3_8065034_1.古典概型与计数方法

2017 年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 363 中国 高考数学母题 (第 116 号 ) 古典概型与计数 模型 解决古典概型的关键是计数 ,计数又与所建立的计数与概率模型相关 ;通过建立概率模型 ,利用计数方法求概率 ,是解决古典概型问题的一般方法 . 母题结构 :古典概型 相关 的计数模型 有 :组合模型、排列模型和容斥模型 . 母题 解 析 :略 . 子题类型 :(2012 年 广东 高考试题 )从个位数与十位数之和为奇数的两位数中 任取一个 ,其个位数为 0 的概率是 ( ) (A)94(B)31(C)92(D)91解析 :由 个位数与十位数之和为奇数 个位数与十位数必为一奇一偶 : 当个位数为 奇数时 ,十位数为偶数 (0 不在 十位 上 ) 这 样 的两位数 有 0个 ; 当个位数为偶数时 ,十位数为奇数 这 样 的两位数 有 5个 这 样 的两位数共 有 20+25=45 个 ,其 中 个位数 为 0 的 有 个 P=455=D). 点评 :求 古典概型 概率 的关键 是求样本空间 和待求事件 基本 事件 的个数 | |和 |A|,因此 ,计数思想 ,尤其 是利用排列 、 组合方法进行计数 ,是解决古典概型的常用方法 ;其中 ,建立组合模型 ,利用 组合方法 计数求概率 是 重要 方法 之一 . 同 类 试题 : 1.(2000 年 上海 高考试题 )有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各 3 面 ,在每种颜色的 3 面旗帜上分别标上号码 1、 2 和 面 ,它们的颜色与号码均不相同的概率是 . 2.(2006 年 江西 高考试题 )将 7个人 (含甲、乙 )分成三个组 ,一组 3 人 ,另两组各 2 人 ,不同的分组数为 a,甲 、乙分在同一组的概率为 P,则 a、 P 的值分别为 ( ) (A)a=105,P=125(B)a=105,P=214(C)a=210,P=215(D)a=210,P=子题类型 :(1996 年 上海 高考试题 )有 8本互不相同的书 ,其中数学书 3本 ,外文书 2本 ,其它书 3本 ,若将这些书随机地排成一 列放在书架上 ,则数学书恰好排在一起 ,外文书也恰好排在一起的概率为 (结果用分数表示 ). 解析 :把 3 本 数学书 、 2 本 外文书 进 行捆绑后 ,与 其它书 3 本 一起 排列 ,有 又因 3 本 数学书 之间 有 2 本 外文书 之间 有 P=8855223381. 点评 :计数 问题一 般可分为排列与组合 两类 ,因此 ,排列 模型 与组合 模型是古典概型的 两个最基 本 的模型 ;其中 排列 模型 中常见问题有 :相邻 问题 、相 离 问题 和 逐次 不 放回抽取问题 . 同 类 试题 : 3.(2013 年 山东 春招 试题 )将卷号为 1 至 4 的四卷文集按任意顺序排放在书架的同一层上 ,则自左到右卷号顺序恰为1,2,3,4 的概率等于 ( ) (A)81(B)121(C)161(D)2414.(2011 年 浙江 高考试题 )(理 )有 5 本不同的书 ,其中语文书 2本 ,数学书 2 本 ,物理书 1 本 取并摆放在 书架的同一 层上 ,则同一科目 的书 都不 相邻的概率 是 ( ) (A)51(B)52(C)53(D)子题类型 :(2004年全国高中数学联 赛山东 初赛试题 )将红、黄、蓝、白、黑 5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里 ,每个盒子里放且只放 1个小球 . 364 备战高考数学的一条捷径 2017 年课标高考 母题 解析 :设集合 U=5个球 放入 5个盒子内的放法 ,A=红球在红盒内的放法 ,B=黄球在黄盒内的放法 ,则 |U|=5！ ,|A|= |B|=4！ ,|A B|=3！ 红球不在红盒 内且黄球不在黄盒内的放法 数 | B)|=|A|+|B|-|A B|=78 P=!578=2013. 点评 :利 用 容斥原理 进 行 计数 ,解决古典 概型的问题模型 ,我 们称之为 容斥 模型 ;容斥 模型 按所涉及的 集合个数 ,可分为二阶 容斥 模型 、 三 阶 容斥 模型 和 多 阶 容斥 模型 . 同 类 试题 : 5.(2009年全国高中联赛贵州 初赛试题 )某文娱队的每位队员至少会唱歌、跳舞中的一项 ,该文娱队共有 已知其 中会唱歌的有 2人 ,会跳舞的有 5人 人 ,设 为选出的 2人中既会唱歌又会跳舞的人数 ,且 P( 0)=107,n= . 6.(2008 年全国高中数学联赛河北 初赛试题 )从 m 个男生 ,10 mn 4)中任选 2个 人当组长 ,假设 事件 A 表示选出的 2 个人性别相同 ,事件 B 表示选出的 2 个人性别不同 的概率和 B 的概率相等 ,则 (m,n)的可能值为 . 7.(2009 年 重庆 高考试题 )12 个篮球队中有 3 个强队 ,将这 12 个队任意分成 3 个组 (每组 4 个队 ),则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为 ( ) (A)551(B)553(C)41(D)318.(2014 年 山东 春招 试题 )从 5张不同的扑克牌中 ,每次任取一张 ,有放回地取两次 ,则两次取得同一张牌的概率是 . 9.(2006年全国高中数学联赛吉林 初赛试题 )在 6个产品中有 4个正品、 2个次品 个作检查 (检查完后不再放回 ),直到 2个次品都找到为止 次检查恰好将 2个次品全部找到的概率是 ( ) (A)151(B)152(C)51(D)15410.(2008 年全国高中数学联赛湖北 初赛试题 )有六张分别写有数字 1,2,3,4,5,6 的卡片 ,每次从中抽取一张 ,记下上面的 数字 ,然后放回 次 ,则抽到的最大数与最小数的差等于 5 的概率为 _. P=3911121341. 故选 (A). P=441A=D). 故选 (B). 设 |U|=n,|A|=2,|B|=5,U=A B,由 |A B|=|A|+|B|-|A B| |A B|=72;若 n=6,则 |A B|=1 P( 0)=26151107;若 n=5,则 |A B|=2 P( 0)=25131252207.故 n=5. 由 P(A)=P(B)222 = 211 (=m+n,即 m+n 是完全平方数 ,且 9 m+n 19 (m,n)=(10,6). 将 12 个队分成 4 个组的分法有334448412 个强队恰好被分在同一组分法有22444819P=553 B). 共 25 种情况 ,其中两两相同的有 5 种 P=255=51. 经过 4次检查恰好将 2个次品全部找到 第 4次抽取的是次品 ,且前 3次中 恰有一次抽取的是次品 6个产品 抽取 4个的排列数 =中满足条件的排列数 =从 2个次品中选一个排在第 4位 ,再把另一个次品排在前三位中 ,最后从个正品中选个排在余下 2 位 )