3_8065012_1.等差数列与等比数列的交汇

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 441 中国 高考数学母题 (第 138 号 ) 等差数列与等比数列的交汇 等差数列 与 等比数列 是两个基本的 数列 模型 ,在解答题中 ,考查 等差数列 与 等比数列 的交汇 ,是高考命题的必然选择 ;等差数列 与 等比数列 的交汇有 :等差数列 中 的等比数列 、 等比数列 中 的等差数列 和 等差与等比数列的转换 等 . 母题结构 :( )(等差数列 中 的等比数列 )在 公差为 d 的 等差数列 ,N+,则 数列 等比数列 a1=d 0,且 等比数列 ; ( )(等比数列 中 的等差数列 )在 公 比 为 q 的 等比数列 ,am,ak,差数列 1+( )(等差与等比数列的转换 )数列 等差数列 数列 (M0,M 1)是等比数列 ;数列 正项等比数列 数列 M0,M 1)是等差数列 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2005年全国 高考试题 )在等差数列 ,公差 d 0,a1,己知 a1, , 成等比数列 ,求数列 通项 . 解析 :由 a1, a1(d)=(a1+d)2 a1=d an= a1, ,成等比数列 11 ,3k2=,7,=数列 以 为首项 ,公比为 3 的等比数列 n+1. 点评 :对 任意的 等差数列 ,都至少存在三项 等比数列 ;解决等差数列中是否含等比数列 ,常用方法是基本量法 ,即用 等差数列 的首项 和公差表示相关量 . 同 类 试题 : 1.(2015 年 重庆 高考试题 )已知等差数列 足 ,前 3 项和 9. ( )求 通项公式 ; ( )设等比数列 足 b1=a1,b4= n 项和 2.(2014 年江西高考试题 )已知数列 前 n 项和 3 2 ,n N*. ( )求数列 通项公式 ; ( )证明 :对任意 n1,都有 m N*,使得 a1,an, 子题类型 :(2011 年湖北高考试题 )成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、 5、 13 后成为等比数列 ( )求数列 通项公式 ; ( )数列 前 n 项和为 证 :数列 5是等比数列 . 解析 :( )设成等差数列的三个正数分别为 a,a+d,由 a+a+d=15 a=5 -d,0,8+d;由 (718 +d)=100 d=2 或 去 ) 公比 q=2 bn= 2( )由 25=5 2数列 5是 首项 =25,公比 =2 的等比数列 . 点评 :一般情况下 ,等比数列中 不 含等差数列 ,但由 等比数列 ,可构造 等差数列 的问题 ,解决 此类 问题的 常用方法是基本量法 ,即用 等比数列 的首项和公 比 表示相关量 ;对于求证不存在的问题则常用反证法 . 442 备战 高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 同 类 试题 : 3.(2009 年辽宁高考试题 )等比数列 前 n 项和为 知 3, ( )求 公比 q; ( )若 ,求 4.(2013 年湖北高考试题 )已知 前 n 项和 ,2,且 a2+a3+18. ( )求数列 通项公式 ; ( )是否存在正整数 n,使得 2013？若存在 ,求出符合条件的所有 n 的集合 ;若 不存在 ,说明理由 . 子题类型 :(2014 年 四川 高考试题 )设等差数列 公差为 d,点 (an,函数 f(x)=2n N*). ( )若 2,点 (函数 f(x)的图象上 ,求数列 前 n 项和 ( )若 ,函数 f(x)的图象在点 (a2,的切线在 x 轴上的截距为 2数列 的前 n. 解析 :( )由 点 (an,函数 f(x)=2 又等差数列 公差为 d 等比数列 公 比 为 2d;由点 (函数 f(x)的图象上 48a =2d=4 d=2 Sn=( )由 f(x)=2x f (x)=2f(x)的图象在点 (a2,的切线 :2a 022a 2 an=nn(21 )n -(n+2)(21 )n. 点评 :等差数列与等比数列的相互转换揭示了两个基本数列模型的本质联系 ,同时也是等差数列与等比数列一个绝妙的交汇点 ,自 然 是高考命 题的一个生长点 . 同 类 试题 : 5.(2011 年 课标 高考试题 )已知 等比 数列 ,1,公比 q=31. ( )前 n 项和 ,证明 :1 ( )设 bn= +数列 通项公式 . 6.(2006 年辽宁高考试题 )己知等差 数 列 前 n 项 和 为 Sn=q(p,q R),n N*. ( )求 q 的 值 ; ( )若 为 18, : 数 列 前 n 项 和 . 7.(2015 年 北京 高考试题 )已知等差数列 足 a1+0,. ( )求 通项公式 ; ( )设等比数列 足 b2=a3,b3= :第几项相等？ 8.(2014 年 湖北 高考试题 )已知等差数列 足 :,且 a1,a2, ( )求数列 通项公式 ; ( )记 前 n 项和 ,是否存在正整数 n,使得 0n+800？若存在 ,求 n 的最小值 ;若不存在 ,说明理由 ; 9.(2013 年 大纲 高考试题 )等差数列 前 n 项和为 3= 2,求 通项公式 . 10.(2013 年 福建 高考试题 )已知等差数列 公差 d=1.前 n 项和为 ( )若 1,a1,求 ( )若 S5 11.(2012 年重庆高考试题 )已知 等差数列 ,且 a1+,a2+2. ( )求数列 通项公式 ; ( )记 前 n 项和为 a1,k+2成等比数列 k 的值 . 12.(2011 年 四川 高考试题 )已知 以 a 为首项 ,q 为公比的等比数列 ,n 项和 . ( )当 求 q 的值 ; ( )当 求证 :对任意自然数 k,am+k、 an+k、 at+等差数列 . 13.(2007年 江 苏高考试题 )已知 等差数列 ,公比为 a1=b1,a2= 前 ( )若 bk=am(m,k 是大于 2 的正整数 ),求证 :( )若 b3=ai(i 是某一正整数 ),求证 :q 是整数 ,且数列 每一项都是数列 的项 ; ( )是否存在这样的正数 q,使等比数列 有三项成等差数列？若存在 ,写出一个 q 的值 ,并加以说明 ;若不存在 ,请说 2017 年课标高考 母题 备 战高考数学的一条捷径 443 明理由 . 14.(2015 年 江 苏高考试题 )设 a1,a2,a3,d(d 0)d 的等差数列 . ( )证明 :21a ,22a ,23a ,24a 依次成等比数列 ; ( )是否存在 a1,d,使得 a1,并说明理由 ; ( )是 否存在 a1,d,及正整数 n,k,使得 k,k,并说明理由 . 15.(2007 年山东高考试题 )设 公比大于 1 的等比 数 列 , 前 n 项 和 3=7,且 ,3a2, 构 成等差 数 .( )求 数 列 通 项 公式 ; ( )令 bn=,n=1,2,3, 求 数 列 前 n 项 和 16.(2005 年全国 高考试题 )己知 各 项 不同的正 数 的等差 数 列 , 列 ,又 bn=n=1,2,3, . ( )证 明 : 等比 数 列 ; ( )如果 数 列 3 项和等于247,求 数 列 首 项 d. ( )由 9 3 数列 公差 d=1 1(n+1); ( )由 b1=,b4= 数列 公比 q=2 ( )当 n=1 时 ,1=1;当 n 2 时 , 适合 ) ( )由 33 m=3 对任意 n1,都有 m N*,使得 a1,an, ( )由 2=2(0 a2+a3+ 21q=( )由 81-(n. ( )设 等比数列 公比 为 q,由 3=2(0 a4+a3+ 2q=由 a2+a3+18 (-2)( )由 2013 1-(-2)n 2013 (-2)n n 为奇数 ,且 2n 2012 n 为奇数 ,且 n 11 n n|n=2k+1,k5,k N. ( )由 1,公比 q=31 31)n,11-(31)n=21 ( )由 31)n n bn= +(1+2+ +n)=1( ( )1=q;当 n 2时 ,q)-p(-2(q=2 等差 数 列 ,所以 ,a1=q 一定适合通 项 公式 2q q=0; ( )由 等差中 项为 18 a1+6 26 8 58 p=4 4 16 前 n 项 和 =152(16 ( )由 等差数列 公差 d=2;由 a1+0 2a1+d=10 n+2; ( )由 b2=,b3=6 等比数列 公比 q=2, 28 第 63 项相等 . ( )设数列 公差为 d,由 (2+d)2=2(2+4d) d=0或 4 或 ( )当 时 ,n,显然 200 成立 ;当 ,0n+800 20n +800 n40,此时 存在正整数 n,使得 0n+800 成立 ,n 的最小值为 41. 444 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 设 公差为 d,由 S3=3a2=或 ;由 2, (4d)=(2 d=0或 d=2 或 ( )由 1或 ; ( )由 50(). ( )由 , n; ( )由 2(k+2)(k+3)=(2k)2 k=6. ( )由 4=2( a4=a3+q2=q+1 q=251; ( ) 若 q=1,则 an=a,Sn= m+t=2n am+k、 an+k、 at+ 若 q 1,则 an=n=1qa(1);由 qm+am+k、 an+k、 at+ 设 公差为 d,由 ,a1=b1,a2=d 0,q 1,d=(a1(0); (