1_6354497_8.以函数f(x)=lnx÷x为背景的高考试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001号 ) 以函数 f(x)=一类 高考试 题 的 母题 函数 f(x)=它是构成一类高考试题 ,甚至 是 压轴题的原型函数 ;为有利于把握由该函数生成高考试题的方向 ,我们以母题 方 式归纳 给出 其性质如下 : 母题结构 :己知函数 f(x)= : 单调性质 :f(x)在区间 (0,e)上为增函数 ,在区间 (e, + )上为减 函数 ,f(x)有唯一零点 x=1,x)=f(e)= 凸凹性质 :f(x)在区间 (0,上为 凸 函数 ,在区间 (+ )上为 凹 函数 ,当 (0,e)时 ,若 曲线 C:y=f(x)在点 x=y=kx+m,则 f(x) kx+m,当且仅当 x=等号 成立 ; 零点性质 :f(x)=a 有 一 个实根 a (- ,0 f(x)=a 有两个实根 a (0, 解 题 程序 : 由 f(x)= f(x)=2x f(x)在 (0,e)内 递增 ,在 (e,+ )内 递减 x)=f(e)=又 f(1)=0,且当 x1 时 ,f(x)= f(x)有唯一零点 x=1; 由 f (x)=2x f (x)=3 3 f (x)在 (0,内 递减 ,在(+ )内 递增 f(x)在区间 (0,上为 凸 函数 ,在区间 (+ )上为 凹 函数 ;由 切线 :y=20 0x xx+01x ,令 g(x)= 20 0x xx+01x -f(x)= 200x xx+01x - 则 g (x)= 200x xx(当 x (0,e)时 ,f (x)在 (0,e)内 递减 ) 当 0 ,g (x)0 g(x)在 (0, 递增 x)=g(0 g(x) 0 f(x) kx+m,当且仅当 x=等号 成立 ;由 f(x)的性质 ,易知 正确 . 子题类型 :(2014年 湖北 高考试题 ) 为圆周率 ,e=为自然对数的底数 . ( )求函数 f(x)= ( )求 e, e,3 , 3这 6 个数中的最大数与最小数 . 解析 :( )f(x)的定义域为 (0,+ );由 f(x)= f(x)=2x f(x)在 (0,e)内 递增 ,在 (e,+ )内 递减 ; ( )由 f(x)在 (e,+ )内 递减 及 3e f( )最大数 是 3 ;由 3 e3e 最小数 是 3e. 点评 :本题的着力点是比较 3与 3 ,3e与 e与 大小 ,一般地 ,比较 可以由函数 f(x)=调性解决 . 子题类型 :(2013年 北京 高考试题 )设 l 为曲线 C:y=1,0)处的切线 . ( )求 l 的方程 ; ( )证明 :除切点 (1,0)之外 ,曲线 C 在直线 l 的下方 . 解析 :( )由 y= y=2x y |x=1=1 l 的方程 :y=( )令 f(x)=x0),则 f (x)=1x=22 ;由 h(x)=区间 (0,+ )上 递增 ,且 h(1)=0 当 0 1 时 ,h(x)0 f (x)0 f(x)在区间 (1,+ )上 递增 x)=f(1)=0 f(x) 0 且仅当 x=1 时 ,等号成立 ,即 除切点 (1,0)之外 ,曲线 C 在直线 l 的下方 . 点评 :本题的 第 ( )问具有显然的 f(x)= 函数的背景 ,由 f(x)是 凸 函数可以生成许 多 不等式 (包括不等式恒成立 )问题 . 子题类型 :(2013年 江苏 高考试题 )设函数 f(x)=g(x)=中 a 为实数 . ( )若 f(x)在 (1,+ )上是单调减函数 ,且 g(x)在 (1,+ )上有最小值 ,求 a 的取值范围 ; ( )若 g(x)在 ( )上是单调增函数 ,试求 f(x)的零点个数 ,并证明你的结论 . 解析 :( )由 f(x)=f (x)=以 ,f(x)在 (1,+ )上 递 减 当 x1时 ,f (x) 0 a a1;又由 g(x)=g (x)=以 ,g(x)在 (1,+ )上有最小值 g (x)=,即 a=1,+ )上有 零点 aa 的取值范围 是 (e,+ ); ( )由 g(x)在 ( )上 递 增 当 xg (x)=0 a a 由 f(x)=a;当 a 0或 a=f(x)的零点个数 为 1;当 0( )如果正实数 a,b 满足 ab= a(1+n)m. 4.(2014年 江苏 高考试题 )已知函数 f(x)=ex+中 e 是自然对数的底数 . ( )证明 :f(x)是 R 上的偶函数 ; ( )若关于 x 的不等式 mf(x) (0,+ )上恒成立 ,求实数 m 的取值范围 ; ( )已知正数 a 满足 :存在 1,+ ),使得 f(x0)f(4)f(5) baC). ( )当 f(x)=e,+ )上为减函数 即得 ; ( )由 ab= a k=1,2, ,+n)mn n)1;令 f(x)=(x0),则 f (x)=21x1x+1);令 g(x)=1x+1),则 g (x)=-1 f(m)(1+n)m. ( )由 f(x)=ex+f(ex=f(x) f(x)是 R 上的偶函数 ; ( )由 mf(x) m(ex+ m(ex+ ex+2) m11 e;令 t=ex(t1),则 m112 tt t;由112 tt t=(1 m 的取值范围 是 (- , ( )由 f (x)=f(x)在 1,+ )上 单调 递增 ;令 h(x)=a(x) h (x)=