1_6354469_12.“鳖臑”在高考中的“闹腾”

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 “鳖 臑 ”在高考中的“闹腾” 一 体多变 在 九章算术中 ,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 ,鳖臑 具有丰富的位置和度量关系 ,频繁的出现在高考中 ,是生成高考试题的一个母体 . 母题结构 :( )(基本条 件 )四面体 四个面都为直角三角 形 两互相垂直 平 面 平面 平面 平面 平面 平面 平面 四面体 置于长方体 . ( )(截面位置 )在 四面体 两互相垂直 ,且 ,则 D 二面角平面角 四面体 ( )(成角关系 )在 四面体 两互相垂直 ,若 , , , , ,则 : 解 题 程序 :( )略 ;( )由 平面 由 平面 以 , 平面 二面角 平面角 四面体 四个面都为直角三角形 ; ( )设 BC=a,CA=b,PA=c,则 22 22222 ,22 222 正确 ; 由 子题类型 :(2014 年 福建 高考 理科 试题 )在平面四边形 ,D=,D 起 ,使得平面 面 图 . ( )求证 : ( )若 D 中点 ,求直线 平面 成角的正弦值 . 解析 :( )由 平面 面 面 ( )将四面体 放置到正方体中 ,作 面 H,则 H 是正 中心 ,在 ,且 线 由 2,6 16 3 6. 点评 :鳖 臑 中六种等价的位置关系是高考的一个命题点 ,而把鳖 臑 放置于长方体中是研究鳖 臑 的有力手段 . 子题类型 :(2009 年 北京 高考试题 )如图 ,在三棱锥 ,底面 A= 00, 00,点 D,E 分别在棱 C 上 ,且 ( )求证 :平面 ( )当 B 的中点时 ,求 平面 成的角的大小 ; ( )是否存在点 E 使得二面角 直二面角？并说明理由 . 解析 :( )由 底面 平面 )当 1 42;( )当 二面角 点评 :过 顶点 A 作 鳖 臑 的 截面 仅是构造问 题 的需要 ,也是 研究鳖 臑 中 的 线面角和二面角的绝妙方法 . 子题类型 :(2013 年 浙 江 高考试题 )如图 ,在四面体 A ,面 CD=2, 2 中点 ,P 是 中点 ,点 Q 在线段 ,且 ( )证明 :面 ( )若二面角 C 的大小为 600,求 大小 . 解析 :( )取 中点 O,在线段 取点 F,使得 接 F, 1 O,D,中点 1 1 Q 面 ( )作 ,作 G,则 M 设 ,则 2 2 2 2 2 2 在 ,322 3 =600 00. 点评 :鳖 臑 中具有空间中的所有成角 ,其中 ,求二面角 为典型 ,可通过作出其平面角 决 . 1.(2002 年北京春招试题 )在三棱锥 ,00,13 ,29 . ( )证明 :C; ( )求侧面 底面 成的二面角大小 ; ( )(文 )求三棱锥的体积 (理 )求异面直线 成的角的大小 (用反三角函数表示 ). 2.(2014 年 福建 高考 文科 试题 )如图 ,三棱锥 ,面 D ( )求证 :面 ( )若 D=,M 为 点 ,求三棱锥 体积 . 3.(1990年 全国 高考试题 )如图 ,在三棱锥 面 B C,且分别交 、 A=B=以 4.(2005 年 广 东 高考试题 )如图 所示 ,在四面体 ,已知 C=6,B=10, , 34 线段 一点 ,715 34,点 E 在线段 ,且 ( )证明 :面 ( )求二面角 大小 . ( )由 A 平面 由 平面 C; ( )因 由 ,13 ,29 17 3 00; ( )(文 )1392;(理 )把 三棱锥 如图 : 则 面直线 由 417. ( )由 面 由 面 )V=121. 由 C,且