3_8064919_24.妙解函数两零点关系问题

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 765 中国 高考数学母题 (第 214 号 ) 妙解函数两零点关系问题 函数的零点 问题是 函数的 基本问题 ,由 函数的零点 可引发许 多 高考试题 ,其中 ,以 函数的 两个 零点 而诱发 的 高考试题 ,逐 渐 成为高考中 的 亮点 . 母题结构 :( )己知函数 f(x)在 (- ,a)上 单调 递增 ,在 (a,+ )上 单调 递减 ,f (x)在 (- , + )上 单调 递减 ,且 f(f(t, t0,(x2则12着 t 的减小而增大 ,且 x1+ ( ) (轴对称 )若 函数 g(x)的图象与函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称 ,则 g(x)=f(2 (中心对称 )若 函数 g(x)的图象与函数 f(x)的图象关于 点 M(a,b)对称 ,则 g(x)=2 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2015 年天津高考 理 科 试题 )已知函数 f(x)=x n N*,且 n 2.( )讨论 f(x)的单调 性 ; ( )设曲线 y=f(x)与 ,曲线在点 y=g(x)对于任意的 正 实数 x,都有 f(x) g(x); ( )若方程 f(x)=a(有两个 正 实 数根 x1,证 :|+2. 解析 :( )由 f (x)=当 f(x)的单调递增区间为 (- ,1),单调递减区间为 (1,+ ); 当 f(x)的单调递增区间为 (),单调递减区间为 (- , (1,+ ); ( )当 x0 时 ,由 f (x)=间 (0,+ )上 单调递减 对于任意的 正 实数 x, 都有 f(x)g (x); ( )由 曲线 y=f(x)在原点处的切线方程 :y=nx,g(x)=(1n ),则 f(x) 且 f(x) ;设 nx=a,g(x)=(1n )=x3, x3=na,)1( nn a+n 11n ;不妨设 数 f(x)=x0(f(x)的图象连续不断 ).( )求 f(x)的单调区间 ; ( )当 a=81时 ,证明 :存在 (2,+ ),使 f(f(23); ( )若存在属于区间 1,3的 , ,且 1,使 f( )=f( ),证明 :5 2 a322.(2015 年天津高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=4x R.( )求 f(x)的单调区间 ; ( )设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x)求证 :对于任意的实数 x,都有 f(x) 766 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 g(x); ( )若方程 f(x)=a(有两个实数根 x1, f(x)g(x),即 f(x) f(2当 x1 时 ,令 F(x)=f(x)-g(x)=f(x)2( f(x)g(x);由 f(f(0,不妨设 f(2而 f(x)在 直线 x=1 的 左侧 递 减 f(x)与 g(x)的大小 ;根据 f(x)与 g(x)的大小 ,不妨设 x2a,可得 f( g(大小 ,将 f(f( g(f(2入 ,并利用单调 函数 的脱 壳性 ,即可证 明 . 同 类 试题 : 3.(2010 年 天津 高考试题 )已知函数 f(x)=x R).( )求函数 f(x)的单调区间和极值 ; ( )已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称 ,证明 :当 x1 时 ,f(x)g(x); ( )如果 f(f(证明 :x1+. 4.(2013 年 湖南 高考试题 )已知函数 f(x)=211 )求 f(x)的单调区间 ;( )证明 :当 f(f( ,x1+f (x) 0,即 20 a -2(成立 a 2.故 a 的取值范围 是 2,+ ); ( )当 a=2 时 ,由 f (x)21,只需证 x1+x),即 f(x)当 10;不妨设 0g( f( f(2由 f(f( f( f(2f( 2x1+ ,f(x)与 g(x)的 大小 ;根据 f(x)与 g(x)的大小 ,不妨设 x2a,可得 f( g(大小 ,将 f(f(2b和 g(2入 ,并利用单调 函数 的脱壳性 ,即可证 明 . 同 类 试题 : 5.(原创题 )己知 函数 f(x)= )若 函数 g(x)的图象与函数 f(x)的图象关于 原 点 对称 ,证明 :当 x0时 ,f(x)g(x); ( )设 实数 x1, f(f(0,证明 :x1+. 6.(原创题 )己知 函数 f(x)=1在 (0,+ )单调递 减 .( )求 a 的取值范围 ; ( )当 a=21时 ,设 正实数 x1, f(f(0,证明 :x1+. 7.(2011 年 辽宁 高考试题 )已知函数 f(x)=2-a)x.( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )设 a0,证明 :当 0f( ( )若函数 y=f(x)的图像与 ,B 两点 ,线段 点的横坐标为 明 :f (x0)f(23) g(2)0,又 g(23e)=32941 2e1 时 ,令 F(x)=f(x)- g(x)= F (x)=( 函数 F(x)在 1,+ )是增函数 F(x)F(1) =0 f(x)g(x);( )由 f(f(不妨设 f(2而 f(x)在 直线 x=1 的 左侧 递增 x1+. 768 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )f(x)在 (- ,0)上 单调 递增 ,在 (0,+ )上 单调 递减 ; ( )作 函数 y=f(x)的图象关于直线 x=0对称 的图象 ,得 函数 g(x)=f(图象 ,首先 证明 :当 x0时 ,f(x)0时 ,令 F(x)=(1-x)+x) F (x)=-x(ex+ f(x2)h (0)=0 h(x)h(0)=0当 x0 时 ,f(x)g(x);( )当 x0 时 ,由 f (x)=f (x)=f(x)在 (- ,0)上 单调 递减 ,在 (0,+ )上 递增 ;不妨设 f( -f( f(. ( )a=21;( )注 意 到 f (1)=0,f(1)=0 点 M(1,0)是 函数 y=f(x)图象的 “ 对称 点 ” (拐 点 ),作 函数 y=f(x)的图象关于 点 M(1,0)对称 的图象 ,得 函数 g(x)=图象 ,首先 证明 :当 1g(x);令 h(x)=f(x)-g(x)=2- x)x+1 h (x)=2x+2 h (x)=x1+x212( )1(220 h (x)h (1)=0 h(x)h(1)=0;不妨设 ,则 f(g( f( -f( f(x1+. ( )f(x)的定义域为 (0,+ ),由 f(x)=2-a)x f (x)=2(当 a 0 时 ,f (x)0 f(x)在(0,+ )上递增 ;当 a0 时 ,f(x)在 (0,递增 ,在 ( )递减 ; ( )令 g(x)=f(a1+x)-f(+2 g (x)=+22312 0 g(x)在 0,递增 g(x)g(0)=0 f(a1+x)f( ( )设 A(),B(),则 f(f(0,且 21 0;由 f ( ( 2 21 作 函数y=f(x)的图象关于直线 x=图象 ,得 函数 g(x)=f(图象 ,首先 证明 :当x) f(x)f( 当 0f(立 ;不 妨设 x2 f(f( x1 2 21 f( 时 ,