1_6354502_2.着意函数的单调性.解决一类高考试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 着意函数的单调性 解决 函数不等式 问题 的 一个技 法 利用 函数的单调性 可解决形如 f( 1)f( 2)的函数不等式问题 ,尤其是已知 不等式 f( 1)f( 2)在 D 内恒成立 ,求参数 的取值范围 构造母题如下 : 母题结构 :( )若函数 f(x)在区间 D 上单调递增 ,且 1, 2 D,则 f( 1) 2. 解 题 程序 :解决形如 f( 1)f( 2)的函数不等式问题 ,首先 1 D, 2 D,然后 ,由 函数 f(x)在 单调性 及 f( 1) f( 2)得 1与 2的 不等式 ,解此不 等式 ,并根据 1 D, 2 D,既得参数 的取值范围 . 子题类型 :(2005年全 国高中数学联赛试题 )已知 f(x)是定义在 (0,+ )上的减函数 ,若 f(2a2+a+1)30 a (0,31) (1,5). 点评 :本 题的一个失分点是没有注意到 3f( 1)f( 2)不仅注意使用 f(x)的单调性得 1与 2的不等式 ,而且还要关注到 1, 2必须在 f(x)的单调区间内 . 子题类型 :(2007年 天津 高考试题 )设 f(x)是定义在 且当 x 0时 ,f(x)=x t,t+2,不等式 f(x+t) 2f(x)恒成立 ,则实数 ) (A) 2 ,+ ) (B)2,+ ) (C)(0,2 (D)- 2 , 0, 2 解析 :由 f(x)是 奇函数 当 必有 ( ) (A)f(a)-f(b)f(f( (B)f(a)-f(b)f(f( (D)f(a)+f(b) 0” 是 “ f(a)+f(b)f(f( 成立的 ( ) (A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分亦不必要条件 3.(2010 年全国高中数学联赛 吉林 预 赛试题 )设函数 f(x)满足下列条件 : f(x)是定义在 对任意的 x1, 1,a(其中常数 a1),当 x2有 f(f(0,则下列不等式不一定成立的是 ( ) (A)f(a)f(0) (B)f(21 a)f( a ) (C)f(131)f( (D)f(131)f(4.(2007 年福建高考试题 )己知 f(x)为 R 上的减函数 ,则满足 f(|f(a),则实数 a 的取值范围是 ( ) (A)(- , (2,+ ) (B)() (C)() (D)(- , (1,+ ) 7.(2010 年江苏高考试题 )已知函数 f(x)= 0,1 0,12x 满足不等式 f(1f(2x)的 x 的范围是 _. 8.(2005 年全 国高中数学联 赛 天津初赛 试题 )己知函数 f(x)是定义在 (- ,3上的减函数 ,且对于 x R,f(f(a+1+成立 ,则实数 . 9.(2012年全国高中数学联赛试题 )设 f(x)是定义在 且当 x 0时 ,f(x)=x a,a+2,不等式 f(x+a) 2f(x)恒成立 ,则实数 . 10.(2013年全国高中数学联赛 河南 预 赛试题 )已知函数 y=f(x)是定义在实数集 且当 x 0时 ,f(x)=x t,t+2,不等式 f(x+2t) 4f(x)恒成立 ,则实数 . 由 a+b0 a-b,bf(a)f(f(b)f(f(故选 (C). 由 a+b0 f(a)+f(b)f(f(假设由 f(a)+f(b)f(f( a+b0,则 a+b 0 a -b,b f(a)f(f(b) f(两式相加得 :f(a)+f(b) f(f(矛盾 C). 由 当 x2有 f(f(0 f(a)0=f(0),(A)正确 ;1f( a ),(B)正确 ;f(131) f( 13-f(a) f(113,且 )1( 2 (D)正确 C). 由 f(x)为 R 上的减函数 f(|1 |x|f(a) 2a a ()C). 由函数 f(x)的图象 可知 :f(1f(2x) 1,1x x (2 f( f(a+1+ a+1+a+2 a+2 a2101或 a2101,又因 3 2 a - 2 , 2 a 的取值范围是 - 2 ,2101. 由 f(x)是 奇函数 当 x0时 ,f(x)=x)=-(= x 0 时 ,2f(x)=( 2 x)2=f( 2 x);当 x0 时 ,2f(x)=- ( 2 x)2=f( 2 x);所以 ,f(x+a) 2f(x) f(x+a) f( 2 x);因为 f(x)在 R 上是增函数 ,所以 x+a 2 x a ( 2 -1)a,a+2上 恒成立 a ( 2 t+2) a 2 .故 a 的取值范围是 2 ,+ ). 由 f(x)是 奇函数 当 x0时 ,f(x)=x)=-(= x 0 时 ,4f(x)=(2 x)2=f(2x);当 x0 时 ,4f(x)=-(2x)2 =f(2x);