1_6354111_10.奇函数与偶函数联合演奏的高考试题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 075 中国 高考数学母题 (第 020 号 ) 奇函数与偶函数联合演奏的高考试题 任何 定义域关于原点对称的函数 都 可分解成一个奇函数与一个偶函数的和 ;奇函数 f(x)与 偶函数 g(x)的 此 性质 是生成 一类 高考试题 的出发点 ,它 具有显着的母题特征 . 母题结构 :函数 M(x)的定义域关于原点对称的充要条件是 M(x)可分解成一个奇函数 f(x)与一个偶函数 g(x)的和 . 母题 解析 :(必要性 )若 函数 M(x)的定义域关于原点对称 ,令 f(x)=2 )()( ,g(x)=2 )()( ,则 M(x)=f(x)+g(x), 且 f(x)是奇函数 ,g(x)是偶函数 ; (充分性 )若 M(x)=f(x)+g(x),由 奇函数 f(x)与 偶函数 g(x)的定义域 均 关于原点对称 M(x)的定义域关于原点对称 . 奇偶 性 子题类型 :(2010 年广东高考试题 )若函数 f(x)=3x+3g(x)=3,则 (A)f(x)与 g(x)均为偶函数 (B)f(x)为偶函数 ,g(x)为奇函数 (C)f(x)与 g(x)均为奇函数 (D)f(x)为奇函数 ,g(x)为偶函数 解析 :令 h(x)=3x,则 h(x)的定义域关于原点对称 f(x)=h(x)+h(偶函数 ,g(x)=h(x)x)为奇函数 B). 点评 :判断函数奇偶性的一般方法是定义法 ,母题的一个副产 品 :“若函数 M(x)的定义域关于原点对称 ,则 f(x)=M(x)- M(奇函数 ,g(x)=M(x)+M(偶函数” ,提供了判断一类函数奇偶性的快捷方法 . 同 类 试题 : 1.(2014 年 重庆 高考试题 )下列函数为偶函数的是 ( )(A)f(x)= (B)f(x)=x3+x (C)f(x)=2 (D)f(x)=2x+2.(2010 年重庆高考试题 )函数 f(x)=4的图象 ( ) (A)关于原点对称 (B)关于直线 y=x 对称 (C)关于 x 轴对称 (D)关于 y 轴对称 数 子题类型 :(2011年 湖北 高考试题 )(文 )若定义在 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)= g(x)=( ) (A) (B)21(ex+ (C)21( (D)21(解析 :由 f(x)+g(x)=f(g(f(x)-g(x)=g(x)=21(故选 (D). 点评 :若 奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=M(x),则 : f(x)-g(x)=x); f2(a)a)=-M(a)M( 同 类 试题 : 3.(2014 年 湖南 高考试题 )已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数 ,且 f(x)-g(x)=x3+,则 f(1)+g(1)=( ) (A) (B) (C)1 (D)3 4.(1996 年 第 七 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )已知 f(x)是奇函数 ,g(x)是偶 函数 ,且 f(x)-g(x)=x+3,则f(x)+g(x)= . 数 子题类型 :(2008年安徽高考试题 )若函数 f(x)、 g(x)分别为 函数 ,且满足 f(x)-g(x)=有 ( ) (A)f(2)f(2)f(0)=0-1=g(0)D). 076 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 点评 :若 奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=M(x),研究 奇函数 f(x)和偶函数 g(x)的 性质是母题的引伸问 题 ,解决问 题 的关键还是由母题求 奇函数 f(x)和偶函数 g(x). 同 类 试题 : 5.(1987 海市高中数学竞赛 (新知杯 )试 题 )f(x)+g(x)=(x (2),且 f(x)为奇函数 ,g(x)为偶函数 ,则f(x)2-g(x)2= . 6.(2010 年 第 二十一 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )已知函数 f(x)是 R 上的奇函数 ,函数 g(x)是 R 上的偶函数 ,且 f(x)-g(x)=f(x)的最大值为 M,g(x)的最小值为 m,则 M+m=( ) (A) (B) (C) (D) 7.(2014 年 广东 高考试题 )下列函数为奇函数的是 ( ) (A)2) (C)2 (D)x 8.(2009 年全国高考试题 )函数 f(x)=22的图象关于 ( ) (A)关于坐标原点对称 (B)关于直线 y=称 (C)关于 y 轴对 称 (D)关于直线 y=x 对称 9.(2004年全国高中数学联赛 湖南 预 赛试题 )己知函数 f(x)是 g(x)是 若 f(x)-g(x)=x+12,则 f(x)+g(x)=( ) (A) (B) (C)2 (D)2 10.(2012年 第 二十 三 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试 题 )若定义在 f(x)和奇函数 g(x)满足 :f(x)+g(x) =x2+x+1,则 g(2)= . 11.(2011 年 第 二十二 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )设 f(x)+g(x)= 21 ,且 y=f(x)和 y=g(x)依次是偶函数 和奇函数 ,则 f(3)= . 12.(2007 年福建省高一数学夏令营选拔试题 )设 f(x)+g(x)=(x (2),且 f(x)为奇函数 ,g(x)为偶函数 ,则 f(4)2-g(4)2= . 13.(2003 年上海交通大学保送生考试试题 )已知 f(x)=f(2)= f( . 14.(2004年 全国 高中数学联赛 河南初赛 试 题 )函数 f(x)=满足 :f(1)=7,f(9,且 f(2)+f(124,则 f( 2 )+f(- 2 )=( ) 由 g(x)=2x,f(x)=g(x)+g(偶函数 D). 由 f(x)=4=2x+2 函数 D). 由 f(1)+g(1)=f(g(+(+1=C). 由 f(x)+g(x)=x)+g(-(). 由 f(x)2-g(x)2=) )2 = 由 f(x)=g(x)=M+m=D). 由 y=2故选 (A). 由 f(x)=+x)是奇函数 A). 由 f(x)+g(x