1_6354126_4.从复数相等到复数方程

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 023 中国 高考数学母题 (第 006 号 ) 从复数相等到复数方程 由 复数相等的定义 :a+bi=c+di(a,b,c,d R) a=c,且 b=d,可诱发简单的 复数 方 程 ,尤其是关于 复数 z 的一元一次方程 和一元二次方 程 问题 . 母题结构 :( )解 复数 z 的方 程 f(z)=0,有两种方法 : (分解法 )设 z=a+入方 程 f(z)=0,利用复数相等 ,列方程组 ,求实数 a,b; (整体法 )把 z 整体视为未知数 ,解关于 z 的方程 ; ( )实系数一元二次方程的两根互为共轭复数 . 母题 解 析 :( )略 ;( )设 实系数一元二次方程 bx+c=0 的两根 分别为 z1, z1+R,R z1, 子题类型 :(2013 年安徽高考试题 )设 i 是虚数单位 ,z 是复数 z 的共轭复数 ,若 zz i+2=2z,则 z=( ) (A)1+i (B)1 (C)-1+i (D)解析 :由 R zz i+2=2 ,设 z=1+ (1+x2)i+2=2+21+x x=1 z=1+A). 点评 :对 于含有实数 a,b 和虚数单位 i 的方程 ,一般通过把方程等价转化为 f(a,b)+ig(a,b)=0,由此得 f(a,b)=0,且g(a,b)=0,解方程组 ,求 a,b. 同 奕 试题 : 1.(2011 年 湖南 高考试题 )若 (i=y+2i,x,y R,则 复数 x+ ) (A)-2+i (B)2+i (C)1 (D)1+2i 2.(2012 年 湖北 高考试题 )若13=a+bi(a,b 为 实数 ,i 为虚数单位 ),则 a+b= . 子题类型 :(2014 年 湖南 高考试题 )满足i(i 为虚数单位 )的复数 z=( ) (A)21+21i (B)21 (C)1i (D)解析 :由i z+i=(1-i)z=1(21(1 z=21(1故选 (B). 点评 :若 复数 z 满足 ,则 z=0;若 复数 z 满足 z=12这是 整体法 求解复数方程的理论 依据 ;关于复数 或可 转化为 复数 均可使 用 整体法 求解 . 同 奕 试题 : 3.(2012 年 福建 高考试题 )若复数 z 满足 z 等于 ( ) (A) (B)1 (C)-1+i (D)1+i 4.(2012 年安徽高考试题 )(文 )复数 z 满足 (i=2+i,则 z=( ) (A) (B)1 (C)i (D)1子题类型 :己知 (2007 年上海高考试题 )(理 )己知 a、 b R,且 2+ai,b+i(i 是虚数单位 )是实系数一元二次方程 024 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 x2+px+q=0 的两个根 ,那么 p、 ) (A)p=-4,q=5 (B)p=-4,q=3 (C)p=4,q=5 (D)p=4,q=3 解析 :由实系数一元二次方程的两根互为共轭复数 2+ai,b+i 互为共轭复数 a=-1,b=2 两个根 分别为 22+i;由韦达定理知 :(2(2+i)=22+i)=q p=-4,q=A). 点评 :实系数一元二次方程的两根互为共轭复数是一元二次方程的优美结果 ,因此 ,也是高考的一个命题点 ,同时也是解决该类高考 试题 的基本工具 . 同 奕 试题 : 5.(2007 年上海 春招 试题 )若关于 x 的一元二次实系数方程 x2+px+q 有一个根为 1+i(i 是虚数单位 ),则 q= . 6.(2008 年上海高考试题 )若 x+p=0 的一个虚根 ,且 |z|=2,则 p= . 7.(2011 年 湖南 高考试题 )若 a,b R,i 为虚数单位 ,且 (a+i)i=b+i,则 ( ) (A)a=1,b=1 (B)a=-1,b=1 (C)a=-1,b= (D)a=1,b=.(2005 年广东高考试题 )若 (i=中 a,b R,i 为虚数单位 ,则 a2+ ) (A)0 (B)2 (C)25(D)5 9.(2008 年北京高考试题 )己知 (=2i,其中 i 是虚数单位 ,那么实数 a= . 10.(2013 年 天津 高考试题 )(理 )已知 a,b R,若 (a+i)(1+i)= a+ . 11.(2010 年江西高考试题 )已知 (x+i)(1y,则实数 x,y 分别为 ( ) (A)x=-1,y=1 (B)x=-1,y=2 (C)x=1,y=1 (D)x=1,y=2 12.(2010 年 山东 高考试题 )己知i =b+i(a,b R),其中 i 为虚数单位 ,则 a+b=( ) (A) (B)1 (C)2 (D)3 13.(2012 年 湖北 高考试题 )若13=a+bi(a,b 为 实数 ,i 为虚数单位 ),则 a+b= . 14.(2006 年浙江高考试题 )已知=1中 m,n 是实数 ,i 是虚数单位 ,则 m+ ) (A)1+2i (B)1 (C)2+i (D)25.(2013 年 课标 高考试题 )设 复数 z 满足 (1-i)z=2i,则 z=( ) (A)-1+i (B) (C)1+i (D)16.(2009 年全国 高考试题 )己知=2+i,则复数 z=( ) (A)i (B)1 (C)3+i (D)37.(2002 年上海高考试题 )若 z C,且 (3+z)i=1(i 为虚数单位 ),则 z= . 18.(2012 年安徽高考试题 )(理 )复数 z 满足 (25,则 z=( ) (A) (B)i (C)2 (D)2+2i 19.(2007 年上海高考试题 )(文 )己知 a、 b R,且 2+ai,b+3i(i 是虚数单位 )是一个实系数一元二次方程的两个根 ,那么 a、b 的值分别是 ( ) (A)a=-3,b=2 (B)a=3,b= (C)a=-3,b= (D)a=3,b=2 20.(2012 年上海高考试题 )若 1+ 2 i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c=0 的 一个复数根 ,则 ( ) (A)b=2,c=3 (B)b=-2,c=3 (C)b=-2,c= (D)b=2,c= 由 (i=y+2i 1+xi=y+2i x=2,y=1 x+B) 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 025 由13=a+3+1a+(a+b)+(i a+b=3. 由 z=A). 由 (i=2+i (2+i)i z=B). 由实系数一元二次方程的两根互为共轭复数 另一根为 1韦达定理知 :q=(1+i)(12. 由 z 是实系数方程 x+p=0 的一个虚根 z 也是实系数方程 x+p=0 的一个虚根 p p=|z|2=4. 由 (a+i)i=b+i -1+ai=b+i a=1,b=D). 由 (i=2+ai=a=-1,b=2 a2+D). 由 (=2i i a=由 (a+i)(1+i)=(a+1)i=,a+1=b a=1,b=2 a+2i. 由 (x+i)(1y (x+1)+(1-x)i=y x+1=y,1 x=1,y=D). 由i =b+i 2b+i a=-1,b=2 a+b=B). 由13=a+3+1a+(a+b)+(i a+b=3. 由=1(1+i)(1m (1+n)+(1-n)i=m 1+n=m,1 n=1,m=2 m+C). 由 (1-i)z=2i=-(1 z=-(1故选 (A). 由=2+i z =(1+i)(2+i)=1+3i z=B). 由 (3+z)i=1 3+z=