3_8064996_1.古典概型与经典模型

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 511 中国 高考数学母题 (第 154 号 ) 古典概型与经典 模 型 概率理论是高中数学中相对独立的模块 ,具有独特的分析解决问题的模型方法 ,其中 ,取球模型和分球入盒模型是人们从大量的随机现象中筛选出来的理想化的经典概率模型 . 母题结构 :( )(取球模型 )一个袋中共有 m+其中有 从中一次任取出 + ( , N, m, n)个 ,则所取出的球恰有个白球和个 黑球的概率 = 从中每次取出一个球 ,取后不放回 ,共取 +( , N, m, n)次 ,则 所取出的球恰有个白球和个黑球的概率 = 从中每次取出一个球 ,取后放回 ,共取 + ( , N, m, n)次 ,则 所取出的球恰有个白球和个黑球的概率 = ( ( ; ( )(分球入盒 )把 n 个球以同样的概率分配到 m(n m)个盒子中的每一个中去 ;则 :某指定 n 个盒子中各有一球 的概率=恰有 其中各有一球 的概率 =某指定盒子中恰有 k(k n)个球 的概率 = )1( ;某指定盒不空 (其它盒不管空不空 )的概率 = )1(1 . ( )(模型建立 )把什么看成一个基本事件 (试验结果 )是人为的规定 ,对于同一个试验 ,可以建立不同的 概率模型 (样本空间 ),建立的样本 空间的基本事件数越少解题就越易 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2004 年天津高考试题 )从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛 . ( )求所选 3人都是男生的概率 ; ( )求所选 3人中恰有 1名女生的概率 ; ( )求所选 3人中至少有 1名女生的概率 . 解析 :( )P=36341;( )P=3624123;( )P=3614222412C =54或 P=14. 点评 :取球模型是古典概型中的一类最基本模型 ,取球模型 包含了 古典概型 的 三 类 基 本 问题 :古典 概率 中很多问题常常可以归结为此 模型 问题来解决 . 同 类 试题 : 1.(2000 年 课程 高考试题 )甲、乙二人参加普法知识竞答 ,共有 10 个不同的题目 ,其中选择题 6 个 ,判断题 4 个 二人依次各抽一题 . ( )甲抽到选择 题、乙抽到判断题的概率是多少？ ( )甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？ 2.(2005年浙江高考试题 )袋子 中装有若干个均匀的红球和白球 ,从 p.( )从 每次摸出一个 ,共摸 5次 .求恰好 有 3次摸到红球的概率 ;第一次、第三次、第五次均摸到红球的概率 ; ( )若 A、 B 两个袋子中的球数之比为 1:2,将 A、 B 中的球装在一起后 ,从中摸出一个红球的概率是52,求 p 的值 . 子题类型 :(2011 年重庆高考试题 )某市公租房的房源位于 A、 B、 C 三个片区 且申请其中任一个片区的房源是 等 可能的 位申请人中 : ( )没有人申请 A 片区房源的概率 ;( )每个片区的房源都有人申请的概率 . 512 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 解析 :由 所 有的可能申请方式有 34种 ;( )没有人申请 A 片区房源的申请方式有 24种 概率 P=4432=8115;( )每个片区的房源都有人申请 ” 的申请方式有 概率 P=4332434. 点评 :分球入盒 的概率模型 是古典概型的一个 重要 的数学模型 ,可用以描述许多直观背景 很不相同的 古典概型 ,用它可以解决一类 貌异质同的 古典概型 问题 . 同 类 试题 : 3.(2004 年浙江高考试题 )某地区有 5 个工厂 ,由于用电紧缺 ,规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电 (选哪一天是等可能的 )( )求 5 个工厂均选择星期日停电的概率 ; ( )求至少有两个工厂选择同一天停电的概率 . 4.(2007年北京高考试题 )某 条公共汽车线路沿线共有 11个车站 (包括起点站和终点站 ),在起点站开出的一辆公共汽车上有 6 位乘客 ,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的 ( )这 6 位乘客在 互 不相同的车站下车的概率 ; ( )这 6位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率 . 子题类型 :(2007 年 安徽 高考试题 )在医学生物学试验中 ,经常以果蝇作为试验对象 只果蝇的笼子里 ,不慎混入了两只苍蝇 (此时笼内共有 8只蝇子 (6只果蝇和 2只苍蝇 ),只好把笼子打开一个小孔 ,让蝇子一只一只地往外飞 ,直到两只苍蝇都飞出 ,再关闭小孔 . ( )求笼内 恰好剩下 1 只果蝇的概率 ;( )求笼内 至少剩下 5只果蝇的概率 . 解析 :(排列模 型 )( )(法 一 )笼内 恰好剩下 1只果蝇 第 7只飞出的蝇子是苍蝇 ,且 在飞出的前 6只蝇子中有 1只是苍蝇 P=7866561243;(法 二 )笼内 恰好剩下 1 只果蝇 第 7 只飞出的蝇子是苍蝇 ,且 第 8 只是 果蝇 P=28161243; ( )(法 一 )笼 内 至少剩下 5 只果蝇 笼内 恰 剩下 5 只果蝇 或 笼内 恰 剩下 6 只果蝇 概率 P=6856128661283; (法 二 )笼内 至少剩下 5 只果蝇 2 只是苍蝇 在 前 3 只飞出 概率 P=38331683. (组合模 型 )以 k 只果蝇的事件 (k=0,1, ,6),以 k 只果蝇的事件 (k=0,1, ,6);当事件 第 8飞出的蝇子是苍蝇 ,且在前 7飞出的蝇子中有 1 只是苍蝇 P(2817287 k;( )P(2817= 143;( )P(P(P(2857+2867=283. 点评 :建立 古典 概率模型 必须 满足古典概型的二个基本特点 : 试验的所有可能结果 (即基本事件 )只有有限个 ,每次试验只出现其中的一个结果 ; 每一个结果出现的可能性相同 ;古典 概率模型 包括 组合模型和排列模型 . 同 类 试题 : 5.(2006 年安徽高考试题 )在添加剂的搭配使用中 ,为了找到最佳的搭配方案 ,需要对各种不同的搭配方式作比 较 需要选用两种不同的添加剂 ,1,2,3,4,5 的六种添加剂可供选用 通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验 . ( )求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4 的概率 ; ( )求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于 3 的概率 . 6.(2018 年安徽高考试题 )在某次普通话测试中 ,为测试汉字发音水平 ,设置了 10 张卡片 ,每张卡片印有一个汉字的拼音 ,其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“ g” . ( )现对三位被测试者先后进行测试 ,第一位被测试 者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张 ,测试后放回 ,余下 2 位的测试 ,也按同样的方法进行 拼音都带有后鼻音“ g”的概率 . ( )若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张 ,求这三张卡片上 ,拼音带有后鼻音“ g”的卡片不少于 2 张的概率 . 2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 513 7.(2006 年浙江高考试题 )甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球 ,甲袋装有 2 个红球 ,2 个白球 ;乙袋装有 2 个红球 ;n 个 白球 乙两袋中各任取 2 个球 . ( )若 n=3,求取到的 4 个球全是红球的概率 ; ( )若取到的 4 个球中至少有 2 个红球的概率为43,求 n. 8.(2005 年湖南高考试题 )某单位组织 4 个部门的职工旅 游 ,规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界 3 个景区中任选一个 ,假设各部门选择每个景区是等可能的 . ( )求 3 个景区都有部门选择的概率 ; ( )求恰有 2 个景区有部门选择的概率 . 9.(2009 年重庆 高考试题 )在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中 ，每个单位的节目集中安排在一起 序号为 1,2, ,6) ( )甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率 ; ( )甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率 . 10.(2008 年 陕西 高考试题 )一个口袋中装有大小相同的 2 个红球 ,3 个黑球和 4 个白球 ,从口袋中一次摸出一个球 ,摸出的球不再放回 .( )连续摸球 2 次 ,求第一次摸出黑球 ,第二次摸出白球的概率 ; ( )如果摸出红球 ,则停止摸球 ,求摸球次数不超过 3 次的概率 . 11.(2004 年全国 高考试题 )已知 8 个球队中有 3 个弱队 ,以抽签方式将这 8 个球队分为 A、 B 两组 ,每组 4 个 ( )A、 B 两组中有一组恰有两个弱队的概率 ; ( )A 组中至少有两个弱队的概率 . 12.(2012 年 江 西 高考试题 )如图 ,从 ,0,0),0,0),1,0),2,0),0,1), ,0,2)这 6 个点中随机选取 3 个点 . ( )求 这 3 点与原点 O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率 ; ( )求 这 3 点与原点 O 共面的概率 . ( )记 “ 甲抽到选择题 ,乙抽到判断题 ” 为事件 A,则 P(A)=21046A=154; ( )记 “ 甲、乙两人都抽到判断题 ” 为事件 B,则 P(B)=2102452 至少有一人抽到选择题的概率 P=1)=1513. ( )从 A 中有放回地摸球 ,每次摸出一个的概率是31; P=1)3(1=24340; P=(31)3=271; ( )设袋子 A 中有 m 个球 ,则袋子 B 中有 2m 个球 ,由 =52 P=3013. 由 5 个工厂在一周内必须选择某一天停电 的 情况有 75种 ;()5 个工厂均选择星期日停电的 情况计有 1 种 P= 571;( )设 “ 至少有两个工厂选择同一天停电 ” 的事件为 M,则 事件 M :“ 5 个工厂选择的停电时间各不相同 ” P(M )= 5557A=2401360 P(M)=1 )=24012041. ( )这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率 P=661010A= )这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率P=6336109C=设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于 4”的事件为 A,“所选用的两种不同的添加剂的芳 香度之和不小于 3”的事件为 B;六种添加剂中选取两种 有 5 种 ; ( )芳香度之和等于 4的取法有 2种 :0,4,1,3 P(A)=152;( )芳香度之和等于 1的取法有 1种 :0,1,芳香度之和等于 2 的取法有 1 种 :0,2 P(B)=1513. 514 备战 高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 ( )每次测试 中 ,被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上， ,音带有后鼻音“ g”的概率为103,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的 ,因而所求的概率为 (103)3=( )设 Ai(i=1,2,3)表示所抽取的 三张卡片中 ,恰有 i 张卡片 带有后鼻音“ g” 的事件 ,则 P(310172307,P(31007331201 所求概率 =P(P(6011. ( )P=242252201;( )(法一 )由242222412122121422222 2422212141212222 2422222=43 n=2;(法 二 )由 1222221213 n=2. 某单位的 4个部门选择 3个景区可能出现的结 果数为 34;( )3个景区都有部门选择可能出现的结果数为 4个部门中任选 2个作为 1组 ,另外 2个部门各作为 1组 ,共 3组 ,共有 每组选择不同的景区 33种选法 ) P=4332434;( )由 事件 A“恰有 2 个景区有部门选择”的 对立 事件 A “ 4 个部门都选择同一个景区 或 3 个景区 都 有部门选择” ,且 P(A )=433+94=2713 P(A)=1 )=2714. 考虑甲、乙两个单位的排列 ,甲、乙两单位可能排列在 6个位置中的任两个 ,有 0 种等可能的结果 ; ( )甲、乙的演出序号均为偶数包含的结果有 种 概率 P=306=51; ( )设 M“甲、乙两单位的演出序号不相邻” ,则 M :“ 甲、乙两单位序号相邻 ” P(M )=30522A=31 P(M)=1 )=32. ( )从袋中依次摸出 2个球共有 第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 概率 P=2914131; ( )第一次摸出红球的概率 =1912一次 不 摸出红球 ,且 第二次摸出红球的概率 =291217一 、 二次 不 摸出红球 ,且 第三次摸出红球的概率 =391