14_5042187_12.利用正方体模型.解正四面体试题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 利用正方体模型 模型 解 题 法 之 一 正方体 的图形对 称完美 ,具有其它 图形 难以企及的独特性质 ,正方体是 立体几何的核心模型之一 ;正四面体是最为简约而又优美的多面体 ,正四面体 中的问题是高考的热点 问题 ;任意 正四面体 都可放置于 正方体 中 ,正四面体 与 正方体 可完美结合 ,利用 正方体 模型 可妙 解 正四面体的有关问题 . 母题结构 :已知 棱长为 a 正四面体 ,则 :外接正方体的棱长为22a(正四面体 对棱间的距离为22a); 正四面体的高 =36a(外接正方体体的对角线长的32); 正四面体的体积为122 侧棱与底面所成的角 满足 31; 相邻两面所成的二面角 满足 31; 正四面体对棱中点的连线 正好是这两条对棱的公垂线段 . 母题 解 析 :把 正四面体 方体 如图 , 设 正方体 的 棱长为 x,则 由 x2+x2=x=22a; 由 正四面体的高 =正方体体的对角线长的32=32 3 x= 36a; 正四面体的体积 =1122 侧棱 与 1; 相邻两面 =1D 的 夹角 31; 由 正四面体 与 正方体体的 中心重合知其正确 . 子题类型 :(1990年全国高考试题 )如图 ,正三棱锥 如果 E、 为 那么异面直线 ) (A)900 (B)600 (C)450 (D)300 解析 :由 正三棱锥 侧棱与底面边长相等 正三棱锥 正四面体 ,把 其放 置于 正方 体 中 ,如图 ,由 正方体的侧棱 ,而正方体的侧棱 与 450 异面直线 等于 C). 点评 :正方体的 面的对角线 中 ,互相异面的两条对角线的 四个顶点构成 四面体 ,以正方体的顶点 为顶点的正四面体有两个 . 子题类型 :(2009 年 江西 高考试题 )如图 ,正四面体 顶点 A,B,C 分别在两两垂直的三条 射线 y, ,则在下列命题中 ,错误的为 ( ) (A)(B)直线 面 C)直线 50 (D)二面角 50 解析 :补形为 正方体 直线 直线 角 =450;二面角 平面角是 50;直线 平面 平行 ;故选 (B). 点评 :把正四面体放置于正方体中 ,不仅 使得正四面体的各种关系直观的呈现在我们的面前 ,而且 扩 大了我们的解题空间 . 子题类型 :(2012 年全 国高中数学联赛陕西 初赛试题 )在正四面体 ,平面 足为 是线段 且满足 ,则 . 解析 :由 正四面体 的性质知 :O 是 正 中心 ,不妨设 正四面体 棱长为 a,OM=h,则 36a,C=33a C=2231 ;又由 2(31a2+h=66a 6a. 点评 :正四面体有 许多特殊 的性质 ,这些特殊 的性质 是构成各层次考试试题的落脚点 ,利用 正方体 模型可以巧 解 这类试题 ,这也是 正方体 模型 的 功能所在 . 1.(1998 年上海高考题 )棱长为 2 的正四面体的体积为 . 2.(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )用棱长为 a 的正方体 ,削成一个体积最大的正四面体 ,这个正四面体的表面积是 ( ) (A)43 (B)23 (C) 3 (D)2 3 .(1994 年 第 五 届“希望杯”全国数学邀请赛 高 二 试题 )以正方体 ,此四面体的表面积与正方体的表面积之比为 ( ) (A)42(B)33(C)23(D)3325.(2005年全 国高中数学联赛福建 初赛试题 )正四面体 ,正四面体 对称 ,则这两个正 四面体的公共部分的体积为 . 6.(2005 年 北京 高考试 题 )在正四面体 ,D、 E、 F 分别是 中点 ,下面四个结论中不 成立 的是 ( ) (A)平面 (B)平面 (C)平面 平面 (D)平面 平 面 .(1993 年第四届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题 )在各棱长度相等的三棱锥 ,D 是异面的棱 ,M,N 分别是 D 的中点 ,则 成角的度数是 . 8.(2014 年 大纲 高考试题 )已知正四面体 ,E 是 中点 ,则异面直线 成角的余弦值为 ( ) (A)61(B)63(C)31(D)339.(1995 年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 )正四面体 棱长是 16,E 是棱 中点 ,F 在棱 ,若 ,则线段 长等于 . 10.(2005年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 )正四面体 棱 、 F,若 F=2线段 由 体积 V=12222. 由 正四面体 的棱长 = 2 a 正四面体的表面积 =421( 2 a)2 3 D). 设 正方体 长 =a,则 正方体的表面积 四面体的表面积 3 2 33 B). 由 正四面体 正四面体的 的棱长 = 2 3 ,在正方体 正四面体 方体 O 对称 正方体 长 =3 ,正四面体 正四面体 以 正方体 个面的中心为顶点的正八面体 体积 =3121(33 )23 =