14_5042172_26.长方体的模型功能之底面为直角梯形的四棱锥

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 长方体的模型功能之底面为直角梯形的四棱锥 模型解题法之 五 底面为直角梯形的四棱锥自 2001 年出现于高考试题后 ,逐 渐 成为是高考试题的重要载体 ;由于直角梯形可补形为矩形 ,所 以 ,底面为直角梯形的四棱锥是长方体的子体 ,长方体 模型可衬 托 该 子体的 结构特征 . 母题结构 :在如图所示的 长方体 中 ,试分析以 直角梯形 底面 ,且一侧面与底面垂 直 的四 棱锥的 可能情况 . 母题 解 析 :以顶点在底面上的射影 点位置分类 : 1 1 . 子题类型 :(2013 年 福 建高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,平面 B B C=5, 00. () 当正视方向与向量 方向相同时 ,画出四棱锥 正视图 (要求标出尺寸 ,并写出演算过程 ); () 若 M 为 中点 ,求证 :平面 ( )求三棱锥 D 体积 . 解析 :( )把 四棱锥 ,如图 ,过点 E 足为 E,则四边形 D=3,D= 4, ;在 , 00 3 正视图如图所示 ; () 取 点 N,则 1D 四边形 平行四边形 平面 平面 ( )三棱锥 D 体积 V=三棱锥 P 体积 =31 3 . 点评 :对 底面为直角梯形的四棱锥的认识 ,最有效的途径是把四棱锥放置到长方体 中 ,依托长方体模型 ,把 握 其结构 . 题 子题类型 :(2008年 福 建高考试题 )如图 ,在四棱锥 侧面 面 侧棱 D= 2 ,底面 直角梯形 ,其中 B D=2,O 为 点 . ( )求证 :面 ( )求异面直线 D 所成角的余弦值 ; ( )求点 A 到平面 距离 ; 解析 :( )把 四棱锥 ,如图 ,由 D,O 为 点 侧面 面 面 ( )由 D=2C=四边形 平行四边形 面 异面直线 成的角 ;由 2 , 3 6; ( )由 点 2倍 的 点 h;由 D= P=2 3;由 1h=3121h=33 点 A 到平面 距离 =332. 点评 :以底面为直角梯形的四棱锥为载体的距离问 题 (包括体积 )是文科高考的热点 ,对点面距离可利用换底法求解 . 子题类型 :(2014年 浙江 高考试 题 )如图 ,在四棱锥 平面 平面 00,D=2,2 . ( )证明 :平面 ( )求直线 平面 成的角的正切值 . 解析 :( )把 四棱锥 ,如图 ,在 直角梯形 ,由 ,E=1 2 ,由 2 , 平面 面 平面 ( )作 F,由 平面 平面 直线 50 F=22 23 26 313 直线 平面 成的角的正切值 =1313. 点评 :对以底面为直角梯形的四棱锥为载体的成角问 题 ,一般首先作出待求 角 ,然后分析求解 . 1.(2011年 福 建高考试题 )如图 ,四棱锥 面 B 且 ( )求证 :面 ( )若 B=1,2 , 50,求四棱锥 体积 . 2.(2010 年 江 苏高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,面 D=C=1, 00. ( )求证 :( )求点 A 到平面 距离 . 3.(2006 年 浙江 高考试题 )如图 ,在四棱锥 ,底面为直角梯形 , 00, 面 D=、 N 分别为 中点 . ( )求证 :( )求 平面 成的角 . 4.(2007 年 陕西 高考试题 )如图 ,在底面为直角梯形的四棱锥 , 00, 面 A=3, 3 ,. ( )求证 :平面 ( )求二面角 大小 . ( )由 面 面 面 ( )由 2 , 50 E=1 直角梯形 面 积 =25 四棱锥 体积 V=65. ( )由 面 00 面 C 平面 ( )由 点 A 到平面 距离 =2 倍的 点 D 到平面 距离 =2 倍的 点 D 到 距离 = 2 . ( )由 00 面 平面 B, N 平面 ( )由 平面