16_4256771_33.三弄对数不等式x÷(1+x)≤ln(1+x)≤x

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 三弄 对 数不等式 +x) x 不等式 +x) x 的 应用 技 法 当 x ,对 数不等式 +x) x 与 指 数不等式 x+1等价 ,实质上 ,对 数 函数 +x)还存 在 下界函数 ,由 对 数 函数 +x)的上、 下界函数 己生成 一类绝 佳 的高考试题 ,我们 现在 关心的 她生成高考试题的 可能 方向 . 母题结构 :当 x ,求证 : +x) x,当且仅当 x=0时 ,等号成立 . 母题 解 析 :当 x ,由 x+1 x ln(x+1) +x) x,当且仅当 x=0 时 ,等号成立 ;令 f(x)=+x),则 f (x)=x11( 1x=2)1( f(x)在 ()內 递减 ,在 (0,+ )递增 f 极小值 (x)=f(0)=0 f(x) 0 +x),当且仅当 x=0 时 ,等号成立 . 证明不等式 子题类型 :(2008 年 山东 高考试题 )已知函数 f(x)=( 1+其中 n N*,a 为常数 . ( )当 n=2 时 ,求函数 f(x)的极值 ; ( )当 a=1 时 ,证明 :对任意的正整数 n,当 x 2 时 ,有 f(x) 解析 :( )f(x)的定义域为 (1,+ ),当 n=2 时 ,f(x)=2)1( 1x+ f (x)=32)1( )1(2 x ;当 a 0 时 ,f (x)0时 ,由 f (x)=0 +,1令g(x)=f(x) g (x)=ln(x+1)+1 g (x)=0 x=g(x)在 (0, 单调递减 g(x)0. 解析 :( )f(x)的定义域为 ( );由 f(x)=x+m) f (x)=;由 x=0 是 f(x)的极值点 f (0)=0 m=1 f (x)=x f(x)=)1( 1x0 f (x)在 ( )内单调递增 当 x ()时 ,f (x)f (0)=0 f(x)在 (0,+ )内单调递增 ; ( )当 m 2 时 ,f(x)=x+m) x+2),故只需证明 :f(x)=x+2)0;由 x+1,ln(x+2) x+1 f(x)0. 点评 :联用指 数不等式 x+1 与 对数不等式 +x) 含 1.(2010 年全国 高考试题 )已知函数 f(x)=(x+1). ( )若 (x) x2+,求 a 的取值范围 ; ( )证明 :(f(x) 0. 2.(2007 年 山东 高考试 题 )设函数 f(x)=x2+x+1),其中 b 0.( )当 b21时 ,判断函数 f(x)在定义域上的单调性 ; ( )求函数 f(x)的极值点 ; ( )证明对任意的正整数 n,不等式 ln()21 3.(2004 年全国 高考试题 )已知函 数 f(x)=+x)-x,g(x)=( )求函数 f(x)的最大值 ; ( )设 00;当 x 1 时 ,f(x)=(x+ 1)=x(由 1 0 (f(x) (f(x) 0. ( )由 f(x)的定义域为 ( ),f (x)=2x+12x(x+21)2+412b0 f(x)在 ( )上单调递增 ; ( ) 当 b21时 ,f (x) 0 f(x)在 ( )上 递增 f(x)无极值点 ; 当 0- 1, 211 b f(x)有一个极大值点 当 n,下面 证明 :11n21n3n2(立 ; ( )由 f(x)=