1_6354044_4.双曲线与渐近线的三个关系

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 267 中国 高考数学母题 (第 087 号 ) 双曲线与渐近线的三个关系 渐近线是双曲线 所 特有的 ,双曲线 与其渐近线之间 不仅 具有 “ 伴生 ”关系 ,渐近线与离心率 也有密切联系 ,而且 双曲线的渐近线 控制 双 曲线范围 的 和发展趋势 . 母题结构 :( )(方程间的关系 )双曲线 C 的 方程为 :22 ( 0) 双曲线 C 的 渐近线 方程为 :22; ( )(离心率 的联系 )若 双曲线的渐近线的斜率为 k,则 : 焦点在 e= 21 k ; 焦点在 e=211 k; ( )(渐近线的 特性 ) 平行 于 渐近线的直 线与 双曲线 只有一个交点 ;过点 (m,0)(ma)的直线 k,则 :直线 的右支有一个交点 k线 l 与双曲线 C 的右支有两个交点 点 (0,n)的直线 k,则 :直线 l 与双曲线 C 的右支有交点 ,焦点在 当 0,b0)与双曲线 2有相同的渐近线 ,且 5 ,0),则 a= ,b= . 子题类型 :(2015 年 山东 高考试题 )平面直角坐标系 ,双曲线 2(a0,b0)的渐近线与抛物线 py(p0)交于点 O,A,B,若 垂心为 则 . 解析 :设 渐近线 :y= 入 2x=0, 2A(2B(由 (0,2p) 4 2;由 14 2(5 e= 21 k =23. 点评 :由 双曲线 渐近线的斜率 ,求 双曲线的离心率 ,要特别注意 双曲线 焦点 的位置 ,根据 焦点 的 位置 ,选择相应公式 . 同 类 试题 : 268 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 3.(2006 年陕西高考试题 )己知双曲线12222 a 2 )的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率为 . 4.(2008 年重庆高考试题 )己知 双曲线22(a0,b0)的一条渐进线为 y=kx(k0),离心率 e= 5 k,则双曲线方程为( ) (A)14 2222 )15 2222 )14 2222 )15 2222 子题类型 :(2015 年 江苏 高考试题 )在平面直角坐标系 ,P 为双曲线 右支上的 一个动点 ,若点 P 到直线 =0 的距离大于 c 恒成立 ,则实数 c 的最大值为 . 解析 :由双曲线 的一 条 渐近线 : 与 直线 =0 平行 ,且距离 d=22;由 渐近线 的性质知 ,2. 点评 :双 曲线只能位于由它的两条渐近线所构成的且含 焦点 的一对对顶角之内 ,且当双曲线上的动点 P 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时 ,点 . 同 类 试题 : 5.(2015年 山东 高考试题 )过双曲线 C:22(a,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线 ,交 ,若点 a,则 C 的离心率为 . 6.(2006 年福建高考试题 )己知双曲线412 22 =1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ,则此直线斜率的取值范围是 ( ) (A)(3) (B)(- 3 , 3 ) (C)3 (D)- 3 , 3 7.(2006 年天津高考试题 )如果双曲线的两个焦点分别为 3,0)、 ,0),一条渐近线方程为 y= 2 x,那么它的两条准线间的距离是 ( ) (A)6 3 (B)4 (C)2 (D)1 8.(2009 年天津高考试题 )设双曲线2222 =1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为 ( ) (A)y= 2 x (B)y= 2x (C)y=22x (D)y=21x 9.(2014 年 天津 高考试题 )已知双曲线22(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上 ,则双曲线的方程为 ( ) (A)52 (B)202 (C)2532 (D)1032 10.(2010 年 浙 江 高考试题 )设 2 分别为双曲线2222 =1(a0,b0)的左 ,右焦点 ,满足|且 ,则该双曲线的渐近方程为 ( ) (A)3x 4y=0 (B)3x 5y=0 (C)4x 3y=0 (D)5x 4y=0 11.(2008 年 四川 高考试题 )若点 P(2,0)到双曲线22 的一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的离心率为 . 12.(2010年 辽宁 高考试题 )设双曲线的 个焦点为 F,虚轴的 个端点为 B,如果直线 那么此双曲线的离心率为 ( ) (A) 2 (B) 3 (C)213(D)21513.(2006年 湖 南 高考试题 )过双曲线 M:的左顶点 的直线 l,若 的两条渐近线分别相交 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 269 于点 B,C,且 |则双曲线 M 的离心率是 ( ) (A) 10 (B) 5 (C)310(D)2514.(2009年浙江高考试题 )过双曲线2222 =1(a0,b0)的右顶点 1的直线 ,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、 1,则双曲线的离心率是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 10 15.(2006 年福建高考试题 )己知双曲线22(a0,b0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ,则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) (A)(1,2 (B)(1,2) (C)2,+ ) (D)(2,+ ) 16.(2013 年 重庆 高考试题 )设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相 交 于点 O、所成的角为 600的直线 2|其中 2、 的交点 ,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) (A)(332,2 (B)332,2) (C)(332,+ ) (D)332,+ ) 17.(2008 年 全国高中数学联赛 福建 预赛 试题 )双曲线22(a0,b0)上横坐标为23a 的点到左焦点的距离大于它到左准线的距离 ,则该双曲线两条渐近线所夹锐角的取值范围是 . 18.(2014 年 浙 江 高考试题 )设直线 m=0(m 0)与双曲线22(ab0)两条渐近线分别交于点 A,B,若点 P(m,0)满足 |则该双曲线的离心率是 . 故选 (C). 由 c= 5 ,a:b=1:2 a=1,b=2. 由 e=332. 故选 (C). 由 y=ab(22 交 点 P(2,2=2a e=2+ 3 . 由 过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 kk 3C). 由 c=3,b= 2 C). 由 2b=2,2c=2 3 b=1,c= 3 a= 2 C). 由 b=2a,c=A). 由 |2c |2a+2c (2a)2+(a+c)2=(2c)2 b:a=4:3 渐近方程 :4x 3y=C). e= 2 . 由b2=e=215D). 由 | b=3 e= 10 A). 由1 3xB=a 3=+2a e= 5 . 由e C). 由 | 这对直线 关于 x 轴对称 ,故本题等价于过 原点且倾斜 角为 600的直线 与 双曲线 C 有两个交点 233+e23 夹锐角的取值范围是 (00,600). 由 m=0,y=A(,),B(,) 中点 H(2229 ab 22293 ab ;又由 | 270 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 | 3 e=25. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 267 中国 高考数学母题 (第 087 号 ) 双曲线与渐近线的三个关系 渐近线是双曲线 所 特有的 ,双曲线 与其渐近线之间 不仅 具有 “ 伴生 ”关系 ,渐近线与离心率 也有密切联系 ,而且 双曲线的渐近线 控制 双 曲线范围 的 和发展趋势 . 母题结构 :( )(方程间的关系 )双曲线 C 的 方程为 :22 ( 0) 双曲线 C 的 渐近线 方程为 :22; ( )(离心率 的联系 )若 双曲线的渐近线的斜率为 k,则 : 焦点在 e= 21 k ; 焦点在 e=211 k; ( )(渐近线的 特性 ) 平行 于 渐近线的直 线与 双曲线 只有一个交点 ;过点 (m,0)(ma)的直线 k,则 :直线 的右支有一个交点 k线 l 与双曲线 C 的右支有两 个交点 点 (0,n)的直线 k,则 :直线 l 与双曲线 C 的右支有交点 ,焦点在 当 0,b0)与双曲线 2有相同的渐近线 ,且 5 ,0),则 a= ,b= . 子题类型 :(2015 年 山东 高考试题 )平面直角坐标系 ,双曲线 2(a0,b0)的渐近线与抛物线 py(p0)交于点 O,A,B,若 垂心为 则 . 解析 :设 渐近线 :y= 入 2x=0, 2A(2B(由 (0,2p) 4 2;由 14 2(5 e= 21 k =23. 点评 :由 双曲线 渐近线的斜率 ,求 双 曲线的离心率 ,要特别注意 双曲线 焦点 的位置 ,根据 焦点 的位置 ,选择相应公式 . 同 类 试题 : 268 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 3.(2006 年陕西高考试题 )己知双曲线12222 a 2 )的两条渐近线的夹角为3,则双曲线的离心率 为 . 4.(2008 年重庆高考试题 )己知双曲线22(a0,b0)的一条渐进线为 y=kx(k0),离心率 e= 5 k,则双曲线方程为( ) (A)14 2222 )15 2222 )14 2222 )15 2222 子题类型 :(2015 年 江苏 高考试题 )在平面直角坐标系 ,P 为双曲线 右支上的 一个动点 ,若点 P 到直线 =0 的距离大于 c 恒成立 ,则实数 c 的最大值为 . 解析 :由双曲线 的一 条 渐近线 : 与 直线 =0 平行 ,且距离 d=22;由 渐近线 的性质知 ,2. 点评 :双曲线只能位于由它的两条渐近线所构成的且含 焦点 的一对对顶角之内 ,且当双曲线上的动点 P 沿着双曲线无限远离双曲线的中心时 ,点 . 同 类 试题 : 5.(2015年 山东 高考试题 )过双曲线 C:22(a,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直 线 ,交 ,若点 a,则 C 的离心率为 . 6.(2006 年福建高考 试题 )己知双曲线412 22 =1 的右焦点为 F,若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ,则此直线斜率的取值范围是 ( ) (A)(3) (B)(- 3 , 3 ) (C)3 (D)- 3 , 3 7.(2006 年天津高考试题 )如果双曲线的两个焦点分别为 3,0)、 ,0),一条渐近线方程为 y= 2 x,那么它的两条准线间的距离是 ( ) (A)6 3 (B)4 (C)2 (D)1 8.(2009 年天津高考试题 )设双曲线2222 =1(a0,b0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为 ( ) (A)y= 2 x (B)y= 2x (C)y=22x (D)y=21x 9.(2014 年 天津 高考试题 )已知双曲线22(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上 ,则双曲线的方程为 ( ) (A)52 (B)202 (C)2532 (D)1032 10.(2010 年 浙 江 高考试题 )设 2 分别为双曲线2222 =1(a0,b0)的左 ,右焦点 ,满足|且 ,则该双曲线的渐近方程为 ( ) (A)3x 4y=0 (B)3x 5y=0 (C)4x 3y=0 (D)5x 4y=0 11.(2008 年 四川 高考试题 )若点 P(2,0)到双曲线22 的一条渐近线的距离为 2 ,则双曲线的离心率为 . 12.(2010年 辽宁 高考试题 )设双曲线的 个焦点为 F,虚轴的 个端点为 B,如果直线 那么此双曲线的离心率为 ( ) (A) 2 (B) 3 (C)213(D)21513.(2006年 湖 南 高考试题 )过双曲线 M:的左顶点 的直线 l,若 的两条渐近线分别相交 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 269 于点 B,C,且 |则双曲线 M 的离心率是 ( ) (A) 10 (B) 5 (C)310(D)2514.(2009年浙江高考试题 )过双曲线2222 =1(a0,b0)的右顶点 1的直线 ,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B、 1,则双曲线的离心率是 ( ) (A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 10 15.(2006 年福建高考试题 )己知双曲线22(a0,b0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 600的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ,则此双曲线离心率的取值范围是 ( ) (A)(1,2 (B)(1,2) (C)2,+ ) (D)(2,+ ) 16.(2013 年 重庆 高考试题 )设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相 交 于点 O、所成的角为 600的直线 2|其中 2、 的交点 ,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( ) (A)(332,2 (B)332,2) (C)(332,+ ) (D)332,+ ) 17.(2008 年 全国高中数学联赛 福建 预赛 试题 )双曲线22(a0,b0)上横坐