1_6354029_7.长方体.强大的解题功能

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 309 中国 高考数学母题 (第 102 号 ) 长方体 利用 长方体 模型 ,不仅 可 以巧解线面位置关系问题 ,而且还 可 以妙解其三类内接 多 面体问题 ;实质上 ,长方体具有 集装箱功能 ,即 长方体 可以装载任 何 几何体 ,因此 ,任 何 几何体 都可以放置于 长方体 中 ,长方体 具有强大的解题功能 . 母题结构 :利用 长方体 模型 解题的 关键首先是把题中的几何体恰当的放置到 长方体 中 ,放置的原则是尽量多的使题中几何体的 面与 长方体 的面重合 ,且尽可 能 多的使题中几何体的顶点与 长方体 的顶点重合 ;第二步 ,依托 长方体 模型 的直观呈 现 功能 ,解决问题 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2007年 陕西 高考试题 )已知平面 平面 ,直线 m ,直线 n ,点 A m,点 B n,记点 A,B 之间的距离为 a,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则 ( ) (A)b c a (B)a c b (C)c a b (D)c b a 解析 :构造 正方体 ,如图 ,由图知 c b (D). 点评 :以 正方体中的 顶 点为顶点的多面体有多种 ,正方体模型的解题功能在解决这些 几何体 问题上 可 得到充分体现 . 同 类 试题 : 1.(2015 年 四川 高考试题 )如图 ,四边形 为正方形 ,它们所在的平面互相垂直 ,动点 M 在线 段 ,E、 F 分别为 中点 M 与 成的角为 ,则 最大值为 . 2.(2006年 北 京 高考试题 )平面 的斜线 于点 B,过定点 且交 于点 C,则动点 ) (A)一条直线 (B)一个圆 (C)一个椭圆 (D)双曲线的一支 面体 子题类型 :(2015 年 浙 江高考试题 )如图 ,三棱锥 ,C=D=3,C=2,点 M,N 分别 是 C 的中点 ,则异面直线 M 所成的角的余弦值是 . 解析 :把 三棱锥 长方体中 ,如图 ,由 N,由 , , N=2 2 87. 点评 :以长方体 的顶点为顶点的 多面体中有三类特殊的四面体 :直角四面体、等腰四面体和“鳖 臑 ” ; 同 类 试题 : 3.(2010 年 江 西 高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,三条棱 B,两垂直 ,且 B别经过 三条棱 B,截面面积依次为 2, 2, . 4.(2006 年 全国 高考 理 科 试题 )如图 ,平面 平面 ,A ,B ,两平面 、 所成的角分别 为4和6,过 A、 B 分别作两平面交线 的垂线 ,垂足为 A 、 B ,则 =( ) (A)2:1 (B)3:1 (C)3:2 (D)4:3 子题类型 :(1989 年全国高考 试题 )如图 ,P 是二面角 B 上的一点 ,分别在 , 上引射线 N,如果 50, 00,那么二面 角 . 解析 :在长 方体 取 平面 为 平面 面为平面 线 线 D,由 50, 00 二面 角 00. 点评 :长方体是立体几何的核心模型 ,高考中存在一类以二面角 为载体的度 量 问题 ,对于该类试 题较简单 快捷的方法是 依托长方体模型 ,即 使用 模型 解题法求解 . 310 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 同 类 试题 : 5.(1999 年第 十 届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 ) 60 的二面角 ,二面角内一点 P 到 , 的距离分别是1,2,则 P 到棱 l 的距离等于 . 6.(1996 年全国高考试题 )如图 ,正方形 在平面与正方形 在平面成 600的二面角 ,则异 面直线 F 所成角的余弦值是 . 7.(2009年 江西 高考试题 )如图 ,正四面体 ,B,x, 则在下列命题中 ,错误的为 ( ) (A)(B)直线 面 C)直线 50 (D)二面角 50 8.(2010 年 重庆 高考试题 )到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 ,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是 ( ) (A)直线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线 9.(1986年全国高考试题 )在正方形 E、 12现在沿 F 把这个正方形折成一个四面体 ,使 重合后的点记为 在四面体 ) (A) (B) (C) (D) 10.(2010 年 四川 高考试题 )如 图 ,二面角 大小是 600,线段 ,B l, l 所成的角 为 B 与平面 所成的角的正弦值是 . 11.(2003年 安徽春招 试题 )一个二面角的大小为32,其棱为 三角形 则 ) (A)81(D)8512.(1998 年第 九 届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )二面角 大小为 600,A ,B ,C l,且 , ,B 点到 的距离为 1,则直线 平面 所成的角的大小等于 . 构造 正方体 如图 ,不妨设 正方体 的棱 长为 4,取 ,作 ,设 HM=t, 则 2)1(20 t ,232t ,5 ;由 异面直线 F 所 成的角 = 补 角 22)1(2052)1(205)32(=2)1(2053;令t31=x(0bc 2在 长 方体 中 ,作出符合条件的几何图 形 (A). 在长 方体 图 棱 l 的距离 =3212. 在长 方体 图 =42. 补形为 正方体 直线 直线 450;二面角 50;直线 平面 平行 ;故选 (B). 在 正方体 不 妨设 正方体 的棱长为 1,取 互相垂直的异面直线 建立空 间