1_6354543_1.解析背景下的三角形面积公式

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 解析背景下的 三角形面积公式 三角形面积公式向量式的母题 用三角形两边所在向量 的坐标 可简 洁 表示其面积 ,该种 三角形面积 公式在解析几何中大有用场 ,为建立其解题用场和程序 ,我们 归纳 母题如下 : 母题结构 :在 ,若 (x1,(x2,求证 : 面积 S 1| 母题 解析 :由 S 1|1 22 |=21 222 )co s|(| =21 222 )(| 21 2212122222121 )()( =21 2121 )( =21|特别地 ,若 A(x1,B(x2,则 S 1| 由此 还 可 得 :在 四边形 ,若对角线向量 (x1,(x2,则 四边形 面积 S=21| 子题类型 :(2014 年福建 高考试题 )已知双曲线 E:22(a0,b0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=( )求双曲线 E 的离心率 ; ( )如图 ,O 为坐标原点 ,动直线 l 分别交直线 l1,B 两点 (A,B 分别在第一、第四象限 ), 且 面积恒为 8,试探究 :是否存在 总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在 , 求出双曲线 E 的方程 ;若不存在 ,说明理由 . 分析 :本题 第 ( )问是简 单 问题 ,易求 ;对于第 ( )问 :设 直线 l:x=ty+m,可求点 A,B,从 可得 面积 ,再由 直线 曲线 E 只有一个公共点 ,联合求解 . 解析 :( )由 双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y= 双曲线 E 的离心率 e=221 5 ; ( )由 ( )知 ,双曲线 E:22,即 4 直线 l:x=ty+m,将 x=ty+(40,由 直线 l 与 双曲线 E 只有一个公共点 40,且 =640 4 (4a2+;由 x=ty+m与 y=2x A(122由 x=ty+m 与 y=B(22 S 1|(2212 (=|142228 |4代入 (4a2+ 得 :(4|40 双曲线 E:46. 点评 :利用 面积公式 S 1|简单方式是求顶点 A,B,或求向量 坐标 . 子题类型 :(2015 年上海高考 文 科 试题 )已知椭圆 ,过原点的两条直线 、 B 和 C、D,记 面积为 S. ( )设 A(x1,C(x2,用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 并证明 S=21| ( )设 l1:y=(33,33),S=31,求 ( )设 m,求 m 的值 ,使得无论 面积 S 保持不变 . 分析 :本题 第 ( )问是 证明三角形面积的向量式公式 ,第 ( )问是 三角形面积向量式公式的简单应用 ,第 ( )问是 三角形面积向量式公式的深入应用 . 解析 :( )由 A(x1, 直线 l1:y=11xy x,即 点 C 到直线 d=2121 2121|=2121 1221|;(法一 )由| 2121 S=21|AB|d=21|(法 二 )由 A(x1,C(x2, (x1,(x2, S=21| 1 222 )(| =21| ( )将 y=入 得 A(2211k,221 S=21|33221 332211k|=31 3|2 221 k k= ( )设 A(x1,C(x2,则 221122m A(x1,C(x2,椭圆 上 1=(m+4)(=(m+4)(m+4)m+4=0 m=点评 :利用 1|关键是求 A(x1,C(x2,曲线 C: 上两点 ,且 :(ab)ab(=1. 子题类型 :(2013年山东高考试题 )在平面直角坐标系 已知椭圆 ,焦点在 短轴长为2,离心率为22. ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )A,上满足 射线 与点 P,设 求实数 t 的值 . 分析 :本题 第 ( )问是简 单 问题 ,易求 ;对于第 ( )问 :可以利用椭圆的参数方程 ,设出点 A,B,然后 ,利用 三角形面积向量式 求解 . 解析 :( )设椭圆 C:222(ab0),由 2b=2,e=22122 a= 2 ,b=1 椭圆 C:22x+; ( )设 A( 2 ,B( 2 ,0 0) t=2 或332. 点评 :灵活运用抛物线与椭圆的参数方程 ,设点的坐标 ,是利用三角形面积向量式求解有关问题的重要方法 . 1.(2009年全 国高中数学联赛 江苏 初赛 试题 )在直角坐标系 直线 =0与椭圆49 22 =1交于 A,求以 O,F,A,B 为顶点的四边形的面积 . 2.(2005 年广东高考试题 )在平面直角坐标系 ,抛物线 y=点 O 的两不同点 A、 B 满足 图所示 ). ( )求 重心 G(即三角形三条中线的交点 )的轨迹方程 ; ( ) 面积是否存在最小值？若存在 ,请求出最小值 ;若不存在 ,请说明理由 . 3.(2015 年上海高考 理科 试题 )已知椭圆 ,过原点的两条直线 、 B 和 C、 D,记得到的平行四边形 面积为 S. ( )设 A(x1,C(x2,用 A、 C 的坐标表示点 C 到直线 并证明 S=2| ( )设 21,求面积 S 的值 . 4.(2008 年 全国 高 考试题 )设椭圆中心在坐标原点 ,A(2,0)、 B(0,1)是它的两个顶点 , 直线 y=kx(k0)与 交于点 D,与椭圆相交于 E、 F 两点 . ( )若 6求 k 的值 ; ( )求四边形 积的最大值 . 5.(2011年山东高考试题 )已知直线 :32x+22y=1交于 P(x1,Q(x2,不同点 ,且 面积 S26,其中 O 为坐标原点 . ( )证明 : ( )设线段 中点为 M,求 |最大值 ; ( )椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 SSS26？若存在 ,判断 形状 ;若不存在 ,请说明理由 . 6.(2011年全 国高中数学联赛试题 A)作斜率为31的直线 :436 22 =1交于 A,如图所示 ),且 P(3 2 , 2 )在直线 l 的左上方 . ( )证明 : 内切圆的圆心 在一条定直线上 ; ( )若 00,求 面积 . 由 F(- 5 ,0),将 =0代入49 22 =1得 :258=0 y=2514,2 A(514), B(0,2) (514),( 5 ,2) 面积 S=21|25 |=255772. ( )设 G(x,y),直 线 OA:y=入 y=x2=xA=k yA=A(k,由 理可得 B(1k) x= 31(y=31(1k) 9x2=1 重心 G 的轨迹方程 :9( )由 面积 S=21|k21k+21|k1+k|21 2=1 当 k= 1 时 ,. C ( )由 A(x1, 直线 l1:y=11xy x,即 点 d=2121 2121|=2121 1221|;(法一 )由 | 2|2 2121 S=|AB|d=2|(法 二 )由 A(x1,C(x2, B(D( (2 (2 S=|222 )(| =2| ( )设 A(x1,C(x2,则 直线 221122 22 21 A(x1,C(x2,椭圆 上 1=(2( |22 S=2| 2 . ( )由 椭圆 :42x+,直线 AB:x+2y=2 D(122k,122E(k,F(1422 k,1422 由6122k+1422 k=6(1422 k)1452 k=127k k=32或83; ( )由 (),(1442 k,1442 四边形 =21|442 k|=214122 2k+1=t (t1),则 S=2222 122112 2 2 ,当 t=2,即 k=21时 ,等号成立 . ( )设 3 2 3 2 0 2 ,则 S21|26| |;由 S26 | |=1 2或23 3 2 ,; ( )由 |+|=(5 (2|2+|=2(|+|)=10;又 2(2| (2|2+|=10 |25 |最大值 =25; ( )由 ( )知 ,若 S26,则 SS26 E 盾 ,故不 存 在点 D,E,G,满足条件 . ( )设 A(62,B(62, , (0,2 ), ;由 1 ) =31 + =27 + )=-1, 3+23=31)2c