1_6354507_27.三次函数图像对称中心的性质

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 三次函数图像 对称中心的性质 由 三次函数图像的对称中心 引发的高考试 题 我们知道三次函数 f(x)=cx+d(a 0)的图像关于点 T(f(对称 ,那么 ,点 又 能引发几类高考试题 ?为解决这些问 题 ,我们总结 点 T 的 性质 如下 . 母题结构 :曲线 C:y=f(x)在点 T 处的切线 穿过 曲线 C; 若 函数 f(x)有两个极值点 A,B,则 点 T 是 A,B 的中 点 ; 若点 A(x1,f(,B(x2,f(满足 f (f (则 点 ,B 的中点 . 解 题 程序 : 由 曲线 C 在 点 T 左右两侧的凸凹性相反 曲线 C:y=f(x)在点 T 处的切线 穿过 曲线 C; 由 f (x)=32bx+c2 21 =点 ,B 的中点 ; 由 f (f ( 点 A,B 关于点 T 对称 点 T 是 A,B 的中点 . 子题类型 :(2007 年 湖南 高考试题 )已知函数 f(x)=311区间 ),(1,3内各有一个极值点 . ( )求 最大值 ; ( )当 时 ,设函数 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切线为 l,若在点 y=f(x)的图象 (即动点在点 f(x)运动 ,经过点 A 时 ,从 ,求函数 f(x)的表达式 . 解析 :( )由 函数 f(x)=311),(1,3内 各有一个极值点 f (x)=x2+ax+),(1,3内各有 一个零 点 ;设 ),(1,3,则 2 2 =3-(4 最大值 =16; ( )由 , a=-2,b=f(x)=31点评 :对 曲线 C:y=f(x)=cx+d(a 0)在点 T(f(处的切线穿过曲线 C 有统一证明 :由曲线 C 在点 y=f (x+f(令 g(x)=f(x)(x+f(则 g (x)=f (x)(x+ (3ax+b)=3a(x+ g(x)单调 g(x)在 x= 曲线 处的切线 穿过曲线 C. 子题类型 :(2010 年 福建 高考 理科 试题 )( )已知函数 f(x)=图像记为曲线 C. (i)求函数 f(x)的单调区间 ; (明 :若对于任意非零实数 线 1(处的切线交于另一点 P2(,曲线 2(P(处的切线交于另一点 P3(,线段 2 所围成封闭图形的面积分别记为 2,则21定值 ; ( )对于 一般的三次函数 g(x)=cx+d(a 0),请写出类似于 ( )(正确命题 ,并予以证明 . 解析 :( )(i)由 f(x)=f (x)=3f(x)的 递增区间为 (- , (33,+ ),递减区间为 (3); ( 曲线 1(处的切线 :y=(3 y=(3 3(x+ 20 2 112 31213 )23(xx 27理可 得 :27642761161 为定值 ; ( )记函数 y=g(x)的图象为曲线 G,类似于 ( )(命题 :对任意 线 1(处的切线交于另一点 P2(,曲线 2(处的切线交于另一点 P3(,线段 2所围成封闭图形的面积分别记为 2,则21定值 ; 证明如下 :因为平移变换不改变面积的大小 ,故可将曲线 y=g(x)的对称中心 (g(平移至坐标原点 ,因而不妨设 g(x)=hx(x 0)类似 ( )(计算可得21161 为定值 . 点评 :过 曲线 C:y=f(x)=bx(a 0)上点 P(x0,f(的切线与曲线 (f(,且线段 所围成的封闭图形的面积 S=427|a| 子题类型 :(2014 年 北京 高考试题 )已知函数 f(x)=2( )求 f(x)在区间 上的最大值 ; ( )若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切 ,求 t 的取值范围 ; ( )问过点 A(),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切？ (只需写出结论 ). 解析 :( )由 f (x)=3(20 x=22;由 f(f( 2 ,f(22)=- 2 ,f(1)=f(x)在区间 上的最大值 =f( 2 ; 由 曲线 y=f(x)在点 M(t,f(t)处的切线方程 :t)=f (t)(即 y=3(2果 切线过点 P(a,b),则 b=3(21)4a+b=0;记 g(t)=4a+b,则 g (t)=122t( g(t)的 极大值 =g(0)=3a+b,g(t)的极小值 =g(a)=a+b=a);所以 , 过点 P(a,b)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切 方程 4a+b=0 有 1 个实数根 g(t)的 极大值 0 3a+bf(a); 过点 P(a,b)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切 方程 4a+b=0 有 2 个实数根 g(t)的 极大值 =0,或 g(t)的 极小值 =0 3a+b=0 或 a)=0 b= b=f(a); 过点 P(a,b)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切 方程 4a+b=0 有 3 个实数根 g(t)的 极大值 0,或 g(t)的 极小值 0 或 a)0,如果过点 (a,b)可作曲线 y=f(x)的三条切线 ,证明 :线 y=f(x)在点 P(0,f(0)处的切线方程为 y=1. ( )确定 b、 c 的值 ; ( )设曲线 y=f(x)在点 (x1,f(及 (x2,f(处的切线都过点 (0,2),证明 :当 f ( f ( ( )若过点 (0,2)可作曲线 y=f(x)的三条不同切线 ,求 a 的取值范围 . ( )由 f (x)=ax+b f (1b=0 b=2( )由 f (x)=x+1)(x+2当 a=1 时 ,f(x)的单调 递增 区间 为 (- ,+ );当 ,f(x)的单调 递增 区间 为 (- ,1 ( ),单调 递减 区间 为 (11); ( )当 a= ,f (x)=(x+1)( M(5),N(3, 直线 MN:y= f(x)的 拐点 T(1,311)恰在 线段 . ( )由 f (x)=x+a=(x+1)2+当 a 1时 ,f(x)在区间 (- ,+ )单调 递增 ;当 f(x)的单调 递增 区间为 (