1_6354521_2.回归“母体”.巧解三视图

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 回归“母体” 视图 三视图还原几何体 的 一 种 方 法 由三视图还原几何体 ,大都是直接给出几何体 ,而没有讲清楚为什么是这样 ,好像“只可意会 ,不可言传” ;长方体 具有“ 集装箱 ” 功能 ,它可以 “ 装载 ” 任意的几何体 ;同时 ,由 长方体 可以经 切削、打磨 ,加工成 任意的几何体 ;因此 ,长方体 是所有几何体的 “ 母体 ” ;利用长方体 ,即回归母体 还原三视图所确定的 几何 体 ,可以变“只可意会 ,不可言传”为“既能意会 ,也可言传” . 方法 母题 :(2015 年 安徽 高考试题 )一个四面体的三视图如 图所示 , 则该四面体的表面积是 ( ) (A)1+ 3 (B)2+ 3 (C)1+2 2 (D)2 2 解题 程序 :在 如图 所示 的 长方体 中 ,由 正 视图 和侧 视图 可确定 四面体的 顶点 P 的位 置 ;由 正 视图 和俯 视图 可 确定 底面 四面体 直观图如 图所示 : 其中 , 面积 = 面积 =1; 是边长为 2 的正三角形 面积 =21( 2 )23 该四面体的表面积 =2 1+223=2+ 3 B). 子题类型 :(2014 年 重庆 高考试题 )某几何体的三视图如下图 , 则几何体的体积为 ( ) (A)12 (B)18 (C)24 (D)30 解析 :在 如图 所示 的 长方体中 ,由 正 视图 和侧 视图 可确定 面 A 和 面 A ,又由 俯 视图 可 确定 几何体 B C ,如 图所示 ,其中 ,A A=5,B B=2,其体积 V=21 4 3 51 4 3 3=C). 点评 :以 长方体的顶点为其部分顶点 ,且其所有顶点均在长方体的表面上的几何体称为长方体的内接几何体 ;解答 其 三视图 问题 的最佳选 择 是在其母体中还原直观图 . 子题类型 :(2014 年 湖南 高考试题 )一块石材表示的几何体的三视图如图右所示 , 将该石材切削、打磨 ,加工成球 ,则能得到的最大球的半径等于 ( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析 :在 如图 所示 的 长方体中 ,由 正 视图 和侧 视图 可确定 面 面 由 俯 视图 可 确定 几何体 为三棱柱 中 ,2;易知不存在球与该三棱柱的上、 下底面及三个侧面同时相切 ,故最大的球是与其三个侧面同时相切 ,所以最大球的半径为上 (下 )底面直角三角形内切圆的半径 r r=2 1086 =B). 点评 :以长方体为母题模型 ,对 长方体进行 切削 ,可构成任意的几何体 ,根据三视图对长方体进行切割 ,还原直观图是解决问题的最佳方法 . CBA245 子题类型 :(2008 年 课 标 高考 试 题 )某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的三视图的正视图中 ,这条棱的投影是长为 6 的线段 ,在该几何体的侧 视图与俯视图中 ,这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段 ,则 a+ ) (A)2 2 (B)2 3 (C)4 (D)2 5 解析 :构造长方体 ,并设长方体一个顶点上的三条棱长分别为 x,y,z,如图 ,空间内 任意一条线段 ,长为 m,则该线段在正视图、侧 视图、俯视图上的投影分别为 长 分别为 a、 b、 c a= 22 ,b= 22 ,c= 22 ,m= 222 a2+b2+题中 ,m=7 ,c= 6 ,由 a2+b2+a2+a+b)2 2(a2+ (a+b)2 16 a+b 4,故选 (C). 点评 :关于 线与面的三视图 : 线段视图 公式 :长为 m 的线段 ,在三个视图上的线段长分别为 a,b,c,则 a2+b2+面积视图 公式 :面积为 在三视图中的面积分别为 22+2. 1.(2015 年 北京 高考试题 )某三棱锥的三视图如图所示 , 则该三棱锥的表面积是 ( ) (A)2+ 5 (B)4+ 5 (C)2+2 5 (D)5 2.(2009 年 课 标 高考试题 )一个棱锥的三视图如下图 , 则该棱锥的全面积 (单位 : ( ) (A)48+12 2 (B)48+24 2 (C)36+12 2 (D)36+2412 2 3.(2012 年 课 标 高考试题 )如图 ,网格纸上小正方 形的边长为 1, 粗线画出的是某 几何体的三视图 ,则此几何体的体积为 ( ) (A)6 (B)9 (C)12 (D)18 4.(2014 年 四川 高考试题 )某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示 ,则该三棱锥 的体积是 ( )(锥体体积公式 :V=31中 ,S 为底面面积 ,h 为高 ). (A)3 (B)2 (C) 3 (D)1 5.(2012 年北京高考试题 )某三梭锥的三视图如图所示 , 该三梭锥的表面积是 ( ) (A)28+6 (B)30+6 5 (C)56+12 5 (D)60+12 5 6.(2011 年北京高考试题 )某四面体的三视图如图所示 ,该四面体四个面的面积中 ,最大的是 ( ) (A)8 (B)6 2 (C)10 (D)8 2 7.(2014 年 北京 高考试题 )某 三棱锥的 三视图 如图所示 ,则该三棱锥的最长棱的 棱长 为 . 8.(2013 年 北京 高考试题 )某四 棱锥的三视图如图所示 ,则该四棱锥的体积为 . 侧视图 俯视图1 12 22211俯视图侧 （ 左 ） 视图正 （ 主 ） 视图111229.(2013 年 浙江 高考试题 )若某几何体的三视图 (单位 :图所示 则此几何体的体积等于 10.(2011 年江西 高考试题 )将长方体截去一个四棱锥 ,得到的几何体如图所示 ,则该几何体的左视图为 ( ) 11.(2010 年北京高考试题 )一个长方体去掉一个小长方体 ,所得几何体的正 (主 )视图与侧 (左 )视图分别如图所示 ,则该几何体的俯视图为 ( ) 12.(2014 年 高考 课 标 试题 文科 第 8 题 )如 图 , 网格纸的各小格都是正方形 ,粗实线画出的是一个 几何体的三视图 ,则这个几何体是 ( ) (A)三棱锥 (B)三棱柱 (C)四棱锥 (D)四棱柱 13.(2013 年 重庆 高考试题 )某几何体的三视图如 图所示 , 则该几何体的体积为 ( ) (A)3560(B)3580(C)200 (D)240 14.(2010 年天津高考试题 )(文 )一个几何体的三视图如图所示 ,则这个几何体的体积为 . 15.(2015 年 福建 高考试题 )某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积等于 ( ) (A)8+2 2 (B)11+2 2 (C)14+2 2 (D)15 16.(2012 年安徽高考试题 )某几何体的三视图如图所示 ,该几何体的表面积是 . 17.(2012 年辽宁高考试题 )一个几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积为 _. 18.(2013 年浙江高考试题 )已知某几何体的三视图 (单位 :图所示 : 则该几何体的体积是 ( ) (A)108 (B)100C)92 (D)84 在 如图 所示 的 长方体 中 ,由 三视图 可得该 三棱锥 中 ,C= 5 ,C= 6 , 25 ,5 三棱锥 表面积是 2+2 5 C). 由 棱锥的三视图 ,借长方体可得此棱锥 直观图如图所示 ,底边为直角三角形 ,顶点 P 在 底面射影 H 为底边 中点 ,且由已知可知 C=6,=21 6 6+221 6 5+21 4 6 2 =48+12 2 A). 借 长 方体可得此 棱锥 直观 图如 图所示 ,该几何体 的 底面 面积 S=21 6 3=9,高 h=3 此几何体的体积为 V=31B). 由 俯视图 知 ,该三棱锥的底面 是边长为 2 的正三角形 面积 S= 3 ;又由 侧视图 知 ,该三棱锥的 高 h= 3 体积 V= 31D). 从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥 ,图中数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度 ,本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和 ,利用垂直关 系和三角形面积公式 可得该几何体表面积 =30+6 5 B). 借 长 方体可得 该四面体四个面的面积中最大 =C). 借 长 方体可得 三棱锥中最长棱的长为 2 2 . 三视图可知 ,该几何体 是 底面为 边长 =3 的正方形 ,高 =1 的四 棱 锥 体积 =31 32 1=3. 借 长 方体可得 该几何体为该几何体为一个直三棱柱截去一个三棱锥所得 ,此几何体的体积 =V 柱 =304. 由 直观图 左 视图 为 (D) (D). 容易看出这是一个面向我们的左上角缺了一小块长方体的图形 C). 根据网格纸的各小格都是正方形 ,粗实线 画出的是一个几何体的三视图 ,可知几何体如图 B). 由几何体的三视图可得 ,该几何体是一个横放的直棱柱 ,棱柱底面为梯形 ,梯形两底长分别为 2和 8,高为 4,棱柱的高为 10,故该几何体体积 V21(2+8)410 200. 由 俯视图可知该几何体的底面为直角梯形 ,则正视图和俯视图可知该几何体的高为 1,结合三个试图可知该几何体是底面为直角 梯形的直四棱柱 ,所以该几何题的体积 V=21(1+2) 2 1=3. 在 如图 所示 的 长方体 中 ,由 三视图 可得该 几何体 是四棱柱 中 ,D =1, 2 四棱柱 下底面积 =21(1+2) 1=23,侧面积 =2(1+1+2+ 2 )=8+2 2 四棱柱面积 =11+2 2 B). 16 解 :由三视图可知几何体是底面 为直角 梯形的直 四 棱柱 ,其中直角 梯形的 上 、 下底长分别为 2、 5,高 =4,斜腰长 =5,直 四棱柱 的高 =4 直角 梯形的 面积 =21(2+5) 4=14,直角