1_6354539_11.周期函数及其性质

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 周期函数及其性质 解决 函数不等式 问题 的 一个技 法 周期函数作为三角函数周期性的拓展 ,它是一类非常重要的特殊函数 ,也是高考的热点 ,对周期函数的系统认识、把握 ,从定义开始 :设 f(x)是 定义在数集 若存在 T 0,使得对一切 x D有 f(x+T)=f(x),则称 f(x)为 f(x)的一个周期 ;如果在所有正周期中存在一个最小正数 么 f(x)的最小正周期 母题结构 :( )如果 f(x)的周期 ,即 f(x+T)=f(x),则对任意的 k Z,且 k 0,f(x)的周期 ,即 f(x)=f(x); ( )若 f(x)有最小正周期 T,则函数 f(x)的周期集合 nT,n=1,2, . 母题 解 析 :( )当 k0时 ,用数学归纳法证明 : 当 k=1时 ,f(kT+x)=f(x+T)=f(x)成立 ; 假设 f(kT+x)=f(x),则 f(k+ 1)T+x=fT+x)=f(x+T)=f(x)成立 ;当 则存在 k N,使得 3) (B)f(22)f(分析 :由 f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4) 当 x 时 ,f(x)=2-|x|,由此解决问题 . 解析 :由 f(x)=f(x+2) f(x)=f(x+4),所以当 x 时 ,f(x)=f(x+4)=2-|(x+4)2-|x| 函数 f(x)在区间 1内是偶函数 ,且在 0,1上单调递减 ,由2233 f(22)0,则函数 y=f(x)2 上的零点个数为 ( ) (A)2 (B)4 (C)5 (D)8 分析 :解决本题的最佳方法是图解法 ,而作出 最小正周期 为 2的偶函数 f(x)的 图像是解决问题的关键 . 解析 :由 (f (x)0 f(x)在 (0,2)上 单调递减 ,在 (2, ) 上单调递增 ,又 当 x 0, 时 ,00,使得函数 f(x)满足 f(f(x R).则 f(x)的一个正周期为 . 2.(2013 年全国大纲 试题 )设 f(x)是 以 2 为周期 的 函数 ,且当 x 1,3)时 ,f(x)= f( . 3.(2010年全国高中数学联赛 湖南 预 赛试题 )若 f(x)是 5的奇函数 ,且满足 f(1)=8,则 f(2010)009)=( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9 4.(2003 年同济大学保送生考试数学试题 )f(x)是周期为 2 的函数 ,在区间 上 ,f(x)=|x|,则 f(2m+23)= (m 为整数 ). 5.(2009 年湖北高考试题 )己知 f(x)在 R 上是奇函数 ,且满足 f(x+4)=f(x),当 x (0,2)时 ,f(x)=2 f(7)=( ) (A) (B)2 (C) (D)98 6.(2009年江西高考试题 )己知函数 f(x)是 (- ,+ )上的偶函数 ,若对于 x 0,都有 f(x+2)=f(x),且当 x 0,2)时 ,f(x) =x+1),则 f(f(2009)的值为 ( ) (A) (B) (C)1 (D)2 7.(2009 年辽宁高考试题 )己知函数 f(x)满足 :当 x 4 时 ,f(x)=(21)x;当 )f(f(2) f(2)0 时 ,作图知 ,交点个数为 C). 由 f(x)与 y=x|都是偶函数 ;作图知 ,当 x 0,10时 ,零点 个数 =10;当 x )时 ,零点 个数 =B). 当 x 1时 ,x+4 2,3 f(x)=f(x+4)=x+4;当 x 时 ,0,1 22,3 f(x)=f(f(2- x)=f(x)=3-|x+1|C). 当 x 1时 ,x+4 2,3 f(x)=f(x+4)=x+4;当 x 时 ,0,1 22,3 f(x)=f(f(2 f(x)=3-|x+1|. 由已知作图知 :当 x 时 ,f(x)过 A(),B(),C(0,2) f(x)=x+1| (C). 由已知作图知 :当 x 时 ,f(x)过 A(),B(3),C(0, f(x)=x+1| (A). 由 f(x+2)=-f(x) f(x+4)=-f(x+2)=f(x) f(x)是以 4为周期的周期函数 ;因为当 0 x 1时 ,f(x)=21x,且 f(x)为奇函数 当 x 1 时 ,f(x)=21x f(f(3)=f(f(4x|f(x)=4k Z. 因 当 0 x 1 时 ,f(x)= f(x)为偶函数 当 x 1 时 ,f(x)=当 2x 2k+1 时 ,f(x)=(;直线y=21x+a与 y=f(x)的图像恰