3_8064936_9.指数切线不等式变式应用

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 705 中国 高考数学母题 (第 199 号 ) 指数切线不等式变式应用 不等式 x+1简单易证 ,具有明显的几何意义 和切线背景 ,因此 ,我们把她称为指数切线不等式 ;指数切线不等式 蕴涵着“以直代曲” 、 “ 化繁为简” 的 基本思想 ,她在高考中的表现可概括为“三种形式 ,三面应用” . 母题结构 :( )(指数切线不等式 )x+1,当且仅当 x=0时 ,等号成立 ; ( )(切线不等式引伸 ) 当 x 若 不等式 :恒成立 ,则 a=1; 当 x 0时 ,若 不等式 :恒成立 ,则 a 1; ( )(切线不等式加强 ) 当 x0 时 ,求证 :+x+21 当 0k 时 ,g(x)在闭区间 a,b上是减函数 ; ( )证明 :f(x)23. 解析 :( )由 g (x)=ex+ 当 g(x)在 R 上是增函数 ; ( )当 x a,b时 ,g (x) 0 2ex+0;令 h(x)=2ex+ h (x)=2只需取 k=h(a),h(b); ( )由 f(x)23 2ex+x)t+0 =4(ex+x)2-8( 0 ( 1;由 x+1 ( 1. 点评 :指数 切线 不等式 x+1具有把 指数式 的一次式 x+1;因此 ,她在证明 有关 等式中 ,具有化繁为简 的关键作用 ;当 x0时 ,构造 不等式 :exbx+长 点 ,可以证明 : ex 1. 同 类 试题 : 1.(2012 年 山东 高考试题 )已知函数 f(x)=xe kxln(k 为常数 ,e=自然对数的底数 ),曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线与 x 轴平行 .( )求 ( )求 f(x)的单调区间 ; ( )设 g(x)=(x2+x)f (x),其中 f (x)为 f(x)的导函数 对任意 x0,g(x)x0 时 ,ex. 成立 子题类型 :(2010 年课标高考 文科 试题 )设函数 f(x)=x( )若 a=21,求 f(x)的单调区间 ; ( )若当 x 0 时 ,f(x) 0,求 a 的取值范围 . 解析 :( )当 a=21时 ,由 f(x)=x(21f (x)=x+1)(由此列表如下 :由表知 ,f(x)在 (- , (0,+ )上 单调 递增 ,在 ()上 单调 递减 ; ( )当 x 0时 ,f(x) 0 当 x 0时 ,x( 0 当 x 0时 ,0 ;令 曲线 C:y=线 l:y=,则直线 l 与曲线 C 恒交于点 A(0,1),曲线 C 在点 A 处的切线 :y=x+1 a 1 a 的取值范围 是 (- ,1. 点评 :以 指数 切线 不等式 x+1为背景的不等式恒成立问题有 : 当 x 恒成立 ,则 a=1; 当 x x+则 b 1; 当 x 0时 ,恒成立 ,则 a 1; 当 x 0时 ,x+则 b 1;当 x0时 ,构造 不等 706 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 式 :ex 恒成立 ,求参数的取值范围 是高考命题的一个着力点 ,可以证明 :当 a=1 时 ,b -2(当 a=21时 ,b 1;当 b=1 时 ,a21;当 b=0时 ,a21. 同 类 试题 : 3.(2013 年课标 高考试题 )设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d)y=f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2),且在点 y=4x+2.( )求 a,b,c,d 的值 ; ( )若 x ,f(x)kg(x) ,求 k 的取值范围 . 4.(2010 年课标高考 理科 试题 )设函数 f(x)=( )若 a=0,求 f(x)的单调区间 ; ( )若当 x 0 时 ,f(x) 0,求 a 的取值范围 . 子题类型 :(2012 年 湖南 高考 理科 试题 )已知函数 f(x)=中 a 0. ( )若对一切 x R,f(x) 1 恒成立 ,求 a 的取值集合 ; ( )在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1,f(,B(x2,f(立 ？若 存在 ,求 若不存在 ,请说明理由 . 解析 :( )令 ax=t,则 f(x) 1 et a=取值集合为 1; ( )由 k=12 12)()( xx =1212 xx ee g(x)=f (x)-k=xx ee ,则 g(e )( 12 -a(1,g( 122e )( 21 -a(1;当 x 0 时 ,由 exx+1 e )( 12 -a(10,e )( 21 -a(10 g(, 又 g (x)= g(x)在 (x1, 单调递增 存在 唯一 c (x1,使 得 g(c)=0 c= 12 12 当且仅当 ( 12 12 , ,g(0 存在 (x1,使 f (k 成立 ,此时 , ( 12 12 , 点评 :利用 指数 切线 不等式 x+1 可求含有 函数的取值符号 ,函数的单调性 (导函数的取值符号 )等 ,进一步 ,证明并利用 bx+ 同 类 试题 : 5.(2016 年 北京 高考试题 )设函数 f(x)=线 y=f(x)在点 (2,f(2)处的切线方程为 y=(x+4. ( )求 a,b 的值 ; ( )求 f(x)的单调区间 . 6.(2013 年 广 东 高考试题 )设函数 f(x)=(k R). ( )当 k=1 时 ,求函数 f(x)的单调 区间 ; ( )当 k (21,1时 ,求函数 f(x)在 0,k上的最大值 M. 7.(2014 年课标 高考试题 )设函数 f(x)=曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线为 y=e(2. ( )求 a,b; ( )证明 :f(x)1. 8.(2014 年 福 建 高考试题 )已知函数 f(x)=a 为常数 )的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为 ( )求 a 的值及函数 f(x)的极值 ; ( )证明 :当 x0 时 , ,f(x)1 ( )设当 x 0 时 ,f(x)1 a 的取值范围 . 11.(2012 年 湖南 高考 文科 试题 )已知函数 f(x)=中 a0. ( )若对一切 x R,f(x) 1 恒成立 ,求 a 的取值集合 ; ( )在函数 f(x)的图象上取定两 点 A(x1,f(,B(x2,f(论曲线 y=f(x)与曲线 y=m0)公共点的个数 ; ( )设 1+1+ h(x)=1x0),则 h (x)= x)=h(1+( )f(x)在 (- ,单调递减 ;在 ( )上单调递增 ,f(x)的极小值 =f(2(1a),f(x)无极大值 ; ( )当 x0,a ,2(x ,只需证 exx+1;令g(x)=(x0) g (x)=(由 ( )知 g x)=g (0 g (x) 0 g(x)在 (0,+ )上单调递增 g(x)g(0)=0 exx+1 ex. ( )a=4,b=2,c=2,d=2;( )由 ( )知 :f(x)=x+2,g(x)=2ex(x+1);当 x= ,f(x)kg(x) 成立 ;当 xf(x)kg(x) k)1(2 242xe xx x;由 x+1)1(2 242xe xx x22)1(2 24 x (当且仅当 x=0 时 ,取等号 ) k 1;当 x)=h(k k 1, ( )f(x)在 (- ,0)上递减 0,+ )上递增 ;( )由 f(x)=x 0) f (x)=f (x)=当 a21时 ,f (x)在 0,+ )上 递增 f (x) f (0)=0 f(x)在 0,+ )上 递增 f(x) f(0)=0;当 a21时 ,f (x)在 (0,a)上 递减 f (x)= f(x)的单调 递增 区间是 (- ,+ ). ( )f(x)的 递增区间是 (- ,0)和 ( ),递减区间是 (0,( )由 f (x)=x(令 f (x)=0 x= x+1 ln(x+1) x (k2+k+1) 1 (e2)exx;令 g(x)=g (x)=1+x)=g(需证 x,即 x+1. ( )a=2,f(x)在 (- , 单调递减 ,在 ( )上 单调递增 f(x)有极小值 =f(2极大值 ; ( )令 g(x)= g (x)= ( )知 g (x) g (2 g(x)在 (0,+ )上 单调递增 g(x)g(0)=10 x ( )时 ,由 ( )得 exx2 x33+4( a ( )当 x ,由 f(x)1(x+1)(1 x x+1; ( )当 x 0时 ,f(x)=101f(x) 0 a 0;由 f(x)1()+x 0;令 g(x)=() +x,则 g(0)=0,g (x)=1当 0 a21时 ,由 x+1 1g (x) a(1+12 ( 0 g(x) g(0)=0;当 a21时 ,由 1g (x)=(1-a+(a(2 当 x (0,时 ,g (x)0 g(x)在 由 g(=e 12 -(1,g( (=e 21 -(1;当 x 0时 ,由 exx+1 e 12 -(10,e 21 -(10 g(0,又 g ( g(x)在 (x1, 递增 函数 g(x)在 (x1, 存在唯一零点 ( )由 f(x)的反函数为 g(x)=直