3_8064971_8.参数方程.椭圆参数方程的应用

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 601 中国 高考数学母题 (第 174 号 ) 参数方程 椭圆 的参数方程是选修 4内容 ,要求较低 ,但其中体现的参数思想 ,常渗透到解析几何问题的解题过程中 ,合理使用参数方程 ,可有效简化运算 ,妙解高考试题 . 母题结构 :如图 ,过椭圆 =1(ab0)上任意一点 M,作 x 轴与 N,交圆 :x2+y2=点 A,作 圆 :x2+y2=, ,则 xM=yM=即得 :椭圆 C 的参 数方程 : 数 0,2 )称为 离心角 ). 母题 解 析 :椭圆参数方程的重要作用是把椭圆上任意一点 P 用只含一个参数离心角表示 ,得点的参数坐标 ;当参数变化时 ,参数可以刻画曲线的变化过程 ;当参数暂时视为常量时 ,参数可以表示曲线上的任意一点 ,以静制动 ,揭示、简化问题中变量之间的内在联系 ,把握变化的规律 ,优化解题程序 . 子题类型 :(2016 年 北京 高考 理科 试题 )已知椭圆 C:2222 =1(ab0)的离心率为 23 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0), 面积为 1.( )求椭圆 C 的方程 ; ( )设 P 是椭圆 C 上一点 ,直线 y 轴交于点 M,直线 x 轴交于点 |定值 . 解析 :( )由 e=22123,S 1 a=2,b=1 椭圆 C:42x+; ( )设 P(2(0 b0)上 ,x0=y0=0b0)过点 A(2,0),B(0,1)两点 . ( )求椭圆 C 的方程及离心率 ; ( )设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上 ,直线 y 轴交于点 M,直线 x 轴交于点 N,求证 :四边形 面积为定值 . 子题类型 :(2005 年全国 高考试题 )己知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上 ,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、 B 两点 , a=(3,线 . ( )求椭圆的离心率 ; ( )设 M 为椭圆上任意一点 ,且 , R),证明 : 2+ 2为定值 . 602 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 解析 :( )设椭圆方程为222(ab0),A(x1,B(x2,直线的方程为 :y=(x1+x2,y1+由 a =(3,线 (x1+3(y1+0 x1+3 c;又由 0222222 (a2+b2)a2(0 x1+222 ba 2222 ba =23 c e=361 22 ( )由 ( )知椭圆 : 312121 21)( xx =2122121 )(xx =21221xx = A( 3 ,B( 3 (0 b0)上的点 A、 上的动点 则 2+ 2=1. 同 类 试题 : 3.(2011年 重庆 高考 理科 试题 )如图 ,椭圆的中心为原点 O,离心 率 e=22,一条准线的方程为 x=2 2 . ( )求该椭圆的标准方程 ; ( )设动点 P =2其中 M,直线 是否存在两个定点 得 |定值 ？ 若存在 ,求 ;若不存在 ,说明理由 . 4.(2013 年山东高考试题 )在平面直角坐标系 ,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上 ,短轴长为 2,离心率为22.( )求椭圆 ( )A,上满足 射线 与点 P,设 求实数 t 的值 . 子题类 型 :(2009 年江西高考试题 )如图 ,己知圆 G:(+y2= 的 内接 内切圆 ,其中 A 为椭圆的左顶点 .( )求圆 G 的半径 r; ( )过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于两点 E、 F,证明 :直线 圆 G 相切 . 解析 :( )由 A(),设 B(2+r,则16)2( 2r+ 16 )6)(2( 线 AB:r+6)y+4220 0 )6(|6 r 36r2r+6)2 r+6)=16 )6)(2( r+6)2 r=32; ( )由 M(4,设 E(4,F(4,则 直线 AE:+4) x+4+4) y=4 |2+4)|=32 )42(s 2(co s 22 223|3=2 123628=0 41228=0 点 l:2y+28=0上 ,同理可得 :点 l:2y+28 =0 上 直线 9x+12y+28=0 圆心 G(2,0)到 直线 距离 d=32=r 直线 圆 G 相切 . 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 603 点评 :我们可以证明过椭圆 C:222(ab0)上两点 A(,B(,0 0,)的左顶点 A 和上顶 点 的右顶点为 B,点 上位于 x 轴上方的动点 ,直线 直线 l:x=310分别交于 M、 N 两点 .( )求椭圆 C 的方程 ; ( )求线段 长度的最小值 ; ( )当线段 长度最小时 ,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T,使得 面积为51？若存在 ,确定点 T 的个数 ;若不存在 ,请说明理由 . 7.(2016 年 天津 高考试题 )设椭圆222y=1(a 3 )的右焦点为 F,右顶点为 1| 1|3中 O 为原点 ,( )求椭圆的方程 ; ( )设过点 (,垂直于 ,与 y 轴于点 H,若 直线 l 的斜率 . 8.(2015 年 浙江 高考试题 )已 知椭圆22x+ 上两个不同的点 A,y=1对称 . ( )求实数 m 的取值范围 ; ( )求 积的最大值 (O 为坐标原点 ). 9.(2011年 重庆 高考 文科 试题 )如图 ,椭圆的中心为原点 O,离心率 e=22,一条准线的方程是 x=2 2 . ( )求椭圆的标准方程 ; ( )设动点 P 满足 :2其中 M,直线 斜率之积为 是否存在定点 F,使得 |点 P 到直线 l:x=2 10 的距离之比为定值？若存在 ,求 F 的坐标 ;若不存在 ,说明理由 . ( )由200 y=022代入椭圆方程2222 =1 得 :(21a+2042022020 =44042041a+204202202=24a402204+202202202=24a(1+2022020 方程的根 x=( )00ab 0202 ( )椭圆 C:42x+,e=23;( )设 P(2(2b0),则 e=2, 2 a=2,c= 2 椭圆 的标准方程 :42x+22y=1; ( )设 P(x,y),M(2 2 ,B(2 2 (0 2 ),由 21 2; 由 2 x=2424y= 2 2 2 2 2 2 0 点P 的轨迹 是左 、 右焦点 分别 为 10 ,0)、 10 ,0)的椭圆 存在两个定点 得 |4 5 为定值 . ( )椭圆 C:22x+;( )设 A( 2 ,B( 2 ,0 2 ,则 S 2 | | =46 | |=23 =21;由 E(22(,21()及 P(22(t,21(t),由 点 P 在椭圆 C 上 41(21(2 t=2 或332. ( )点 P 的轨迹为直线 :x=29;( )T(7,310);( )设 M(3 5 ,0 ,A(3 5 直线 5 x+3 y=3 5 由 直线 点 T(9,m) 5 ;设 M(3 5 , 2 ,同理可得 :3 5 += 5 ;由 - 得 :3 = ;又 直线 5 x+3 y=3 5 5 x+3 y= 5 恒过定点 (1,0). ( )椭圆 C:42x+;( )设点 S(2( (0, ) 直线 AS:y=2(x+2) 点 M(310,)1(),同理可得点 N(310,)1() |32 线段 53,54; ( )设点 T(2( 0,2 ) 点 T 到直线 距离 d=2 |2 =42 5 |2 =105 单位圆x2+ 上的点 P(到直线 2x+ 的距离 =105,易知点 P 的个数为 2. ( )由| 1| 1|3椭圆 :42x +32y=1;( )设 B(2 3 ( 0,0 2 ),M(x0,H(0, h);则 ;由 h=;由 2(1)3 (0 (1): 3 )1( 31 322 2 = 46 . ( )设 点 P(x0,由 21 P(21),由 P 在 椭圆 内 m