1_6354533_13.周期函数的基本表示式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 周期函数的基本表示式 对 周期 函数 的 基本 认识 我们知道 :若 f(x+T)=f(x)(T 0),则 f(x)是 周期 为 T 的 周期函数 ,这是 周期函数 的 基本 表示式 ;那么 ,体现 周期函数 的变式 表示式是什么 ?我们归纳母题 如下 : 母题结构 :若 f(x+a)=f(x+b)(a b),则 f(x)是周期函数 ,且 T=| f(x)的一个周期 ; 母题 解 析 :由 f(x+a)=f(x+b) f(x+f(x) f(x)是周期函数 ,且 f(x)的一个周期 -( f(x)的一个周期 T=| f(x)的一个周期 . 子题类型 :(2004年福建高考试题 )定义在 f(x)满足 f(x)=f(x+2),当 x 3,5时 ,f(x)=2-|则 ( ) (A)f(22)f(33) (B)f(22)f(分析 :由 f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4);由此 ,或通过求 函数 值 ,或通过求 f(x)在区间 内解析式 ,解决问题 . 解析 :(法一 )由 f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4) f(22)=f(2f(33)=f(B). (法二 )由 f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4),所以当 x 时 ,f(x)=f(x+4)=2-|(x+4)2-|x| f(x)在区间 内是偶函数 ,且在 0,1上单调递减 ,由2233 f(22)0 时 ,f(x)=f( f(x)是以 T=1 为周期的周期函数 ,由此作出 f(x)的图像 . 解析 :由题知 ,当 x 0 时 ,f(x)=(21)x+a,且 f(2+a,f(0)=1+a;当 x0 时 ,f(x)=f( 函数 f(x)是以 T=1为周期的周期函数 ,且当 x (0,1时 ,其图象是 f(x)=(21 )x+内的图象向右平移 1个单位 ,如图 ,所以 ,f(x)=x 恰有两解 f(x)的图像与直线 y=x 恰有两 个交 点 f(0)k,f(0) k+1 且 k+2 f(k Z,k a 的取值范围是 ( ). 点评 :该题的突出特点是 f(x)在区间 ( )内为周期函数 ,用周期函数的部分构成分段函数是周期函数的一个命题方向 . 1.(2009 年湖北高考试题 )己知 f(x)在 R 上是奇函数 ,且满足 f(x+4)=f(x),当 x (0,2)时 ,f(x)=2 f(7)=( ) (A) (B)2 (C) (D)98 2.(2009年江西高考试题 )己知函数 f(x)是 (- ,+ )上的偶函数 ,若对于 x 0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x 0,2)时 ,f(x) =x+1),则 f(f(2009)的值为 ( ) (A) (B) (C)1 (D)2 3.(2009 年辽宁高考试题 )己知函数 f(x)满足 :当 x 4 时 ,f(x)=(21)x;当 xf( (C)f(f(7.(1992年全国高中数学联赛 浙江 初赛试题 )设 f(x)的定义域为 R,且对任意 x R有 f(f(x)上的表达式为 f(x)=,则 f(x)在 1上的表达式是 ( ) (A) (B)2 (C)x+4 (D)x+12 8.(2005 年 第 十 六 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高一 )试 题 )己知函数 f(x)= )0(1)1( )0(则 f(31)= . 9.(2013年全国高中数学联赛 辽宁 预 赛试题 )已知函数 f(x)= 0,1)1( 0,12 设方程 f(x)=0,n内所有实根的和为 数列 的前 n 项和 = . 由 f(7)=f(8f()=A). 由 f(f(2009)=f(0)+f(1)=C). 由 f(2+f(3+1/24. 由 f(x+2)=f(x) f(1)=f( f(1)=0;f(f(21)=41. 由 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1 f(1)+f(2)+f(3)+ +f(2012)=335 1+3=B). 由 f(x)=f(x+2