3_8064978_1.直线与圆.文科高考的特色试题

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 571 中国 高考数学母题 (第 167 号 ) 直线与圆 解析 几何 中的 基本曲线有 :直线 、 圆 、抛物线、椭圆和双曲 线 ,其中 ,直线 与 圆 是课标中的必修内容 ,直线 与 圆 也是文科高考 解答题 的特色试题 . 母题结构 :( )(圆的方程 )求圆的方程有二种方法 : 先求圆心 ,再求半径 ,然后由标准方程 ,写出所求圆的方程 ; 若A(x1,B(x2,且 点 P 在以 直径 的圆 :(0 上 ; ( )(圆的性质 )解决直线与圆相交的问题有两种基本方法 :利用圆心到直线的距离及圆的相关性质 (如垂径定理、 圆周角 定理、切线长定理、切 割 线定理、 相交弦 定理、 两圆外切和内切条件等 ),求解 ;把直线方程代入圆的方程得一元二次方程由此求解 ; ( )(向量结合 )解 答 向量结合 问题 的关键是翻译 向量 语言 ,即把 向量条件 ,或转化为代数 条件 ,或转化为几何 条件 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(1997 年全国高考试题 )设圆满足 :截 y 轴所 得弦长为 2;被 x 轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为 3:的所有圆中 ,求圆心到直线 l: 的距离最小的圆的方程 . 解析 :设圆的圆心 M(a,b),半径为 r,由截 y 轴所得弦长为 2 1+a2=被 x 轴分成两段圆弧 ,其弧长的比为3:1 较小弧所对的圆心角为直角 2b2= 1+ 2;又因圆心 M(a,b)到直线 l: 的距离d=5 |2| 5=a2+2,当且仅当 a=b,即 a=b=1,此时 r=2 ,所以所求圆的方程为 :(+(=2,或 (x+1)2+(=2. 点评 :圆的方程包括两个方面 :对圆的方程认 识 :由圆的方程求圆心和圆的半径 ;求圆的方程 . 同 类 试题 : 1.(2008 年课标高考试题 )已知 m R,直线 l:)y=4m 和圆 C:x2+y+16=0. ( )求直 线 l 斜率的取值范围 ; ( )直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧？为什么？ 2.(2011 年课标高考试题 )在平面直角坐标系 ,曲线 y= 与坐标轴的交点都在圆 C 上 . ( )求圆 C 的方程 ; ( )若圆 C 与直线 a=0 交与 A,且 0A a 的值 . 子题类型 :(2014 年课标 高考试题 )已知点 P(2,2),圆 C:x2+,过点 P 的动直 线 l 与圆 C 交于 A,B 两点 ,线段 中点为 M,O 为坐标原点 . ( )求 M 的轨迹方程 ; ( )当 | ,求 l 的方程及 面积 . 解析 :( )由圆 C:x2+ 圆心 C(0,4),半径为 4;设 M(x,y),由 M 为 中点 M 的轨迹 是以 直径的 圆 M 的轨迹方程 :x(0; ( )由 (1,3)为圆心 , 2 为半径的圆 ;由 | 直线 l 的斜率 =直线 l:31(即 x+3 O 到直线 l 的距离 104,N 到直线 l 的距离 10 |=22)510(2=5104 面积 =21|PM|16. 点评 :由于圆以及直线与 圆的位置都具有直观的几何性质 ,因此 ,充分利用圆的几何性质是解决相关问题的关键 . 同 类 试题 : 572 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 3.(1989年全国高考试题 )自点 A()发出的光线 被 其反射光线所在直线与圆 x2+=0相切 ,求光线 l 所在的直线方程 . 4.(2015 年 广东 高考试题 )已知过原点的动直线 l 与圆 C1:x2+=0 相交于不同的两点 A,B. ( )求圆 ( )求线段 中点 M 的轨迹 ( )是否存在实数 k,使得直线 L:y=k(曲线 C 只有一个交点？若存在 ,求出 k 的取值范围 ;若不存在 ,说明理由 . 子题类型 :(2016 年江苏高考试题 )如图 ,在平面直角坐标系 ,已知以 M 为圆心 的圆 M:x2+0=及其上一点 A(2,4). ( )设圆 N 与 x 轴相切 ,与圆 且圆心 N 在直线 x=6 上 ,求圆 N 的标准方程 ; ( )设平行于 直线 l 与圆 M 相交于 B,C 两点 ,且 A,求直线 l 的方程 ; ( )设点 T(t,0)满足 :存在圆 M 上的两点 P 和 Q,使得 求实数 t 的取值范围 . 解析 :( )设 N(6,n),则圆 N:(+(=n2(n0);由 圆 :(+(=25外切 |7n+5 n=1 圆 (+(=1; ( )设 直线 l:y=2x+b,则 d=5 |5| b;由 A=2 5 ( 5 )2+5 b=5或 l:y=2x+5或 y=2( )由 由 |=| 10 t 21 ,2+2 21 ;当 t 21 ,2+2 21 时 ,欲使 只需要作直线 平行线 圆心 M 到直线 距离 = 4|25 2,因此对于任意 t 21 ,2+2 21 ,均满足题意 ,综上 ,t 21 ,2+2 21 . 点评 :当直线与圆相交时 ,利用向量描述相关位置或条件是课标高考全国卷的一个突出的特色 . 同 类 试题 : 5.(2015 年课标 高考试题 )已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(+(=1 交于 M,N 两点 . ( )求 k 的取值范围 ; ( )若 12,其中 0 为坐标原点 ,求 | 6.(2007年课标高考试题 )在平面直角坐标系 已知圆 x2+2=0的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率为 相交于不同的两点 A,B.( )求 k 的取值范围 ; ( )是否存在常数 k,使得向量 线？如果存在 ,求 k 值 ;如果不存在 ,请说明理由 . 7.(2008年江苏高考试题 )在平面直角坐标系 设二次函数 f(x)=x+b(x R)的图象与两个坐标轴有三个交点 ,经过这三点的圆记为 C.( )求实数 b 的取值范围 ; ( )求圆 C 的方程 ; ( )问圆 C 是否经过定点 (其坐标与 b 无关 )？请证明你的结论 . 8.(2002 年 课程高考试题 )己知两点 M(),N(1,0),且点 P 公差小于零的等差数列 . ( )点 P 的轨迹是什么曲线？ ( )若点 P 的坐标为 (x0,记为 夹角 ,求 9.(2009 年江苏高考试题 )在平面直角坐标系 ,己知圆 x+3)2+(=4 和圆 +(=4. ( )若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 3 ,求直线 l 的方程 ; ( )设 满足 :存在过点 们分别与圆 2相交 ,且直线 2截得的弦长相等 ,试求所有满足条件的点 P 的坐标 . 10.(2012 年全国 高中数学联赛试 题 (A 卷 )如图 ,在平面直角坐标系 ,菱形 边长为 4, 且 |6.( )求证 :|定值 ; ( )当点 A 在半圆 M:(+(2 x 4)上运动时 ,求点 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 573 ( )由 直线 l 的斜率 k=12|k|=1|2|2 | 1,当且仅当 |m|=1 时等号成立 直线 l 斜率的取值范围 是1; ( )由 直线 l:其中 |k|21,圆心 C(4,半径 r=2 圆心 d=212k541 d2r 圆C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于32 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧 . ( )由 曲线 y= 与 y 轴的交点为 (0,1),与 x 轴的交点为 (3+2 2 ,0),(3 ,0);故可设 C 的圆心为 (3,t) 32+(=(22 )2+t=1 圆 C 的半径 r=3 圆 C:(+(=9; ( )设 A(x1,B(x2,由 a=0 代入 圆方程得 :2(x+(=0 x1+-a,1(;由 0A 0 x1+a)(x2+a)=0 2a(x1+ (+a(4 a=因圆 x2+=0 (+(=1 圆心为点 (2,2),半径 r=1 圆 (+(=1 关于 x 轴对称的圆M:+(y+2)2=l:k(x+3),即 k+3=0,由题知 ,直线 l 与圆 M 相切 1 |33)2(2| 2 k k=34,43 直线 l 的方程为 :3x+4,或 4x+3y+3=0. ( )由 x2+=0 (+ 圆 1(3,0); ( )由 点 M 在以 :x( 上 轨迹 C:x(3503740 k 的取值范围 是 (); ( )设 A(x1,B(x2,则 x1+21 )3(4 y1+y2=k(x1+4;由 量 (x1+x2,y1+ (6,线 (x1+3(y1+0 (1+3k)3(4 +12=0 k=()k. ( )令 x=0 得抛物线与 0,b);令 f(x)=x+b=0,由题意 b0 且 0,解得 点 P 的轨迹是 以原点 为圆心 , 3 为半径的右半圆 ; ( )由 点 P(x0, (),且 面积 1|又 1| |21| | 21 | ( )因直线 x=4与圆 所以直线 设直线 y=k(即 1的半径为 2,直线 l 圆 3 圆 1到直线 l 的距离 =11 |41)3(| 2 k k=0,247 直线 l 的方程y=0,或 7x+24. ( )设点 P(a,b)满足条件 ,不妨设直线 k(k 0,则直线 因圆 2的半径相等 ,所以 ,直线 1截得的弦长与直线 2截得的弦长相等 圆 1到直线 2的圆心 离相等 11|)4(15|1|)3(1|22 |3k+|5 3k+k 3k