1_6354524_20.利用两边夹法则.巧解函数三类题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 利用两边夹法则 解决 三类 函数 问题 的 一个技 法 “若 a x a,则 x=a” ,这就是 两边夹法则 ,它 的一个典型应用 是 高等数 学 中的 求 极 限 ;两边夹法则 体现了 由不等向相等、由变量向常量的转化思想 ,它在中学 数 学 中也有一定的用场 我们以母题的方式给出 两边夹法则 及其变式 . 母题结构 :(两边夹法则 )如果 a、 x 是实数 ,且 a x a,那么 ,x=a;两边夹法则的变式有 : 若 ( 0,则 x=y; 若 a f(x) a,则 f(x)=a; 若 g(x) f(x) g(x),则 f(x)=g(x). 解 题 程序 :利用 两边夹法则 ,首先 灵活运用题给 (或隐含 )的不等式 ,采用赋值 ,或不等式的传递性等 ,构造出夹逼不等式 “ a x a” ,由此 ,“逼”出某个值 ,或某 函数解析式 ,据此 ,解决相关 问题 . 数 中的 参数 子题类型 :(2000 年 全 国高中数学联赛 河北初赛题 )己知函数 f(x)=bx+c 的图像过点 ()b,c,使不等式 x f(x)21(1+一切实数 x 都成立？若存在 ,求出 a,b,c 的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 解析 :由 x f(x)21(1+ 1 f(1) 1 f(1)=1 a+b+c=1;又由 f(0 c=0 b=21,a+c=21;由 f(x)x 1x+c x c 0 恒成立 (0 (a+c)20 ( 0 a=c=在 . 点评 :一般地 ,若函数 f(x)=bx+c(a0),g(x)=nx+p(ma)在 x=y=kx+q,且 kx+q f(x) g(x),则 f(q,且 (-4( 0. 数 值 子题类型 :(2007 年高中数学联赛陕西预赛试 题 )定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)=0,f(x)+f(11,f(5x)= 21f(x),且当 0 得存在 t R,只要 x 1,m,就有 f(x+t) x. 2.(2004 年福建高一 数学 竞赛 试 题 )己知二次函数 f(x)=bx+c(a,b,c R)满足条件 :对任意实数 x 都有 f(x) 2x,且当00且 (0 (a+c)20 a=c;又 当 0x2 时 ,f(x)21(x+1)2 (2(x+20 (2(1x+20 (2)2 0 a21;所以 ,f(c=4(. 由 f(x+3) f(x)+3 f(x) f(x+3)f(x+1) f(x+4)f(x+2)+2f(x)+4-3=f(x)+1;又 由 f(x+2) f(x)+2 f(x) f(x+2)f(x+1) f(x+3)f(x)+3-2=f(x)+1 f(x+1)=f(x)+1 f(x)=x f(2008)=2008. 由 f(x)+9 f(x+9) f(x+6)+3 f(x+3)+6 f(x)+9 f(x+3)=f(x)+3 f(2009)=f(2006)+3=f(2003)+2 3= = f(2)+669 3=2009. 由题设条件知 f(x+2)-f(x)=-f(x+4)-f(x+2)-f(x+6)-f(x+4)+f(x+6)-f(x) 2x+22x+1+63 2x=3 2x f(x+2)-f(x)=3 2x;令 g(x)=f(x)g(x+2)=f(x+2)=f(x)+3 2=f(x)g(x) g(x)是周期为 2的周期函数 f(2008)=g(2008)+22008=g(0)+22008=f(0)2008=2007+22008. 由 f(x+y)+f(y+z)+f(z+x) 3f(x+2y+z),令 x=-y=z 得 :f(0)+f(0)+f(2x) 3f(0) f(2x) f(0);令 x=y= : f(2x)+f(0)+f(0) 3f(2x) f(0) f(2x) f(0) f(2x) f(0) f(2x)=f(0) f(1)=0. 由 f(0)=0,f(x)+f(11 f(1)=1;又 由 f(3x)=21f(x) f(31)=21f(1)=21 f(31)+f(11 f(32)=21;由当 0 x11 时 ,f( f( 当31 x32时 ,f(31) f(x) f(32)21 f(x)21 f(x)=21;由 f(3x)=21f(x) f(t)=21 f(3t) f(20111 )=21 f(20113 )=(21 )2f(20132)= =(21)6f(20136);而312013632 f(20136)=21 f(20111)= 1281. 由 f(0)=0,f(x)+f(11 f(1)=1;又由 f(3x)=21f(x) f(31)=21f(1)=21 f(31)+f(11 f(32)=21;由当 0 x11 时 ,f( f( 当31 x32时 ,f(31) f(x) f(32)21 f(x)