3_8064998_4.图表信息中的概率模型

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 497 中国 高考数学母题 (第 151 号 ) 图表信息中的概率模型 统计学与概率理论是两个紧密相关的学科 ;针对 文科生学习掌握 统计学与概率理论的知识范围和结构 ,高考解答题的 命题选择统计与概率结合之路是有充分的 . 母题结构 :( )(分层抽样与概率 )给出设定的实际背景 ,先求分层 抽样的结果 ,或直接求满足某条件的概率 ,或对抽取的结果进行赋值 ,由此构造数字特征与与概率的结合 ; ( )(频率分布 与概率 )频率分布及其直方图与概率的结合有三种 :利用其分段中的个体 ,构造古典概型问题 ;利用频率估计概率和样本估计总体思想 ,估计总体概率 ;利用频率估计概率和样本估计总体思想 ,估计总体概率解决相关问题 ; ( )(统计图表与概率 )统计图表与概率的结合方式有 :分层抽样与概率 ;统计图表与概率的结合等 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2014 年 山东 高考试题 )海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 ,从各地区进口此种商品的数量 (单位 :件 )如右表所示 ,工作人员 用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6件样品进行检测 . ( )求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区样品的数量 ; ( )若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测 ,求这 2 件商品来自相同地区 的概率 . 解析 :( )由 抽取比例 =10015050 6 =501 各地区抽取商品数为 A:50501=1,B:150501=3,C:100501=2; ( )设 各地区商品分别为 a,b1,b2,b3,c1, 随机抽取 2 件 可能 的情况有 :a,a,a,a,a,b1, b1,b1,b1,b2,b2,b2,b3,b3,c1,共 15 种 ,其中 ,这 2件商品来自相同地区 的 有 : b1,b1,b2,c1,计 4 种 概率 P=154. 点评 :给出 设 定的 实际背景 ,先求 分层 抽样 的结果 ,然后 ,进一步研究 分层 抽样 的结果 :从中抽取 若干 ,求满足某条件的概率 ;这是 分层抽样与概率结合的 基本 母题模型 . 同 类 试题 : 1.(2008 年广东高考试题 )某初级中学共有学生 2000 名 ,各年级男、女生人数如下表 :己知在全校学生中随机抽 取 1 名 ,抽到初二年级女生的概率是 )求 x 的值 ; ( )现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生 ,问应在初三年级抽取多少名？ ( )己知 y 245,z 245,求初三年级中女生比男生多的概率 . 2.(2009年山东高考试题 )汽车厂生产 A,B,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 ,某月的产量如下表 (单位 :辆 ):按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆 ,其中有 A 类轿车 10 辆 . ( )求 ( )用分层抽样的方法在 的样本 样本看成一个总体 ,从 中任取 2辆 ,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率 ; ( )用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆 ,经检测它们的得分如下 :这8 辆轿车的得分看成一个总体 ,从中任取一个数 ,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 概率 . 子题类型 :(2010 年 陕西 高考试题 )为了解学生身高情况 ,某校以 10%的比例对全校 700名 学生按性别 进行分层抽样 检查 ,测得身高情况的 统计图如下 : 498 备战高考数学的一 条捷径 2017年课标高考 母题 ( )估计该校男生的人数 ; ( )估计该校学生身高在 170 185间的概率 ; ( )从样本中身高在 180 190间的男生中任选 2 人 ,求至少有 1 人身高在 185 190间的概率 . 解析 :( )样本中男生人数为 40,由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400; ( )有统计图知 ,样本中身高在 170 185间的学生有 14+13+4+3+1=35 人 ,样本容量为 70 样本中学生身高在170 185间的频率 =估计该校学生身高在 170 180间的概率 P=( )样本中身高在 180 185人 ,设为 a,b,c,d,样本中身高在 185 190人 ,设 为 x,y, 从上述 6人中任取 2人的 可能 情况有 :a,b,a,c,a,d,a,x,a,y,b,c,b,d,b,x,b,y,c,d,c,x,c,y, d,x,d,y,x,y,共 15 种 ,至少有 1 人身高在 185 190 9 种 概率 P=点评 :由 频率分布直方图 可俱得每段中 的个体数 ,从其中二 段 的个体 中 抽取两个个体的 古典概型问题 ;给出 率分布直方图 和 y=f(x),利用 频率估计概率 .求 的 概率 ,是该类高考试 题的母题 . 同 类 试题 : 3.(2014 年重庆高考试题 )20 名学生某次数学考试成绩 (单位 :分 )的频数分布直方图如下 : ( )求频数直方图中 a 的值 ; ( )分别求出成绩落在 50,60)与 60,70)中的学生人数 ; ( )从成绩在 50,70)的学生中人选 2 人 ,求这 2 人的成绩都在 60,70)中 的概率 . 4.(2010 年 湖北 高考试题 )为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况 ,从这个水库中多个不同位置捕捞出 100 条鱼 ,称得每条鱼 的质量 (单位 :千克 ),并将所得数据分组 ,画出频率分布 直方图 (如图所示 ).( )在答题卡上的表格中填写相应的频率 ; ( )估计数据落在 的概率为多少 ; ( )将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放 回水库 ,几天 后再从水库的多处不同位置捕捞出 120 条鱼 ,其中带有记号的 鱼有 6 条 ,请根据这一情况来估计该水库中的鱼的总条数 . 子题类型 :(2013 年 天津 高考试题 )某产品的三个质量指标分别为 x,y,z,用综合指标 S=x+y+z 评价该产品的等级 4,则该产品为一等品 随机抽取 10 件产品作为样本 ,其质量指标列表如下 : ( )利用上表提供的样本数据估计该 批产品的一等品率 ; ( )在该样本的一等品中 2 件产品 .(i)用产品 编号列出所有可 能的结果 ;(事件 B 为“在取出的 2 件产品中 ,每件产品的综合指标 S 都等于 4” ,求事件 B 发生的概率 . 解析 :( )计算 10 件产品的综合指标 S,如下表 : 其中 S 4 的有 6 件 ,故该样本的一等品率为 计该产品的一等品率为 ( )(i)在该样本的一等品中 件产品的所有可能结果为 :2,4,5,7,9,4, 5,7,9,5,7,9,7,9,6,共 15 种 ;(件 2,5,5,7,7,计 6 种 P(B)=点评 :统计表与概率 的结合 :一 是以 统计表 格的 方式给出待 选元素的一种指标 足 某 条件的概 率 ; 二 是以 统计表 格的 方式给出待 选元素的 二 种指标 种指标 分别 满足 指定 条件的概 率 . 同 类 试题 : 5.(2009年广东高考试题 )随 机抽取某中学甲、乙两班各 10名同学 ,测量他们的身高 (单位 :获得身高的茎叶图如图所示 : ( )根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 ; ( )计算甲班的样本方差 ; 频率 /组距成绩 （ 分 ）7 )现从乙 班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173求身高为 176同学被抽中的概率 . 6.(2014 年 陕西 高考试题 )某保险公司利用简单随机抽样方法 ,对投保车辆进行抽样 ,样本车 辆中每辆车的赔付结果统计 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 499 如下 :( )若每辆车的投保金额均为 2800 元 ,估计赔付金额大于投保金额的概率 ; ( )在样本车辆中 ,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4000 元 的样本车辆中 ,车主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中 ,新司机获赔金额为 4000元的概率 . 7.(2009 年天津高考试题 )为了了解某市开展群众体育活动的情况 ,拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查 ,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂 .( )求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数 ; ( )若从抽得的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果对比 ,用列举法计算这 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区的概率 . 8.(2013 年 陕西 高考试题 )有 7位歌手 (1 至 7 号 )参加一场歌唱比赛 ,由 500 名大众评委现场投 票决定歌手名次 各组的人数如下 : ( )为了调查评委对 7 位歌手的支持情况 ,现用分层抽样方法从各组中抽 取若干评委 ,其中从 B 组抽取了 6 人 ,请将其余各组抽取的人数填入下表 ; ( )在 ( )中 ,若 A,B 两组被抽到的评委中各有 2 人支持 1 号歌手 ,现从这 两组被抽到的评委中分别任选 1 人 ,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率 . 9.(2007 年 湖北 高考试题 )在生产过程中 ,测得纤维产品的纤度 (表 示纤维粗细的一种 量 )共有 100 个数据 ,将数据分组如右表 : ( )在答题卡上完成频率分布表 ,并在给定的坐标 系中画出频率分布直方图 ; ( )估计纤度落在 的概率及纤度小于 概率是多少 ; ( )统计方法中 ,同一组数据常用该组区间的中点值 (例如区间 中点值 是 为代表 估计纤度的期望 . 10.(2012 年 陕西 高考试题 )假设甲乙两种品 牌的同类产品在某地 区市场上销售量相等 ,为了解他们的使用寿命 ,现从两种品牌的 产品中分别随机抽取 100 个进行测试 ,结果统计如下 : ( )估计甲品牌产品寿命小于 200 小时的概率 ; ( )这两种品牌产品中 ,某个产品已使用了 200 小时 ,试估计该产品是甲品牌的概率 . 11.(2013 年广东高考试题 )某车间共有 12 名工人 ,随机抽取 6 名 ,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示 ,其中茎为十位数 ,叶为个位数 .( )根据茎叶图计算样本均值 ; ( )日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人 2 名工人中有几名优秀工人 ; ( )从该车间 12 名工人中 ,任取 2 人 ,求恰有 1 名优秀工人的概率 . 12.(2014 年 湖南 高考试题 )某企业有甲、乙两个研发小组 ,为了比较他们的研发水平 ,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下 :(a,b),(a,b ),(a,b),(a ,b),(a ,b ),(a,b),(a,b),(a,b ),(a ,b),(a,b ),(a ,b ),(a,b),(a,b ), (a ,b),(a,b)a,a 分别表示甲组研发成功和失败 ;b,b 分别表示乙组研发成功 失败 . ( )若某组成功研发一种新产品 ,则给改组记 1 分 ,否记 0 分 ,试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差 ,并比较甲、乙两组的研发水平 ; ( )若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品 ,试估算恰有一组研发成功 的概率 . ( ) x=380;( )由 初三年级人数 y+z=2000-(373+377+380+370)=500 应在初三年级抽取 12 名 ;( )设初三年级女生比男生多的事件为 A,由 y+z=500,y 245,z 245 (y,z)的 可能情况 共 11个 ;事件 5个 P(A)=115. ( )设该 厂本月生产轿车为 n 辆 ,由 50:n=10:400 n=2000 z=200000; ( )由 抽取比例 =1:200 抽取的容量为 5的样本中 ,有 2辆舒适型轿车 ,3辆标准型轿车 ;用 a,辆舒适型轿车 ,用x,y,z 表示 3 辆标准型轿车 ,则 任取 2 辆 可能 的情况 共 10 个 ,其中 ,至少有 1 辆舒适型轿车的 计 7 个 概率 P=( )由 样本平均数 x =9 数 x 之差的绝对值 如表 P=43. ( )由 所有频率之和等于 1 10(2a+3a+7a+6a+2a)=1 a=( )在 50,60)中的学生人数 =20 2 10=2 人 ;在 60,70)中的学生人数 =20 3 10=3 人 ; ( )记在 50,60)的学生为 a,b,在 60,70)中的学生为 x,y,z,则从成绩在 50,70)的学生中人选 2 人的选法 共 10 种 ,其中 500 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 2 人的成绩都在 60,70)中有三种 :x,y,x,z,y,z 概率 P=( )相应的频率 如表 :( )由 数据落在 的 频率 =估计数据落在 的概率 =( )由 100:n=6:120 估计该水库中的鱼的总条数 n=2000. ( )由茎叶图可知 :甲班身高集中于 160间 ,而乙班身高集中于 170间 乙班平均身高高于甲班 ; ( )由 甲班的样本 平均数 x =170 甲班的样本方差 7; ( )从 173,176,178,179,181 中抽取 两 个的可能 情况 共 10 种 ,其中 ,身高为 176同学被抽中的 计有 4 种 P=( )由样本车辆中 ,赔付金额大于投保金额的频率 =估计赔付金额大于投保金额的概率 P=( )由 样本车辆中 ,车主为新司机的有 1000=100 辆 ,而赔付金额为 4000 元的车辆中 ,车主为新司机的有 120= 24 辆 以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4000 元的频率 =频率估计概率 概率 P=( )由 抽取比例 =182718 7 =91 从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数 为 1891=2,2791=3,1891=2; ( )设 从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂 分别为 :a1,a2,b1,b2,b3, 抽取 2 个 的 可能共 21 种 ,其中 ,至少有 1 个来自 11 种 概率 P=2111. ( )由题设知 ,分层抽样的抽取比例为 6% 所以各组抽取的人数如下表 : ( )记从 A 组抽到的 3 个评委为 a,b,x,其中 a,b 支持 1 号歌手 ;从 B 组抽到 的 6 个评委为 c,d,y,z,s,t,其中 c,d 支持 1 号歌手 ;从 a,b,x和 c,d,y,z,s,t 中各抽取 1 人的所有结果 共 18种 ,其中 2 人都支持 1 号歌手的有 :a,c,a,d,b,c,b,d,计