3_8064991_2.概率公式与条件概率

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 515 中国 高考数学母题 (第 155 号 ) 概率公式与条件概率 概率是 事件的函数 ,只有当事件具有一定关系时 ,才有事件概率的运算公式 :若事件 A 与 B 不能同时发生 ,则称 A 与 若事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响 ,则称 A 与 B 为独立事件 . 母题结构 :( )(概率公式 )事件运算 :如果事件 至少有一个发生 ,记为 A+B;如果事件 同时发生 ,记为 事件关系 :如果事件 A 与 B 独立 ,则事件 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也相互独立 ;对任意事件 A 与 B,则事件 A B 两两互斥 ;概率公式 :如果事件 A 与 B 为互斥事件 ,则 P(A+B)=P(A)+P(B);特别地 ,P(A)=1 );如果事件 为独立事件 ,则 P(P(A)P(B);对任意事件 A 与 B,则 P(A+B)=P(A)+P(B)B); ( )(重复试验 )独立重复试验 的概率 :如果在每次试验中事件 p,那么事件 A在 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=-p)k=0,1, ,n); ( )(条件概率 ):定义 :在事件 A 发生的条件下 ,事件 B 发生的概率称为条件概率 ,其概率记作 P(B|A);基本公式 : P(B|A)=)( )( 全概率公式 :如果 、 两两互斥的事件 ,且 2+ +必然事件 ,则对任意事件 B,有P(B)=P(B|P(B| +P(B| 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2016 年 北京 高考 试 题 )A,B,C 三个班共有 100 名学生 ,为调查他们的体育锻炼情况 ,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间 ,数据如表 (单位 :小时 ): ( )试估计 C 班的学生人数 ; ( )从 A 班和 C 班抽出的学生中 ,各随机选取一个人 ,A 班选出 的人记为甲 ,C 班选出的人记为乙 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 ; ( )再从 A,B,C 三班中各随机抽取一名学生 ,他们该周锻炼时间分别是 7,9,位 :小时 ),这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1,表格中数据的平均数记为 0,试判断 0和 1的大小 .(结论不要求证明 ) 解析 :( )由 三个班共抽取 20 个学生 ,其中 C 班抽取 8 个 估计 C 班的学生人数 =40; ( )设事件 抽取样本中 i 人” (i=1,2,3,4,5),事件 抽取样本中 C 班的 第 (i=1,2, ,8),则 P( 51,P(81, P(P(401,事件 M:“ 该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长 ” =1223334445555 P(M)=P(1222334445555P(P(P(P(P(P(P(P(P(P( P(P(P(P(P(15401=83.( ) 0 1. 点评 :用已知事件表示待求事件是 解答事件模型问题 的 根本方法 ;基本 程序是 :首先设出基本事件 ,指出基本事件之间的关系 (独立或互斥 ),并 求基本事件的概率 ;其次是利用基本事件表示待求的事件 ,并研究待求事件中各事件之间的关系 ;最后利用互斥事件和独立事件的概率公式 ,求待求事件的概率 . 同 类 试题 : 1.(2015 年 北京 高考 试 题 )A, 位病 人 ,他们服用某种药物后的康复时间 (单位 :天 )记录如下 :A 组 :10,11,12, 13,14,15,16;B 组 :12,13,15,16,17,14,从 A,B 两组随机各选 1 人 ,A 组选出的人记为甲 ,B 组选出的人记为乙 .( )求甲的康复时间不少于 14 天的概率 ; ( )如果 a=25,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率 ; ( )当 a 为何值时 ,A,B 两组病人康复时间的方差相等？ (结论不要求证明 ) 516 备战高考数 学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 2.(2014 年 山东 高考试题 )乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分 ,如图 ,甲上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域 C,规定 :回球一次 ,落点在 C 上 记 3 分 ,在 D 上 记 1 分 ,其 他情况 记 0 分 ;对 落点在 A 上的来球 ,队员 小明 回球 的 落点在 C 上 的概率为21,在 D 上的概率为31;对 落点在 B 上的来球 ,小明 回球 的 落点在 概率为51,在 D 上的概率为53. 假设共有两次来球且落在 A,小明的两次回球互不影响 ( )小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率 ; ( )两次回球结束后 ,小明得分之和 的分布列与数学期望 . 子题类型 :(2008重庆高考试题 )在每道单项选择题给出的 4个备选答案中 ,只有一个是正确的 道选择题中的每一道都任意选定一个答案 ,求这 4 道题中 :( )恰有两 道题答对的概率 ;( )至少答对一道题的概率 . 解析 :( )“选择每道题的答案”为一次试验 ,则这是 4 次独立重复试验 ,且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为41 恰有两道题答对的概率 P=1)2(1=12827;( )至少答对一道题的概率 P=11)0(1=256175. 点评 :独立重复试验 的概率 公式 是中学 一个重要 的概率 公式 ,是高考重点考 查的对象 ,有三类 模型 : 给出一个 独立重复试验 ,求 事件 A 至少 (或 至多 )发生 k 的 概率 型 ; 给出一个 独立重复试验 ,先 求 事件 A 的 概率 型 ; 给出 二 个 独立重复试验 ,求 其中 事件 A 与 B 表示 的事件 概率 型 . 同 类 试题 : 3.(2010 年全国 高考试题 )投到某杂志的稿件 ,先由两位初审专家进行评审 ,若能通过两位初审专家的评审 ,则予 以录用 ;若两位初审专家都未予通过 ,则不予录用 ;若恰能通过一位初审专家的评 审 ,则再由第三位专家进行复审 ,若能通过复审专家的评审 ,则予以录用 ,否则不予录 用 ( )求投到该杂志的 1 篇稿 件被录用的概率 ; ( )求 投到该杂志的 4 篇稿件中 ,至少有 2 篇被录用的概率 . 4.(2011 年全国高考试题 )根据以往统计资料 ,某地车主购买甲种保险的概率是 买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为 () 求该地一位车主至少购买甲乙两种保险中的 1中的概率 ; ( )求该地的 3 位车主中恰有 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率 子题类型 :(2016 年 高考 全国 甲 卷 试 题 )某险种的基本保费为 a(单位 :元 ),继续购买该险种的投保人称为续保人 ,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 : 设该险种一续保人一年内出险次数 与相应概率如下 : ( )求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 ; ( )若一续保人本年度的保费高于基本保费 ,求其保费比基本保费高出 60%的概率 ; ( )求续保人本 年度的平均保费与基本保费的比值 . 解析 :( )设续保人本年度的保费高于基本保费为事件 A,则 P(A)=1 )=1-( )设 续保人保费比基本 保 费高出 60%为事件 B, 则 P(B|A)=)( )(=113; ( )设本年度所交保费为随机变量 X,则 平均保费 平均保费与基本保费的比值 =点评 :求 条件概率 P(B|A)是条件 概率 的基 本 问题 ,方法有 两种 : 公式法 :先求 P(P(A),由 基 本 公式 求 P(B|A); 缩小样本空 间法 :先求 数 数 m,求 P(B|A);对 全 概率 公式 要特别关注 事件 2、 2+ +构造 事件组 、 概率 公式 的关键 . 同 类 试题 : 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 有效手段 517 5.(2007 年 山东 高考试题 )设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 ,用随机变量 表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数(重根按一个计 ).( )求方程 x2+bx+c=0 有实根的概率 ;( )求 的分布列和数学期望 ; ( )求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下 ,方程 x2+bx+c=0 有实根的概率 . 6.(2013 年 课标 高考试题 )一批产品需要进行质量检验 ,检验方案是 :先从这批产品中任取 4 件作检验 ,这 4 件产品中优质品的件数记为 n=3,再从这批产品中任取 4件作检验 ,若都为优质品 ,则 这批产品通过检验 ;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验 ,若为优质品 ,则这批产品通过检验 ;其他情况下 ,这批产品都不能通过检验 0%,即取出的每件产品是优质品的概率都为21,且各件产品是否为优质品相互独立 . ( )求这批产品通过检验的概率 ; ( )已知每件产品的检验费用为 100 元 ,且抽取的每件产品都需要检验 ,对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位 :元 ),求 X 的分布列及数学期望 . 7.(2008全 国 高考试题 )甲、乙两人进行射击比赛 ,在一轮比赛中 ,甲、乙各射击一发子弹 甲击中 8环 ,9环 ,10 环的概率分别为 击中 8 环 ,9 环 ,10 环的概率分别为 甲、乙的射击相互独立 . ( )求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率 ; ( )求在独立的三轮比赛中 ,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率 . 8.(2004 年 全国 高考试题 )某同学参加科普知识竞赛 ,需回答三个问题 答对第一、二、三个问题分别得100 分、 100 分、 200 分 ,答 错得 0 分 答对第一、二、三个问题的概率分别为 各题答对与否相互之间没有影响 .( )求这名同学得 300 分的概率 ; ( )求这名同学至少得 300 分的概率 . 9.(2004 重庆高考试题 )设甲、 乙 、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 ( )三人各向目标射击一次 ,求至少有一 人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率 ; ( )若甲单独向目标射击三次 ,求他恰好命中两次的概率 . 10.(2005 年北京高考试题 )甲、乙两人各进行 3 次射击 ,甲每次击中目标的概率为21,乙每次击中目标的概率32.( )甲 恰好 击中目标的 2 次的概率 ;( )乙至 少 击中目标 2 次的概率 ;( )求 乙 恰好比 甲 多击中目标 2次的概率 . 11.(2012 年湖北高考试题 )根据以往的经验 ,某工程施工期间的 降水 量 X(单位 :工期的影响如下表 ,历年气象资料表明 ,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别为 :( )工期延误天数 Y 的均值与方差 ; ( )在降水量 X 至少是 300 的条件下 ,工期延误不超过 6 天的概率 . 12.(2006 年 北京 高考试题 )某公司招聘员工 ,指定三门考试课程 ,有两种考试方案 考试三门课程 ,至少有两门及格为考试通过 ;方案二 :在三门课程中 ,随机选取两门 ,这两门都及格为考试通过 a,b,c,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响 . ( )分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率 ; ( )试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小 (说明理由 ). 设事件 甲是 ,事件 乙是 ,则 P(P(71;( )P(M)=P(P( P(73;( )P(N)=4910;( )当 a 为 11 或 18 时 ,A,B 两组病人康复时间的方差相等 . 设 对 落点在 A 上的来球 ,小明 回球 的 落点在 C、 D 上 和 其 他情况 的 事 件分别为 对 落点在 B 上的来球 ,小明 回球 的 落点在 C、 D 上 和 其 他情况 的 事 件分别为 斥 ,斥 ,且P(21,P(31 P(11,P(51,P(53 P(11;( )P=P(100103; ( ) 的 可能取值为 :0,1,2,3,4,6;P( =0)=P(301,P( =1)=P(061, 518 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 P( =2) 51,P( =3)=152 的分布列 为 :3091. ( )稿 件被录用 等于 稿件能通过两位初审专家的评审 或 稿件恰能通过一位初审专家的评审 ,且 通过复审专家的评审 概率 P=21 ) 至少有 2篇被录用的概率 P=() 设车主购买甲、乙两种保险的 事件分别为 A、 B,则 A、 且 P(A)= P(=P(B)P(A )=P(B)= 该地一位车主至少购买甲乙两种保险 中的 1 中的概率 =1 B )= )由 P(A B )=P=( )由 总数 =6 6=36;若 使方程有实根 ,则 =0 (b,c)的 个数 =19 P=3619; ( ) 的 所有可 能取值为 0,1,2,且 P( =0)=1617,P( =1)=362,P( =2)=3617 1; ( )(法一 )记“先后两次出现的点数中有 5”为事件 M,“方程 x2+bx+c=0 有实根”为事件 N,则 P(M)= 3611,P(367 P(N|M)=)( )(17;(法 二 )点 中有 5 的 共 11 个 ,其中 ,使方程有实根 的 计 7 个 P=117. ( )设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 二次取出的 4 件产品 都是优质品为事件 二次取出的 1 件产品是优质品为事件 批产品通过检验为事件 A,依题意有A=2 2 P(A)=P(2P(P(P(1)+P(2)=164161+16121=643; ( )X 可能的取值为 400,500,800,且 P(X=500)=161,P(X=800)=164 P(X=400)=1=500) =800)=1611 X 的分布列为 :001611+500161+800164=设 甲击中 8 环 ,9 环 ,10 环的 事件 分别为 2,击中 8 环 ,9 环 ,10 环的 事件 分别为 2, ( )P(M)=P(33 ( )P(N)=P(+M 设 这 名同学答对第一、二、三个问题的 事件分别为 A、 B、 C,则 A、 B、 C 相互独立 ,且 P(A)=(B)=(C)=( )P(M)=P(+A ( )P(N)=P(+A P(+A P( )设 甲、 乙 、丙三人命中目标的 事件 分别为 A、 B、 C,则 A、 B、 C 相互 独立 ,