1_6354455_2.一个恒等式.解决一类题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 一个恒等式 椭圆中 积 的 相关结论 由恒等式 :(a2+x2+(ax+(,不仅可得 二维 柯西不等式 :(a2+x2+ (ax+,而且可以巧妙解 决椭圆中一类与三角形面积相关的试题 . 母题结构 :己知 点 A(x1,B(x2,椭圆 C:222(ab0)上两点 ,若 ,则 (22121+224. 母题 解 析 :由 点 A(x1,B(x2, 椭圆 C:222上 22121,22222 1=(2212122222(22121+(=(22121+221ba(,又由 S=21| (22121+224. 关结论 子题类型 :(2015 年上海高考 文 科 试题 )已知椭圆 ,过原点的两条直线 、 B 和 C、D,记 面积为 S. ( )设 A(x1,C(x2,用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 并证明 S=21| ( )设 l1:y=(33,33),S=31,求 ( )设 m,求 m 的值 ,使得无论 面积 S 保持不变 . 解析 :( )由 A(x1, 直线 l1:y=11xy x,即 点 C 到直线 d=2121 2121|=2121 1221|;由 | 2121 S=21 |AB|d=21 | ( )将 y=入 得 A(2211k,221 S=21|33221 332211k|=31 k= ( )设 A(x1,C(x2,则 221122m,由 (+8 (1+2m)2,所以 ,面积 S 保持不变 (1+2m)2=0 m=点评 :在母 题条 件 下 ,由 (22121+224 易 得 :当且仅当 22S 取得最大值21 S 为定值 ,下同 ); 当且仅当 ,S 取得最大值21 当且仅当原点 O 到直线 距离 d=22 ,S 取得最大值21当且仅当直线 x2+222ba 切时 ,当且仅当22 | 1| 1 =22 11 时 ,当且仅当直线 x+=0 满足 :2=(22 11 )S 取得最大值21 论 引伸 子题类型 :(2011年山东高考试题 )已知直线 :32x+22y=1交于 P(x1,Q(x2,不同点 ,且 面积 S26,其中 O 为坐标原点 . ( )证明 : ( )设线段 中点为 M,求 |最大值 ; ( )椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 SSS26？若存在 ,判断 形 状 ;若不存在 ,请说明理由 . 解析 :( )由 (32121+64132121;又由321x+221y=1,322x+222y=142221111- 3 2221 +92221 3 2221 2221321213210 (2221 )=2; ( )由 |+|=(5 (2|2+|=2(|+|)=10;又 2(2| (2|2+|=10 |25 |最大值 =25; ( )若 S26,则 SS26 E 盾 ,故不 存在点 D,E,G,满足条件 . 点评 :本题可 引伸 为 :在母 题条 件 下 ,当 ,则 : |+|=a2+弦的中点关系 子题类型 :(2013年山东高考试题 )在平面直角 坐标系 已知椭圆 ,焦点在 短轴长为2,离心率为22. ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )A,上满足 射线 与点 P,设 求实数 t 的值 . 解析 :( )设椭圆 C:222(ab0),由 2b=2,e=22122 a= 2 ,b=1 椭圆 C:22x+; ( )设 A(x1,B(x2,则 E(2 21 2 21 ),由 P(2 21 xxt,2 21 t),由 点 圆 2221 )( 42t+2221 )(42t=1 (22121(222222(2212124t221212由 (22121+2241 (22+224;在本题中 ,由 ,S=46得 :(22+43=1 t=2 或332. 点评 :在母 题条 件 下 ,射线 与点 P,且 则 :(22+224. 1.(2015 年上海高考 理科 试题 )已知椭圆 ,过原点的两条直线 、 B 和 C、 D,记得到的平行四边形 面积为 S. ( )设 A(x1,C(x2,用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 并证明 S=2| ( )设 21,求面积 S 的值 . 2.(2007 年 陕西 高考试 题 )已知椭圆 C:222(ab0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 . ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点 ,坐标原点 O 到直线 积的最大值 . 3.(2015 届天津河 西 区 高 三下学期质检 试 题 )已知 点 A(0,椭圆 E:222(ab0)的离心率为23,F 是 椭圆 E 的右焦点 ,直线 斜率为332,O 为 坐标原点 . ( )求 E 的方程 ; ( )设 过点 A 的动直线 l 与 于 P、 Q 两点 ,当 面积最大 时 ,求 l 的方程 ; 4.(2014 年 衡水中学高考压轴 试 题 )已知椭圆 C:222(ab0)的离心率 e=21,椭圆 上一点到点 Q(1,0)距离的 最大值为 3. ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )A,B 为 椭圆 上的两动点 , 面积 为 3 ,M 为 点 ,判断 |+4|是否为定值 ,并求 |最大值 . ( )由 A(x1, 直线 l1:y=11xy x,即 点 d=2121 2121|=2121 1221|;由 |2| 2 2121 S=|AB|d=2| ( )设 A(x1,C(x2,则 直线 221122 S=22 . ( )由 e=22136,a= 3 b=1 椭圆 C:32x+; ( )因为当且仅当原点 O 到直线 距离 d=22 23时 ,S 取得最大值213. ( )E:42x+; ( )设 直线 l:,则 当且 仅当直线 l 满足 :=(41+1)(时 ,S 取得最大值21 2 1