3_8065021_3.抛物线上的三个特殊圆

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 265 中国 高考数学母题 (第 086 号 ) 抛物线上的三个特殊圆 抛物线 的焦点弦 是高考命题的一个生长点 ,由此开发的高考试题源源不断 ,其中 ,由 抛物线 的焦点弦 生成 的 抛物线上的 三个特殊圆又可以 生成的三类高考试题 . 母题结构 :己知 过抛物线 px(p0)焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、 B 两点 ,A、 B 在抛物线准线上的射影分别是 D、 C,则 : 以 直径 的圆与 直线 切于点 F; 若 直线 斜率为 k,则以 直径的圆 与 准线相切于点 M(且 M 是 中点 ; 以 直径的圆与 y 轴相切于点 S(0,2 以 直径的圆与 y 轴相切于点 T(0,2 母题 解 析 :设 A(2B(2由 F(2p,0),且 A、 F、 B 三点共线 (222 24=0; 由 中点 M(p(a+b) (a+b),而 1 | 2)(1 p= 2)(4 p=|p=21 | 以 直径 的圆与 直线 切于点 F; 设 中点 为 N,则 |21 (|=21(|=21|且 yM=p(a+b)=以 直径的圆与 准线相切于点 M(同理可证 . 角腰 为直径的圆 子题类型 :(1986 年上海高考试题 )过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、 B 两点 , 若 A、 B 在抛物线准线上的射影分别是 ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)1200 解析 :由以 B 相切于点 F C). 点评 :由抛物线焦点 弦 、 直角梯形 上、下底的和等于斜腰的长 ;直角梯形 中一个 几何性质 是 :以直角腰 直径的圆与斜腰相切于分界点 F. 同 类 试题 : 1.(1991 年 第二 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高二 )试题 )过 A(p,0)作抛物线 y2+px(p0)的与对称轴垂直的弦 为原点 ,则 ) (A)直角 (B)钝角 (C)锐角 (D)不确定 点弦 为直径的圆 子题类型 :(2013 年 全国 (大纲 )高考试题 )己知 抛物线 C:x 与 点 M(),过 点 且斜率为 k 的 直线与 C 相交于 A、 B 两点 ,若 0,则 k=( ) (A)21(B)22(C) 2 (D)2 解析 :由 0 点 ,且 点 物线 线 又 以 线相切于点 M(p=4) k=2(或由 21及 )D). 点评 :直角梯形 一个 几何性质 是 :以斜腰 ,由此可得 : 以此为基 础 可以构造许多绝妙试题 . 同 类 试题 : 266 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 2.(2010年全 国高中数学联赛贵州 初赛试题 )若抛物线 ,准线是 l,点 M(2,m)是抛物线上一点 ,则经过点 F, 个 . 半径 为直径的圆 子题类型 :(2013年 课 标 高考试题 )设抛物线 C:px(p0)的焦点为 F,点 上 ,| 过点 (0,2),则 C 的方程为 ( ) (A)x 或 x (B)x或 x (C)x 或 6x (D)x 或 6x 解析 :由 以 直径 与 y 轴相切于点 S(0,2由题知 ,2 xM=由 |=5p=5 p=2 或 C). 点评 :若点 物线 C:px(p0)上 ,则 |即 直角梯形 上、下底的和等于斜腰的长 ;直角梯形 角梯形 同 类 试题 : 3.(2006年全 国高中数学联赛江苏 初赛试题 )已知抛物线 是坐标原点 ,使得 则这样的点 P 共有 ( ) (A)0 个 (B)2个 (C)4 个 (D)6 个 4.(2011 年 山东 高考试题 )设 M(x0, 抛物线 C:y 上一点 ,F 为抛物线 C 的焦点 ,以 F 为圆心、 |半径的圆和抛物线 C 的准线相交 ,则 ) (A)(0,2) (B)0,2 (C)(2,+) (D)2,+) 5.(2011年全 国高中数学联赛 试题 A)直线 与抛物线 , 00,则点 . 6.(2011年全 国高中数学联赛江西 初赛试题 )以抛物线 y=(1,1)直角顶点 ,作抛物线的两个内接直角三角形 线段 的坐标为 . 7.(2012年全 国高中数学联赛陕西 初赛试题 )py(p0)上 ,且斜边 则斜边上的高 | . 由 y2+y= p P1(p,p),P2(p, 21 =0 A). 由 点 M(2,m)是抛物线上一点 m= 2,由抛物线的定义 ,圆的圆心是 垂直平分线与抛物线的交点 ,这样的交点有 4 个 . 00的有 2 个 ;以 直径的圆 无正根 B). 由 |4 C). 设 C(t), y1+,4 x1+8, ( 00 B =0 (0 x1+x2)t2+t4+y1+y2)t+4 (t+1)(0 (t+1)(t+3)(0.若 t) 点 C 在直线 上 ,与 A 或 B 重合 点C(1, (