2019版高考数学一轮复习第七章立体几何第42讲直线平面垂直的判定及其性质学案word

.分享 2018第 42讲 直线、平面垂直的判定及其性质考纲要求 考情分析 命题趋势2016全国卷，182016全国卷，192016江苏卷，162016浙江卷，181.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.分值：56 分与直线、平面垂直有关的命题判断，线线、线面、面面垂直的证明，直线与平面所成的角的计算，求解二面角大小，由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线 l与平面 内的_任意一条_直线都垂直，就说直线 l与平面 互相垂直(2)判定定理与性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的_两条相交直线_都垂直，则该直线与此平面垂Error!l .分享 2018直性质定理垂直于同一个平面的两条直线_平行_ Error!a b2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直二面角_，就说这两个平面互相垂直(2)判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条_垂线_，则这两个平面互相垂直Error! 性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_交线_的直线与另一个平面垂直Error!l 1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线 l与平面 内无数条直线都垂直，则 l .( )(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个( )(3)若两条直线垂直，则这两条直线相交( )(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面( )(5)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( )解析 (1)错误直线 l与 内两条相交直线都垂直才有 l .(2)正确过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直(3)错误两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面(4)错误两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线(5)错误 内的一条直线如果与 内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直2设平面 与平面 相交于直线 m，直线 a在平面 内，直线 b在平面 内，且b m，则“ ”是“ a b”的( A )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件.分享 2018解析 由面面垂直的性质定理可知，当 时， b .又因为 a ，则 a b; 如果 a m， a b，不能得到 ，故“ ”是“ a b”的充分不必要条件故选 A3已知 m和 n是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m 的是( C )A 且 m B 且 m C m n且 n D m n， n 且 解析 ，且 m m 或 m 或 m与 相交，故 A项不成立； ，且 m m 或 m 或 m与 相交，故 B项不成立；m n，且 n m .故 C项成立；m n， n ，且 ，知 m 不成立，故 D项不成立，故选 C4 PD垂直于正方形 ABCD所在的平面，连接 PB， PC， PA， AC， BD，则一定互相垂直的平面有_7_对解析 平面 PAD、平面 PBD、平面 PCD都垂直于平面 ABCD，平面 PAD平面 PCD，平面 PCD平面 PBC，平面 PAD平面 PAB，平面 PAC平面 PBD，共有 7对5在三棱锥 P ABC中，点 P在平面 ABC内的射影为点 O.(1)若 PA PB PC，则点 O是 ABC的_外_心；(2)若 PA PB， PB PC, PC PA，则点 O是 ABC的_垂_心解析 (1)若 PA PB PC，由勾股定理易得 OA OB OC，故 O是 ABC的外心；(2)由 PA PB， PC PA，得 PA平面 PBC，则 PA BC又由 PO平面 ABC知 PO BC，所以 BC平面 PAO，则 AO BC，同理得BO AC， CO AB，故 O是 ABC的垂心一 直线与平面垂直的判定与性质(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(a b， a b )；面面平行的性质( a ， a )；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因.分享 2018此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直【例 1】 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E为棱 C1D1的中点， F为棱 BC的中点(1)求证：直线 AE直线 DA1；(2)在线段 AA1上求一点 G，使得直线 AE平面 DFG.解析 (1)证明：由正方体的性质可知，DA1 AD1， DA1 AB，又 AB AD1 A， DA1平面 ABC1D1，又 AE平面 ABC1D1， DA1 AE.(2)所求 G点即为 A1点，证明如下：由(1)可知 AE DA1，取 CD的中点 H，连接 AH， EH，由 DF AH， DF EH， AH EH H，可证 DF平面 AHE， AE平面AHE， DF AE.又 DF A1D D， AE平面 DFA1，即 AE平面 DFG.二 平面与平面垂直的判定与性质(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理( a ， a )(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直【例 2】 已知三棱柱 A1B1C1 ABC的侧棱与底面成 60角，底面是等边三角形，侧面B1C1CB是菱形且与底面垂直，求证： AC1 BC证明 过 C1作 C1H BC于 H，连接 AH，.分享 2018又侧面 B1C1CB底面 ABC，侧面 B1C1CB 底面 ABC BC， C1H底面 ABC侧棱 CC1与底面 ABC所成角，即为 C1CH60，在 Rt C1CH中， CH CC1，12又 CC1 BC， CH BC，即 H为 BC的中点，12在等边 ABC中， AH BC，又 C1H BC， AH C1H H， BC平面 AC1H，又 AC1平面 AC1H， AC1 BC三 垂直关系中的探索性问题解决垂直关系中的探索性问题的方法同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明【例 3】 如图，在三棱台 ABC DEF中， CF平面 DEF， AB BC(1)设平面 ACE平面 DEF a，求证： DF a；(2)若 EF CF2 BC，试问在线段 BE上是否存在点 G，使得平面 DFG平面 CDE？若存在，请确定 G点的位置；若不存在，请说明理由解析 (1)证明：在三棱台 ABC DEF中， AC DF， AC平面 ACE， DF平面 ACE， DF平面 ACE.又 DF平面 DEF，平面 ACE平面 DEF a， DF a.(2)线段 BE上存在点 G，且 BG BE，使得平面 DFG平面 CDE.13.分享 2018证明如下：取 CE的中点 O，连接 FO并延长交 BE于点 G.连接 GD， CF EF， GF CE.在三棱台 ABC DEF中，由 AB BC得 DE EF.由 CF平面 DEF，得 CF DE.又 CF EF F， DE平面 CBEF， DE GF.又 CE DE E， GF平面 CDE.又 GF平面 DFG，平面 DFG平面 CDE.此时，如平面图所示， O为 CE的中点，EF CF2 BC，易证 HOC FOE， HB BC EF.12由 HGB FGE可知 ，即 BG BE.BGGE 12 131(2018山东青岛模拟)设 a， b是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则能得出 a b的是( C )A a ， b ， B a ， b ， C a ， b ， D a ， b ， 解析 对于 C项，由 ， a 可得 a ，又 b ，得 a b，故选 C2(2016浙江卷)已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l，若直线 m， n满足m ， n ，则( C )A m l B m nC n l D m n解析 l， l ， n ， n l.3如图，在四棱锥 P ABCD中， PA底面 ABCD， AB AD, AC CD， ABC60， PA AB BC， E是 PC的中点.分享 2018证明：(1) CD AE；(2)PD平面 ABE.证明 (1)在四棱锥 P ABCD中， PA底面 ABCD， CD平面ABCD， PA CD AC CD， PA AC A， CD平面 PAC，而 AE平面 PAC， CD AE.(2)由 PA AB BC， ABC60，可得 AC PA E是 PC的中点， AE PC 由(1)知 AE CD，且 PC CD C， AE平面 PCD 而PD平面 PCD， AE PD PA底面 ABCD， PA AB 又 AB AD且 PA AD A， AB平面 PAD，而 PD平面 PAD， AB PD又 AB AE A， PD平面 ABE.4如图，在四棱锥 S ABCD中，平面 SAD平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形，且 P为 AD的中点， Q为 SB的中点(1)求证： CD平面 SAD；(2)求证： PQ平面 SCD；(3)若 SA SD， M为 BC的中点，在棱 SC上是否存在点 N，使得平面 DMN平面 ABCD？并证明你的结论解析 (1)证明：因为四边形 ABCD为正方形，所以 CD AD又平面 SAD平面 ABCD，且平面 SAD平面 ABCD AD，所以 CD平面 SAD(2)证明：取 SC的中点 R，连接 QR， DR.由题意知， PD BC且 PD BC12.分享 2018在 SBC中， Q为 SB的中点， R为 SC的中点，所以 QR BC且 QR BC12所以 QR PD且 QR PD，则四边形 PDRQ为平行四边形，所以 PQ DR.又 PQ平面 SCD， DR平面 SCD，所以 PQ平面 SCD(3)存在点 N为 SC的中点，使得平面 DMN平面 ABCD连接 PC， DM交于点 O，连接 PM， SP， NM， ND， NO，因为 PD CM，且 PD CM，所以四边形 PMCD为平行四边形，所以 PO CO.又因为 N为 SC的中点，所以 NO SP.易知 SP AD，平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD AD，所以 SP平面 ABCD，所以 NO平面 ABCD因为 NO平面 DMN，所以平面 DMN平面 ABCD易错点 联想不到已学定理错因分析：已知条件中给出了线面垂直，求证的是线线平行，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难【例 1】 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 M， N分别在 BD， B1C上，且 MN BD, MN B1C，求证： MN AC1.证明 连接 A1D， A1B， AC， MN B1C， B1C A1D， MN A1D又 MN BD， BD A1D D，.分享 2018 MN平面 A1BD CC1底面 ABCD， CC1 BD又 BD AC， AC CC1 C， BD平面 ACC1. BD AC1.同理 AC1 A1B又 A1B BD B， AC1平面 A1BD又 MN平面 A1BD， MN AC1.【跟踪训练 1】 如图， PA垂直于圆 O所在的平面， AB是圆 O的直径， C是圆 O上的一点， E, F分别是点 A在 PB, PC上的射影，给出下列结论： AF PB； EF PB； AF BC； AE BC 正确结论的个数为( C )A1 B2C3 D4解析 AB是圆 O的直径， AC BC，又 PA面 ABC，故 PA BC，且PA AC A， BC面 PAC， BC AF.又 AF PC，且 PC BC C， AF面 PBC，故 AF PB又 AE PB，且 AF AE A， PB面 AEF，从而 EF PB，故正确若 AE BC，则可证 AE面 PBC，则 AE AF，这是不可能的，选 C课时达标 第 42讲解密考纲对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等一、选择题1已知平面 平面 ， l，点 A ， Al，直线 AB l，直线 AC l，直线 m ， m ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是 ( D )A AB m B AC mC AB D AC 解析 如图所示， AB l m； AC l， m lAC m； AB lAB ，只有 D项不一定成立，故选 D.分享 20182在空间中， l， m， n， a， b表示直线， 表示平面，则下列命题正确的是( D )A若 l ， m l，则 m B若 l m， m n，则 l nC若 a ， a b，则 b D若 l ， l a，则 a 解析 对于 A项， m与 位置关系不确定，故 A项错；对于 B项，当 l与 m， m与 n为异面垂直时， l与 n可能异面或相交，故 B项错；对于 C项，也可能 b ，故 C项错；对于 D项，由线面垂直的定义可知正确3(2018江西南昌模拟)已知 m， n为异面直线，