1_6354477_14.使用柯西不等式取等条件解题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 使用柯西不等式取等条件解题 解决 函数不等式 问题 的 一个技 法 柯西不等式等号成立的条件具有潜在的 解题 功能 ,它对于很多等式求值、等式证明 和解方程 组 等问题起着四两拔千斤的作用 ,有化难为易、化繁为简、一招制胜之奇效 . 母题结构 :(柯西不等式的 取 等条件 )当 ai,R(i=1,2, ,n)时 ,( + +( + a1:b1=a2: =an:母题 解 析 :当 + 时 ,等式显然成立 ;当 +0 时 ,令 f(x)=( + + x+( +则 f(x)=(+(+ +(,所以 ,( + +( + f(x)=(+(+ +(=0 有等根 (i=1,2, ,n) a1:b1=a2: =an:子题类型 :(2014 年 辽宁 高考试题 )对于 c0,当非零实数 a,使 |2a+b|最大时 , . 解析 :由 44c=(+(415b)2;由 22+(156)2(+(415b)2 2(156 (415b)2= |2a+b|2,等号成立时 :(415b=2:156 a=23 b,c=102211(最小值为 点评 :本题开创了利用柯西不等式 的取等条件 ,构造某式最值问题新的命题方法 . 于三角等式 子题类型 :(2008 年 浙江 高考试题 )若 2- 5 ,则 ( ) (A)21(B)2 (C)解析 :由 2- 5 (12+22)(=(22 1:2 B). 点评 :立意于三角等式 :1,并利用柯西不等式的取等条件 ,可构造绝妙的三角求值等问题 . 子题类型 :(2012 年 湖北 高考试题 )设 a,b,c,x,y,z 是正数 ,且 a2+b2+0,x2+y2+0,ax+by+0,则 = ( ) (A)41(B)31(C)21(D)43解析 :由 a2+b2+0,x2+y2+0,ax+by+0 (a2+b2+x2+y2+(ax+by+ a:b:c=x:y:z,设 k=xa=yb=k=2 =k=222 =C). 点评 :专注于三元柯西不等式的取等条件 :(a2+b2+x2+y2+(ax+by+ a:b:c=x:y:z,可构造三元方程等问题 . 1.(2012 年 辽 宁 高考试 题 )已知 2 , (0, ),则 ( ) (A) (B)22(D)1 2 (2007 年全国高中数学联赛河南 预赛 试 题 )已知 72425,则 ( ) (A)43(B)34(C)724(D)2473.(1996 年香港国际 数学 奥林匹克试 题 )已知 ,为锐角 ,且2424,求证 : + =2. 4.(1992 年安徽省奥林匹克学校招生试题 )已知 a,b0,a4b4,求证 :38383)( 1 5.(2006年全国高中数学联赛 浙江 预赛 试 题 )设 a,x R,若24x+24x=221,则20062008x+20062008x= . 6.(第 2 届美国数学奥林匹克试题 )解方程组333333222 7.(1992 年“友谊杯”国际数学邀请 试题 )已知 a,b,c,x,y,z R*,a2+b2+5,x2+y2+6,ax+by+0,求 的值 . 8.(2008 年同济大学自主招生试题 )求满足方程组392468 49222x、 y、 z 的值 . 9.(2013 年 湖北 高考试题 )设 x,y,z R,且满足 :x2+y2+,x+2y+3z= 14 ,则 x+y+z= . 10.(1992 年“友谊杯”国际数学邀请 试题 )解方程组 82315294 1332 222 由 2 12+(=(2 1:( A). 由 72425 (72+242)(=(7242 7:D). 由2424 (2424(2 1 + =2. 由a4b4 (a+b)(a4b4(2 a : b =a2b2 a2 b2设 k=a2b2k= 22 ,383834)(4)(a+b)( 1 由24x+24x=221 (a2+24x+24x)=( a:b= 22x=22x;设 k= 22x=22x k=2222 =221,20062008x+20062008x=200610042)(00610042)(a2+b2)00322 )( 1. 由 (12+12+12)(x2+y2+(x+y+z)2 x:y:z=1:1:1 x=y=z=1. 由 a2+b2+5,x2+y2+6,ax+by+0 (a2+b2+x2+y2+(ax+by+ a:b:c=x:y:z,设 k=xa=yb=k= 2 =k=222 =65. 由 (+62+(x2+y2+( x:y;z=(6:( x=y=3817,z=由 (12+22+32)(x2+y2+(x+2y+3z)2 x:y;z=1:2:3 x=1414,y=21414,z=31414 x+y+z=7143. 由 两式相加得 :(