1_6354514_3.多元对称式“常规最值”的应用

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 多元对称式“常规最值”的应用 解决 函数不等式 问题 的 一个技 法 若 F(x1, , f(x1, ,是关于 变元 x1, ,称式 ,在条件 F(x1, ,0 下 ,当 x1= =所有 变元 相等 时 ,f(x1, ,到最大 (或最小 )值 ,这类最值 称为 “ 常规最值 ” ;反之 ,当变元不全相等时 ,f(x1, , 达到的最值 ,称为 “ 非常规最值 ” 规最值 ,可以 ,“秒杀”一类高考题 . 母题结 构 :己知 F(x1, , f(x1, ,是关于 变元 x1, ,称式 ,若 F(x1, ,0,则 当 x1= =f(x1, ,得极值 . 应用 程序 :利用磨光法可以证明 ,但这不是我们的目的 ,我们关心的是母题应用的程序 : 判断己知条件 F(x1, , 0与待求式 ,f(x1, ,否是对称式？ 在己知条件与待求式都是对称式的条件下 ,令 x1= =所有 变元相等 ,并根据己知条件 F(x1, ,0,求 x1= =xn=a; 把 x1= =xn=a 代入 f(x1, ,求极值 . 子题类型 :(2009 年天津高考 文科试 题 )设 x,y R,a1,b1,若 ax=,a+b=2 3 ,则x1+ ) (A)2 (B)23(C)1 (D)21解析 :由 x=x1=理由 y1=x1+y1=知条件 a+b=2 3 与待求式 是关于 a,b 的对称式 ,当 a=b 时 ,由 a+b=2 3 a=b= 3 C). 点评 :母题应用的关 键是判定己知条件与待求式都是对称式 (即任意 交换两个 变量 后 ,代数式的值不变 ). 子题类型 :(2011 年 天津 高考试题 )已知 1,则 3a+9 . 解析 :由 1 2 a(2b) 4是 而 3a+9b=3a+32所以 ,当 a=2b,且 a(2b)=2,即 a=2,b=1 时 3a+98. 点评 :母题应用的技法之一是利用换元思想 ,把己知条件与待求式转化为对称式 . 子题类型 :(2006 年重庆高考 理科 试题 )若 a、 b、 c0,且 a(a+b+c)+ ,则 2a+b+c 的最小值是 ( ) (A) 3 (B) 3 +1 (C)2 3 +2 (D)2 3 解析 :已知条件 :a(a+b+c)+ 与待求式 2a+b+c,不是 a,b,c 的对称式 ,但是 b,c 的对称式 ,当 b=c 时 ,由 a(a+b +c)+ a+b= 3 2a+b+c=2(a+b)的最小值是 2 3 D). 点评 :母题应用的另一技法是非整体对称式 ,视为部分 变量的 对称式 . 1.(2001 年北京、内蒙古、安徽春招试题 )若实数 a、 b 满足 a+b=2,则 3a+3 ) (A)18 (B)6 (C)2 3 (D)243 2.(2015年 福 建 高考试题 )若 直线ax+(a0,b0)过点 (1,1),则 a+ 值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 3.(2001 年安徽春招试题 )己知 1(、均为锐角 ),那么 . 4.(2005 年重庆高考试题 )若 x,y 是正数 ,则 (x+(y+的最小值是 ( ) (A)3 (B)27(C)4 (D)295.(2009 年重庆高考试题 )己知 a0,b0,则1+2 最小值是 ( ) (A)2 (B)2 2 (C)4 (D)5 6.(2009 年天津高考 理科试 题 )设 a0,b0,若 3 是 3比中项 ,则1的最小值为 ( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)417.(2011 年 浙江 高考 文科 试题 )若 正 数 x,y 满足 x2+y2+,则 x+y 的最大值为 . 8.(2010 年重庆高考试题 )已知 x+2y+2,x0,y0,则 x+2 . 9.(2010 年 浙江 高考试题 )若正实数 x、 y 满足 2x+y+6= 最小值是 . 10.(2011 年 浙江 高考 理科 试题 )若 正 数 x,y 满足 4x2+y2+,则 2x+y 的最大值为 . 11.(2007年重庆高考试题 )若 +2则|2| 2 ba 最大值为 ( )(A)1552(B)42(C)55(D)2212.(2013 年湖南高考试题 )已知 a,b,c R,a+2b+3c=6,则 . 13.(2014 年 辽宁 高考试题 )对于 c0,当非零实数 a,且使 |2a+b|最大时 ,a1+b2+ . 14.(2014 年 浙江 高考试题 )已知 实数 a、 b、 c 满足 a+b+c=0,a2+b2+,则 a 的最大值为 . 15.(2011 年重庆高考 文科 试题 )若 实数 a,b,c 满足 2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则 c 的最大值 是 . 16.(2006年重庆高考 文科 试题 )若 a、 b、 c0,且 2,则 a+b+ ) (A)2 3 (B)3 (C)2 (D) 3 由 已知式与待求式均是 a与 b 的对称式 ,所以 ,当且仅当 a=b,即 a=b=1 时 ,3a+3小值 B). 当 a=b 时 ,由1=1 a=b=2 a+ 值为 C). 当 = =时 ,即 33 36 (36)3. 当 x=y 时 ,(x+(y+=2(x+ 4 取得 最 小 值 C). 当 a=b 时 ,1+2 a 4 取得 最 小 值 C). 由 3 是 3比中项 a+b=1 当 a=b,即 a=b=21时 ,1取得 最小值 B). 当 x=y 时 ,由 x2+y2+ x=y=33 x+y 的最大值为332. 当 x=2y 时 ,由 x+2y+2 x=2y=2 x+2y 的最小值为 4. 由 2x+y+6=2x+y+6=21(2x)y,且 1(2x)y;当 2x=y 时 ,由 2x+y+6=2x=y=6 最小值是 18. 由 4x2+y2+ (2x)2+1(2x)y=1;当 2x=y 时 ,由 4x2+y2+ 2x=y=510 2x+y 的最大值为5102. 由 a=2b 及 a=2b=22 |2| 2 ba B). 当 a=2b=3c 时 ,由 a+2b+3c=6 a=2b=3c=2 22=12. 当 2a=b 时 ,由 4 2a=b= c ;当 2a=b=- c 时 ,a1+b2+c4=(最小值 =当 b=c 时 ,由 a+b+c=0,a2+b2+ a