16_4256762_5.椭圆共轭直径的基本定理及应用VIP

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 椭圆共轭直径的基本 定理及应用 由椭圆共轭直径的基本定理生成 的 高考试 题 连结椭圆上任意两点的线段叫弦 ,过椭圆中心的弦叫直径 ,如图 ,平行于直径 由 共扼直径的 基本定理及其 两个推论 已生成一类高考试题 . 母题结构 :(基本 定理 )己知 椭圆 G:222(ab0)的一对共扼直径 ,其斜率分别为 22母题 解 析 :设 (x1,F(x2,(x0,直线 EF:y=kx+t,其中 ,k= y=kx+圆 (b2)a2(0 1(x1+ y0=t=+t=2222 点 P 的轨迹为一条直线 (记为 y=x 2222由 基本 定理 可得如下两个推论 : 推论 (中点性质 ):若 椭圆 G:222(ab0)的 任意一条 弦 ,P 为 中点 ,O 为 椭 圆 G 的中 心 ,则 22点 B 的 直径 与 在 的 直径 是 一对共扼直径 ); 推论 (直径 性质 ):若 椭圆 G:222(ab0)的 任意一条 直径 ,A 为 椭圆 G 上 的 任意一 点 ,则 22点 P,则 2222 子题类型 :(2005 年上海 春招 试题 )( )求右焦点坐标是 (2,0),且经过点 ( 2 )的椭圆的标准方程 ; ( )已知椭圆 C 的方程是222(ab0)k 的直线 l 交椭圆 C 于 A、 B 两点 ,中点为 当直线 动点 M 在一条过原点的定直线上 ; ( )利用 ( )所揭示的椭圆几何性质 ,用作图方法找出下面给定椭圆的中心 ,简要写出作图步骤 ,并在图中 标出椭圆的中心 . 解析 :( )设椭圆的标准方程为222(ab0),由 a2=,24a+22b=1 , 椭圆方程 :82x+42y=1; ( )设 A(x1,B(x2,M(x0,直线 l:y=kx+t, 代入222 得 :(b2)a2(0 1(x1+ y0=t=+t=2222 点 M 在过原点的定 直线 y=x 上 ; ( )如图 ,作两条平行直线分别交椭圆于 A、 、 D,并分别取 中点 M、 N,连接直线 又作两条平行直线 (与前两条直线不平行 )分别交椭圆于 1、 分别取 接直线 么直线 即为椭圆中心 . 点评 :实质上 ,共扼直径的定义建立在如下事实之上 :椭圆平行弦的中点轨迹是 过原点的直线 ;该 结论在双曲线中也成立 ,所以 ,类似的可定义双曲线 的共扼直径 ,并可得到其共扼直径的基本定理及其两个推论 . 子题类型 :(2010 年上海高考试题 )已知椭圆 的方程为222(ab0),点 P 的坐标为 (-a,b). ( )若直角坐标平面上的点 M、 A(0, B(a,0)满足 21(,求点 M 的坐标 ; ( )设直线 l1:y=p 交椭圆 于 C、 D 两点 ,交直线 l2:y=点 E.若 22明 :D 的中点 ; ( )对于椭圆 上的点 Q(0b0)的 左、右两个焦点 . ( )若 椭圆 C 上的点 A(1,23)到 2两点的距 离 之和等于 4,写出 椭圆 C 的 方程 ; ( )设点 K 是 ( )中所得椭圆上的动点 ,求线段 中点的轨迹方程 ; ( )已知椭圆具有性质 :若 M、 上关于原点对称的两个点 ,点 P 是椭圆上任意一点 ,当直线 斜率都存在 ,并记为 那么 位置无关的定值 ,试对双曲线22,写出具有类似特性的性质 ,并加以证明 . 解析 :( )由 2a=4 a=2;又由点 A 在椭圆 C 上 椭圆 C:42x+32y=1; ( )由 1,0),设线段 中点 P(x,y),则 K(2x+1,2y)4 )12( 2x+342y=1,即为所求的轨迹方程 ; ( )类似的性质为 :若 M、 N 是双曲线 :22 上关于原点对称的两个点 ,点 P 是双曲线上任意一点 ,当直线 斜率都存在 ,并记为 么 位置无关的定值 ;证明如下 :设点 M(m,n),点 P(x,y),则点 N(n), 其中 ,22,mx mx =2222mx ;由 222ab( 2点评 :推论 类似 于圆的直径性质 :圆上任一点与一直径两端点连线斜率之积 =题指出 双曲线中也 存在“对偶”性质 . 1.(2000 年上海高考试题 )已知椭圆 C 的焦点分别为 2 2 ,0)和 2 ,0),长轴长为 6,设直 y=x+2 交椭圆 C 于 A,求线段 中点坐标 . 2.(2001年上海 春招 试题 )已知椭圆 2y=1,点 P(a,b)的坐标满足 2b1 的直线 、B 两点 ,点 Q 为线段 中点 ( )点 Q 的轨迹方程 ; ( )点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数 . 3.(2015 年课标 高考试题 )已知椭圆 C:222(ab0)的离心率为22,点 (2, 2 )在 C 上 . ( )求 C 的方程 ; ( )直线 且不平行于坐标轴 ,有两个交点 A,B,线段 中点为 直线 斜率与直线 4.(2013年课标 高考试题 )平面直角坐标系 过椭圆 M:222(ab0)右焦点的直线 x+ =0交 ,P 为 中点 ,且 斜率为21. ( )求 M 的方程 ; ( )C,D 为 M 上两点 ,若四边形 对角线 四边形 积的最大值 . 5.(1986 年 广东 高考试题 )已知椭圆 C 的方程为42x+32y=1,试确定 使得对于直线 y=4x+m,椭圆上有不同的两点关于该直线对称 . 6.(1992 年 全国 高考试题 )已知椭圆222(ab0),A、 B 是椭圆上的两点 ,线段 垂直平分线与 x 轴相交于点P()2 0,求证 : 设椭圆 C:222(ab0),则 a=3,=9 椭圆 C:92x+;设 线段 (t,t+2),由 22 =t=中点 P(1). ( )设 Q(x,y),则 2xyax =2x2+ 点 Q 的轨迹方程 :2x2+; ( )当 y=0时 ,由 2x2+ x=0,a; 当 x=0 时 ,由 2x2+ y=0,b;当 a=b=0点 1;当 a=0,b 0,或 a 0,b=0时 ,点 2;当 0点 3. ( )由 e=22122,24a+22b=1 , C 的方程 :82x+42y=1; ( )设直线 l:y=kx+m(0),A(x1,B(x2,将 y=kx+2y=1得 :(2) x1+1242y1+y2=k(x1+2m=1222M(2 2 21 直线 ( )由 直线 x+ =0与 2( 3 ,0) ;又 由 2221 , 62x+32y=1; ( )由 x1+34, |364;设直线 CD:y=x+n(n 3 ),C(x3,D(x4,把 y=x+2y=1得 : 3 x3+4n, 62 2n | 2 |3429 n 四边形 面积 S=21|968 29 n 当 n=0 时 ,S 取得最大值 =368. 设 A、 B 是椭圆 C 上关于直线 y=4x+m 的 对称点 ,且直线 直线 y=4x+m 交于点 P(x0,则 P 为 中点 ,由直线y=4x+m 的斜率 =4 41;由 2203 由 x0+m m,3m P(3m);由 点 P 在 椭圆 3(+4(12 m (3132). 设 中点 Q(x1,则 1 1 1 01;由 22 111- 22 2 22 点Q(x1, 椭圆