3_8064927_17.不等式恒成立的绝妙技巧

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 737 中国 高考数学母题 (第 207 号 ) 不等式恒成立的 绝妙 技巧 对“ 己知不等式恒成立 ,求参数 取值范围 ” 的 问 题 ,不仅要掌握常见的 等价命题 和 典型方法 ,还 要掌握解决问 题 的 绝妙技巧 . 母题结构 :( )(善用必要条件 )不等式 F(x,a) 0 在 x D 时 恒成立 的 必要条件 有 :在区间 D 的端点 b 处 ,F(b,a)0;在 函数 F(x,a)可疑的极值点 F(x0,a) 0; ( )(妙用已知结 论 )对递进式试题 ,充分灵活的 运用 前一问中的有关结论 是解决 此 类 试 题 的根本 策 略 ; ( )(函数上下确界 )若 f(x)存在 下 确界 m,则 不等式 f(x) 0或 f(x)0恒成立 m 0;若 f(x)存在 上 确界 M,则 不等式 f(x) 0 或 f(x)0 g(x)存在唯一零 点 (1,a),且 e f(x)在 (0, (a,3e)上单调递增 ,在 (x0,a)上单调递 减 f(x)在 (0,3e上 的最大值=f(f(3e);由 g(0 20 a=2f(4以 ,对任意 的 x (0,3e,恒有 f(x) 4 f( 4 f(3e) 43 a 3e.故 a 3 e. 点评 :寻找 函数 F(x,a)的 特殊点 是寻找不等式 F(x,a) 0 在 x D 时恒成立的必要条件的常用方法 ,其中 ,区间 D 的端点 和函数 F(x,a)可疑的极值点 是常见的 特殊点 . 同 类 试题 : 1.(2013 年 全国 (大纲 )高考试题 )已知函数 f(x)=x+1. ( )当 a=- 2 时 ,讨论 f(x)的单调性 ; ( )若 x 2,+) 时 ,f(x)0 ,求 a 的取值范围 . 2.(2012 年全国高考试题 )设函数 f(x)=ax+x 0, .( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )设 f(x) 1+ a 的取值范围 . 子题类型 :(2010 年全国 高考试题 )设函数 f(x)=1( )证明 :当 x ,f(x)1 ( )设当 x 0 时 ,f(x)1 a 的取值范围 . 解析 :( )当 x ,由 原不等式 x+1 易证 ; ( )当 x 0 时 f(x)=101f(x) 0 0 a 0;所以 ,f(x)1()f(x)0;令 g(x)= ()f(x)-x,x 0,则 g (x)=af(x)+()f (x)-1(f (x)1-f(x)=af(x)x)+x);当 0 a21时 ,由 ( ) 738 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 知 ,x (x+1)f(x) g (x) af(x)x)+a(x+1)f(x)-f(x)=(2f(x) 0 g(x)在 0,+ )上单调递 减 g(x)g(0)=0,符合题设 ; 当 a21时 ,由 ( )知 ,x f(x) g (x) af(x)x)+af(x)-f(x)=(2f(x) 若 x(0,2 ),则 g (x)0 g(x)在 (0,2 )上单调递增 g(x)g(0)=0,不 合题设 a 的取值范围是 0,21. 点评 :解决此 类试题 的关键是灵活运用第 ( )问 中 的 不等式 ,或利用 第 ( )问 中 的 不等式 进 行 放缩 ,目的是研究 第 ( )问 中 函数 的导 函数 符号 ;或利 用 第 ( )问 中 的 不等式 和不等式的传递性 ,确 定 参数 付 取值范围 ,减少分类讨论的情况 . 同 类 试题 : 3.(2016 年 四川 高考试题 )设函数 f(x)=中 a R,e=为自然对数的底数 .( )讨论 f(x)的单调性 ; ( )证明 :当 x1 时 ,g(x)0; ( )确定 a 的所有可能取值 ,使得 f(x)g(x)在区间 (1,+ )内恒成立 . 4.(2008 年 湖南 高考试题 )已知 f(x)=+x)2.( )求函数 f(x)的单调区间 ; ( )若不等式 (1+n1)n+a e 对任意的 n N*都成立 (其中 e 是自然对数的底数 ),求 a 的最大值 . 子题类型 :(2008 年 辽宁 高考试题 )设函数 f(x)=ln(x+1).( )求 f(x)的单调区间和极值 ; ( )是否存在实数 a,使得关于 x 的不等式 f(x) a 的解集为 (0,+ )？若存在 ,求 a 的取值范围 ;若不存在 ,试说明理由 . 解析 :( )由 f (x)=( f(x)在 (0,1)內 递增 ,在 (1,+ )內 递减 f(x)的极大值 =f(1)=有极小值 ; ( ) 由 x0 +x)0,+x)f(x)=ln(x+1)=x 1 )10,所以 ,当 a 0 时 ,关于x 的不等式 f(x) a 的解集为 (0,+ ); 由 f(1+n+ln()=ln()+,当 a0 时 ,令 ln()1);由;取 nln(1),则 f(时 ,关于 f(x) 为 (0,+ )存在 a,使得关于 f(x) 0,+ ),且 a 的取值范围为 (- ,0. 点评 :本题直接考查函数的 确界 ;证明 m 是函数 f(x)的下确界的基本方法是不等式分析 ,包括两个方面 :证 明 不等式 :f(x)m;证 明 对任意正实数 ,不等式 :f(x)0)的图像在点 (1,f(1)处的切线方程为 y=( )用 a 表示出 b,c; ( )若 f(x) 1,+ )上恒成立 ,求 a 的取值范围 . 8.(2013 年 辽宁 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=(1+x)g(x)=3x+1+2 x 0,1时 , 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 739 ( )求证 :1f(x)x11; ( )若 f(x) g(x)恒成立 ,求实数 a 的取值范围 . 9.(2013 年 全国高中数学联赛 黑龙江 预赛试题 )设 f(x)=x x)1(x0).( )判断 函数 f(x)的 单调 性 ; ( )是否存在实数 a,使得 x (0,+ )时 ,均有 +x)0 时 ,求证 :f(x)22x; ( )当 x x 0 时 ,不等式 f(x)0时 ,f(x)在 (0, 递 减 ,在 ( )上 递 增 ;( )g(x)0 当x1 时 ,exx+1;( )当 x1 时 ,g(x)0 f(x)0 a0; 当 011x()21x()0 h(x)在 (1,+ )上单 调递 增 h(x)h(1)=a 的取值范围 是 21,+ ). ( )f(x)在 ()上 递增 ,在 (0,+ )上 递减 ;( )由 (1+n1)n+a e (n+a)+ 1(设 x=(0,1) a )1x g(x)=)1xx (0,1),则 g (x)=)1( 1 2 xx x f(x)|b|时 ,f(c)-f(b)M( M22 )()( bc =cb 2;令 t=(),则cb 2=210 时 ,(x+1)ln(x+1) ax 11( ;令 g(x)=x 11( (x0),h(x)=(x+1)ln(x+1), 点 P(x,h(x),则 =x 11( =g(x),h (x)=ln(x+1)+1;作 函数 h(x)=(x+1)ln(x+1)的图像如 图 ,由图知 g(x)=h (0)=1;所以 ,ax 11( a g(x) a 1.故 a 的取值范围 是 (- ,1. ( )由 f(x)的图像在点 (1,f(1)处的切线方程为 y=f(1)=0,f (1)=1 b=c=1( )令 g(x)=ax+1x 1,+ ),则 g(1)=0,g (x)=2xa();当 1,即 a21时 ,在 1,+ )上 ,g (x) 0 g(x)在 1,+ )上单调递增 g(x) g(1)=0 f(x) 成立 ;当1,即 00 f(x)在 (0,+ )上 递增 g(x)g(0)=0 f(x)22x; ( )由 ( )知 ,当 x0 时 ,f(x)22x,当 x0 时 ,由 f(x)21x k21;当 x ()时 , f(x)0;令 h(x)=(