3_8065033_2.几何概型与定积分

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 365 中国 高考数学母题 (第 117 号 ) 几何概型与定积分 定积分与几何概型的结合是因高考而产生的独特问题 ,是理科高考的特色试题 ;在此类问题中 ,定积分作为求面积的工具 ,起到关键性作用 . 母题结构 :(几何概型 )P(A)=构成事件 A 的区域面积与构成全部结果的区域面积的比值 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2015年 福建 高考试题 )如图 ,点 1,0),点 2,4),函数 f(x)=若在矩形 随机取一点 ,则此点取自阴影部分的概率等于 . 解析 :由 21 27 阴影部分面积 =45 P=125. 点评 :由 定积分求面积 的关键是 利用 定积分的几何意义 ,要注意 : 定积分的值与面积的关系 ; 会“能割善补” . 同 类 试题 : 1.(2010 年陕西高考试题 )从如图所示的长方形区域内任取一个点 M(x,y),则点 M 取自阴影部分的概率为 . 子题类型 :(2014 年福建高考试题 )如图 e(e 为自然对数的底数 )的正方形中随机撒一粒黄豆 ,则他落到阴影部分的概率为 . 解析 :(法一 )由 y= y= y=x 对称 阴影部分的面积为 2 10 )( x=2(10=2; 又边长为 e 的正方形的面积为 落到阴影部分的概率为22e; (法二 )阴影部分的面积为 2e (2 落到阴影部分的概率为22e. 点评 :由 定积分求面积 ,要充分利用图形的对称性 和周期性 等 ;本题由反函数的对称性得图形的对称性 ,给出两种解法 ,其中解法一中的原函数易求 . 同 类 试题 : 2.(2014 年辽宁高考试题 )正方形的四个顶点 A(1),B(1,C(1,1),D()分别在抛物线 y= y=如图所示 ,若将一个质点随机投入正方形 ,则质点落在阴影区域的概率是 . 函数 子题类型 :(2013 年全国高中数学联赛 广东 初赛 试题 )设 E 为正方形 B 的中点 ,分别在边 任取两点 P、 Q,则 锐角的概率为 . 解析 :设正方形边长为 1,AP=x,BQ=y,则 (= 1(0x, y) 所求概率为两直线 x=1,y=1及曲线 1所围成图形的面积与边长为 1的正方形的面积之比 =434141=43点评 :把相关条 件的概 率 问题转化为几何概 型问题 ,从而利用定积分求面积 解决之 ,是一种重要的 解题 方法 . 同 类 试题 : 3.(2015 年 湖北 高考试题 )在区间 0,1上随机取两个数 x,y,记 x+y21”的概率 ,1” 的概率 , 则 ( ) (A)221(B)1 (C)1 (D)211 366 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 4.(2012 年福建高考试题 )如图所示 ,在边长为 1 的正方形 任取一点 P,则点 P 恰好取自阴 影部分的概率为 ( ) (A)41(B)51(C)61(D)715.(2012 年湖南高考试题 )函数 f(x)= x+ )的导函数 y=f (x)的图像如图所示 ,其中 ,A,C 为图像与 若在曲线段 则该点在 的概率为 . 6.(2010 年课标高考试题 )设 y=f(x)为区间 0,1上的连续函数 ,且恒有 0 f(x) 1,可以用随机模拟方法近似计算积分10 )( 先产生两组 (每组 区间 0,1上的均匀随机数 x1, ,y1, ,此得到 x1,i=1,2, , N),再数出其中满足 f(i=1,2, ,N)的点数 么由随机模拟方法可得积分 10 )( . 由 长方形区域的面积为 3,阴影部分部分的面积 =10 23 0=1 点 M 取自阴影部分部分的概率 =31. 由 正方形 面积为 4,阴影部分的面积 =4(1-10 238 质点落在阴影区域的概率 =32. 由 1,1+121211+221,1+D). 由 正方形 面积为 1,阴影部分的面积 = 10 )( 1 点 P 取自阴影部分的概率 =C). 由 f(x)= x+ ) f (x)= x+ ) B 到 x 轴的距离 = ;由图知 ,|2T= 1| =2;由 f (x)是最小正周 T