1_6354520_50.三项式展开问题及三项式定理

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 三项式展开问题及三项式定理 解决 三项式展开问题 的 方 法 二项式定理 较完 整 的解决了 二项展开式 的 问题 ,那么 ,利用 二项式定理 能否解决 三项展开式问题 ？ 三项式定理 又是什么？为此我们先 给出 三项式定理 . 母题结构 :(三项式定理 ):(a+b+c)(k1,k2,!！kk!k ! 321 其 中 k1,k2,N,且 k1+k2+k3=n. 母题 解 析 :在 (a+b+c)n是 n 个 (a+b+c)相乘 ,每个 (a+b+c)在相乘时有三种选择 :选 a,或 b,或 c,而且 每个 (a+b+c)中的a,或 b,或 c 都选定后 ,才能得到展开式中的一项 ,因此 ,由分步乘法计数原理可知 ,在合并同类项之前 ,(a+b+c)开式共有 3其中每一项都是 其中 k1,k2,N,且 k1+k2+k3=n)的形式 ;对于某 一项 由 a+b+c)中 选 a,由 a+b+c)中 选 b 得到的 ,因此 ,现的次数相当于从 n 个 (a+b+c)中 选 再从余下的 a+b+c)中 选 组合数 21！) 11 n！)！( 212 2 =!！kk!k ! 321 n,即 合并同类项 后 ,项 系数 = !！kk!k ! 321 n 通项 T(k1,k2,!！kk!k ! 321 子题类型 :(1984 年 全国 高考试题 )(|x|+|1的展开式中的常数项 为 . 解析 :(法一 )由 (|x|+|1=(|x|+|1x)的 通项 =2)3x|+|1x)k;由 (|x|+|1x)项 =项 k 为偶 数 k=0,2:当 k=0 时 ,常 数项 =(8;当 k=2 时 ,(|x|+|1x)2 展开式中的常数项 =2 常 数项=2(32=上 ,展开式中的常数项 =(法 二 )由 (|x|+|1=( |x -|1x)6的 通项 =(-1)|x )6展开式中的常数项 =(20. (法 三 )由 (|x|+|1的通项 T(k1,k2,!！kk!k !3 321|x|1k (|1x)2k (k =!！kk!k !3 321(k |x|1k - 2k ,其中 k1+k2+; 令 2k1+ (k1,k2,(0,0,3),(1,1,1) 常数项 =!！30!0!3(+!！11!1!3(=点评 :法一 添加括号 ,把某两项看成一项 ,这是把三项式向二项式转化的有效途径 ;法二将 三项式 分解因式 ,这 样可 把三项式 转化为两个二项式 积的形式 ;若 三项式恰好是二项式的平方 ,则也可直接转化为二项式问题求解 ;法三利用三项式定理 ,注意 :各指数 0 k n;各指数所 满足的条件 :各指数 和 =n; 分析研究不定方程组 的所有解 . 子题类型 :(1992年 全国 高考试题 )在 (x+2)5的展开式中 ) (A)160 (B)240 (C)360 (D)800 解析 :(法一 )由 (x+2)5=(x)+25的 通项 =x)5且仅当 k=4时 ,=x)5 展开式中 x 的系数 =3 24B). (法 二 )由 (x+2)5=(x+1)5(x+2)5,(x+1)5 的 通项 =x+2)5 的 通项 =25展 开式中 x 的系数 =5125B). (法 三 )由 (x+2)5的 展开式中 x 的系数 =(3x+2)5的 展开式中 x 的系数 =3 2440. (法 四 )由 (x+2)5的 展开式 的通项 T(k1,k2,!！kk!k !5 321(k (3x)2k 23k =!！kk!k !5 321 23k 32k 2k ,其中 k1+;令 2k1+ , 展开式中 x 的系数 240. 点评 :解决 三项式 (a+b+c)开式问题 的基本思 路 有 :转化为二项式 展开式问题 ; 直接利用 三项式 定理 . 子题类型 :(2015 年 课 标 高考试题 )(x2+x+y)5的展开式中 , ) (A)10 (B)20 (C)30 (D)60 解析 :(法一 )由 (x2+x+y)5=(x2+x)+y5 的 通项 =x2+x)5 ,k=2 (x2+x)3=x3(x+1)3 (x+1)3 中 系数C). (法 二 )由 (x2+x+y)5的 展开式 的通项 T(k1,k2,!！kk!k !5 321(k (x)2k !！kk!k !5 321 k +2k 其中 k1+k2+;令 2k1+, , !！22!1!5=C). 点评 :三项式定理 展开式的通项公式 ,结构对称优美 ,易于记忆 开式的通项公式 是解决 三项式 展开式 问题 的 母题公式 . 1.(2003 年 安徽 春招 试题 )(41x+1)6的展开式中常数项为 (用数字作答 ). 2.(2004 年 安徽 春招 试题 )若 (x+20,则自然数 n= . 3.(2005 年湖北 高考试题 )(2x+2 )5的展开式中整理后的常数项为 . 4.(1997 年全 国高中数学联赛上海 初赛试题 )展开式 (1+x+的常数项是 . 5.(2012 年全 国高中数学联赛四川 初赛试题 )(x2+的展开式中的常数项是 (用具体数字作答 ). 6.(2014 全国高中数学联赛 浙江 初赛试题 )x R+,则 (展开式中常数项为 ( ) (A) (B) (C) (D).(2005年全 国高中数学联赛安徽 初赛试题 )在 (x+2)5的展开式中 ,含 . 8.(2009年 江 西 高考试题 )(1+ax+by)43,不含 2,则 a,b,n 的只可能为 ( ) (A)a=2,b=-1,n=5 (B)a=-2,b=-1,n=6 (C)a=-1,b=2,n=6 (D)a=1,b=2,n=5 (法一 )由 (41x+1)6=(x+2的 通项 =(21) k=6 常数项 =(21)66231. (法 二 )由 (41x+1)6的 通项 T(k1,k2,!！kk!k !6 321(k (241x)2k =!！kk!k !6 321(41)2k k k ;令 2 2k1+ (k1,k2,(3,3,0),(2,2,2),(1,1,4),(0,0,6) 常数项 = !！03!3!6 (41 )3+!！22!2!6(41)2+!！41!1!6(41)1+!！60!0!6(41)0=16231. 由 (x+n=(x 项 =(-1)x )2 2 k=n 常数项 =(-1)20 n=3. (法一 )由 (2x+2 )5=(2x+0的通项 =(21)10x )10常数项 =(21)5263. (法 二 )由 (2x+2 )5的通项 T(k1,k2,!！kk!k !5 321(21)1k ( 2 )3k 2k ;则 k1=k1+ (k1,k2,(2,2,1),(1, 1,3),(0,0,5) 常数项 =!！12!2!5(21)2( 2 )+!！31!1!5(21)( 2 )3+!！50!0!5( 2 )5=2263. (法一 )由 (1+x+的通项 =x+x1)k= (k,t)=(0,0),(2,1),(4,2),(6,3) 常数项 =747693. (法 二 )由 (1+x+的 通项 T(k1,k2,!！kk!k !7 321 3k ;则 k2=k3, (k1,k2,(1,3,3), (3,2,2),(5,1,1),(7,0,0) 常数项 =!！31!3!7+!！23!2!7+!！15!1!7+!！07!0!7=393. 由 T(k1,k2,!！kk!k !6 321(