丁克人口增长，使我们国家人口数量趋于平衡以适应国家经济发展及社会稳定。2.自限模型(Logistic 模型)2.1 自限模型(Logistic 模型)的建立此时分析丁克人口增长到一定数量后，注意到，国家政府机关、自然资源、环境条件对丁克人口增长起着阻滞作用，增长率将呈零增长趋于平衡状态，并且随着丁克人口的增加这种阻滞作用会越来越大。进而，我国人口生育率加速下降、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化都统一称为阻滞因子。最后，通过对 Logistic 回归模型改进，建立丁克人口预测模型。阻滞作用体现在对丁克人口增长率 r 的影响上，使得 r 随着丁克人口数量 P 的增加而下降，因此增长率应该是丁克人数的函数。若设丁克人数达到所占我国人口一个最大比 K 时，即丁克人口最大值 KG(t) ，(G 为 t 时刻我国人口总数)，而此时丁克人数就可以描述为 r(1- )P，从而模型改进为)(tGP= r(1- )P dt()(tKPP(0) = P (2.1) 0引入常数 c=(1- ),模型(2.1)的第一式可改为)(tKG=rP-cP dtP2（2.2）对 r(P)的一个最简单的假定，设 r(P)为 P 的线性函数，即：r(P)=r-mP (r0,m0)其中，r 称为固有增长率，表示人口很少时的增长率，为了确定系数 m 的意义，引入在有阻滞因子存在的条件下所能容纳的丁克人口数 KG(t)，称为丁克人口容量。当P=KG(t)时，丁克人口不再增长。即增长率 r(K G(t)=0 时，得到如下函数：r(P)=r(1- ) (r0,m0) (2.3)KG(tP本文考虑到现在没有丁克人数的一个最大值，此时，分别根据所收集到的数据进行分析。根据国家统计局网站相关报道，我国现阶段城镇人口比重为 45.7%，乡村人口比重 54.3%，人口区域结构城市化进程不断加快，由国家人口发展战略研究报告战略目标表明，到 2020 年，城镇化率提高到 53% 。 因此本文把丁克人口所占最大比例2分为城镇和乡村两个方面考虑。根据近几年来的调查报告表明我国一些大中城市现如今丁克人数已占 12.4% 。零3点调查与指标数据网最近的一次合作研究结果表明：与 1997 年的同题调查结果相比，选择丁克(DINK)家庭的人数比例上升了 1.1% ，由于没有大量的数据事实，再加上城4镇化进程加快，于是预测城镇丁克所占最大比为 11.8，乡村由于受传统的生育观念影响较深，人口素质偏低，在这里预测丁克所占最大比例为 0.6，此时假设近几年来我国人口发展稳定，通过多次假设求解，根据城乡的差异，本文分别推测出城镇丁克人数、乡村丁克人数所占我国人口最大比例。得到在各种阻滞因子的影响下，人口增长的微分方程模型如下：. (2.4)G(t1)0(KPrdt这里假设五十年后城镇化率达到 55%，城镇丁克人数、乡村丁克人数所占我国人口最大比例分别为K=55%*11.8+45%*0.6=6.76根据国家人口发展战略研究报告我国到本世纪中叶，人口峰值控制在 15 亿人左右，之后人口总量缓慢下降 ，此时相对应的最大丁克人口数为：5K G(t) =15*6.76=1014 万2.2 自限模型(Logistic 模型)求解对上述模型，可以用分离变量法求解得到 P（t）= (2.5)rteKG)1(t0根据上式，可求得: r=0.1054。根据已有数据进行丁克人口数求值，即得出 1989年-2009 年丁克人口数据。见表1表1 1989 年-2009 年中国丁克人口数据预测（单位：万）年份 1990 1991 1992 1993 1994丁克人口预测值 34.1972 38.0773 42.3786 47.1423 52.4127年份 1995 1996 1997 1998 1999丁克人口预测值 58.2367 64.6644 71.7483 79.5432 88.1057年份 2000 2001 2002 2003 2004丁克人口预测值 97.4938 107.7658 118.9796 131.1914 144.4542年份 2005 2006 2007 2008 2009丁克人口预测值 158.8166 174.3208 191.0005 208.8791 227.9677代入数据，通过利用 软件和 对过去的丁克人口数进行求解，在其结果MatlbExcel较为合理的情况下，又对未来 50 年内的丁克人口数进行了预测，得到表2。表2我国未来五十年丁克人口预测值（单位：万）年份 丁克人口预测值2010 248.26282015 366.49612020 503.97762025 641.90512030 761.23952035 851.96422040 914.38462045 954.44042050 979.00612055 993.65542060 1002.2458基于以上两表，得到在 2002 年丁克人口数为 118.9796 万，根据国家有关部门调查，2002 年我国丁克人口达到 120 万人。显然，本文预测的结果偏小，原因可能是本模型是将环境作为丁克人口发展的阻滞因子，现在，随着科技发展，社会影响因素对丁克人口的阻滞作用相对过去显然大的多，也就导致预测的丁克人口数偏低。通过利用 软件对我国未来丁克人数发展趋势进行图象模拟，从视觉上更直Matlb观的看出未来丁克现象的影响。3.丁克现象与人口增长模型在这里本文考虑到用出生率建立起丁克现象对我国未来人口增长的影响函数。首先，把家庭模式进行分类：丁克家庭、不孕不育家庭、自愿并能生育家庭。易见丁克人数的预测值直接影响着我国未来人口生育率，而生育率是我国人口发展的主要因素之一。于是，基于自限模型(Logistic 模型)建立偏微分方程人口发展模型，预测我国未来人口发展趋势。根据有关报导，普查随机抽样得到育龄妇女不孕不育患病率 d(t)=0.08，丁克现象影响系数 m(t)=0.04e ，政策生育系数 z (t) =1.5，生育缺陷)20(3.t 1政策性调整系数 z (t)=1 , 在此，假设现有医疗设备稳定，育龄妇女不孕不育患病26率保持稳定。N(t)-N(t)a(t)-Y(t)=N(t)d(t) (3.1)其中：N(t)：我国育龄妇女总人数a(t)：生育率Y(t)：丁克女性人数d(t)：不孕不育患病率注：我国育龄妇女年龄一般在(15-49)岁之间。在这里也只考虑在(15-49)岁年龄段的女性。(3.1)变形得 N(t)a(t)= N(t) -Y(t)-N(t)d(t)a(t)= (3.2)N(t)dt-Yt由此可见生育率随丁克人口增加而降低。接下来本文进一步分析总和生育率函数，并改进总和生育率函数，考虑丁克现象影响因素对我国人口增长的影响。3.1 总和生育率函数总和生育率是反映人口生育水平的重要指标，是社会人口平均的意义上一个妇女在整个育龄区内的生育总数。函数从计划生育工作实践经验总结中出发，综合考虑现行生育政策、丁克现象等众多因素，给出了改进的总和生育率函数=(1- m(t) -d(t)z (t) z (t) (3.3)(t12其中 d(t)为不孕不育症的患病率，m(t)为丁克现象影响系数，z (t)和 z (t)分12别为政策生育系数和生育缺陷政策性调整系数。3.1.1 不孕不育症患病率不孕不育症的患病率是指某时点或时区内，某人群中出现不孕不育症的百分率。可以通过普查或随机抽样得到该概率。为简化模型，本文认为不孕症患病率每年保持稳定，并取 d(t)=0.08。3.1.2 丁克现象影响系数由于数据短缺，假设丁克影响系数稳定，在此引用丁克影响系数为 6m(t)=0.04e )20(3.t3.1.3 政策生育系数和生育缺陷政策性调整系数在本文的模型中，取政策生育系数和生育缺陷政策性调整系数值分别为z (t) =1.5 z (t)=11 23.2 总和生育率函数的确定 通过上面对影响总和生育率函数参数的讨论，总结得出中国人口生育率模型为=(1-0.08-0.04e )*1.5*1 (3.4)(t)20(3.t下面通过建立偏微分方程模型讨论总和生育率对我国人口的增长，进而得出丁克现象对我国人口增长的影响。并就我国未来五十年人口发展进行预测。3.3 偏微分方程模型3.3.1 模型原理：不考虑人口的迁入迁出，利用偏微分方程建立人口预测模型。人口总数，年龄结构的分布函数，死亡率，妇女生育率都与时间 t 有关。3.3.2 偏微分方程模型的建立本文研究任意时刻人口年龄的数量，引入人口的分布函数和密度函数，时刻 年龄t小于 的人口称为人口分布函数，记作 ，其中 ， ，均为连续变量，设r ),(trFt)0(r是连续的、可微的。时刻 的人口总数记作 ，最高年龄记作 ，理论推倒时),(tFt)Pmr设 ，于是对非负非降函数 ，有mr ),(r),(,0),( tPrFtm人口密度函数则定义为 rtp),(表示时刻 年龄在区间 内的人数。dtdr,记 D 为时刻 年龄 的死亡率，其含义是， 表示时刻 年龄在),(trr drtpr),(t内单位时间死亡的人数。,为了得到 满足的方程，考察时刻 年龄在