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中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 关于数列 (1+n1)n的 三个 问题 利用 指 数 、 对 数不等式 研究数列 (1+n1)n 数列 (1+n1)n是微积分中的一个重要数列 ,也是高考命题的一个重要支点 ,利用指数、对数不等式可以解决该数列的三个问题 . 母题结构 :己知 数 列 1+n1)n 和 1+n1)n+1(n N,n 1),则 :( )(单调性 )an, f(x)=1在 ()和 (0,+ )上递减 (由 f (x)=21x 1+x)f( (n+1)+11n)+ an;g(x)=x 11( 在 ()和(0,+ )上递增 (由 g (x)=21x+x)0,即证 ) g(11n)0)1 xg(x)g(0)=0 f (x)=- 21x+1)+)1( 1 理可证 ( ). 点评 :本题是 对 数列 调性的最佳加强 ,关于数列 单调性问题也应是高考的一个命题点 . 子题类型 :(2007 年 四川 高考试 题 )设函数 f(x)=(1+n1)x(n N,且 n1,x R).( )当 x=6 时 ,求 (1+n1)( )对任意的实数 x,证明 :2 )2()2( f (x)(f (x)是 f(x)的导函数 ); ( )是否存在 a N,使得 +n1)+2f (x); ( )由 ,又由 f (x) x12( )2( =( )11( 0 f(x)在 ()上单调递增 ;当 x (0,+ )时 ,由 +x) ,(1+x)m 1+ )对于 n 6,已知 (1- 31n)n21,求证 :(1-3nm)n(21)m,m=1,2, ,n;( )求出满足等式 3n+4n+ +(n+2)n=(n+3)n. ( )由 f (x)=1f(x)在 (- ,0)上 递减 ,在 (0,+ )上 递增 x+1,令 x=(1+n1)ne;( )112,2121 32,321 321 43,由此推测 : 21 21=(n+1)n(用数学归纳法 易 证 );( )由 ak =1 )(121 k )1(21 kk k = (k)(b1+ + (121b1+ +(n)(b1+ +(1n)21n) +(1n)1b+22b+ +1+11)11+21)2 +(1+n1)( )略 ;( )由 (1n)m 1-3(1-3nm)n (1n)21)m;( )当 n 6时 ,(1n)n+(1-3nn)n+ +
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