16_4256776_65.立体几何问题的基底向量解法

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 立体几何问题的基底向量解法 基底向量解法 的 应用程序 不需要建系求点的坐标 ,直接利用向量也可解决立体几何问题 ,我们称其为基底向量法 ;基底向量法的理论基础是基底定理 ,基底向量法为我们提供了解决立体几何问题的又一利器 ,尤其是对“不规则” 的 几何 体最为有效 . 母题结构 : 如果 a、 b 是平面内二个不共线向量 ,那么存在唯一的一组实数(x,y),使得 x=xa+如果点 则三点 A、 B、 其中 , + =1. 如果 a、 b、 c 是空间内三个不共面的向量 ,x 是空间内的任意向量 ,那么存在唯一 的一组实数 (x,y,z),使得x=xa+yb+如果点 则四点 A、 B、 C、 其中 , + + =1. 解 题 程序 :寻找确定三个不共面 (最好具有公共始点 )且模长及两两夹角已知或可求的向量作为基底向量 ;将待求的有关向量用基底向量表示 ;利用向量关系 和计算求解 有关 问题 . 子题类型 :(2014 年 大纲 高考试题 )已知正四面体 ,E 是 中点 ,则异面直线 成角的余弦值为( ) (A)61(B)63(C)31(D)33解析 :设 正四面体 棱长为 2,2a,2b,2c,则 |= 3 , 2c(|63 B). 点评 :对于 正 四面体 ,可 选择 任意一个顶点上的三条棱 上的 向量 a,b,c 为基底向量 ,若 |a|=|b|=|c|=2,则 ab=bc=. 子题类型 :(2009年全国 高考试题 )已知三棱柱 则异面直线 ) (A)43(B)45(C)47(D)43解析 :不 妨设棱长为 2,选择基向量 1,则 |= 3 , 1 1 1 1( 1= 3 D). 点评 :若 几何体中存 在三条两两 垂直的 线段 ,且 其 长度的比是确定的 ,则 可 选择 这 三 条 线段 上的 向量为基底向量 . 子题类型 :(2008年 四川 高考试题 )若三棱柱的一个侧面是边长为 2的正方形 ,另外两个侧面都是有一个内角为 600的菱形 ,则该棱柱的体积为 ( ) (A) 2 (B)2 2 (C)3 2 (D)4 2 解析 :设 11a, 11b, c,作 底面 ,设 (a+b),则 (a+b);由 11 0 aa+b)=0 =31 a+b) |=362 该棱柱的体积 =2 2 B). 点评 :若 几何体中存 在三条两两 夹角已 知 的 线段 ,且 其 长度的比是确定的 ,则 可 选择 这 三 条 线段 上的 向量为基底向量 . 1.(1995 年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 )正四面体 棱长是 16,E 是棱 中点 ,F 在棱 ,若 ,则线 段 长等于 . 2.(2005年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 )正四面体 棱 、 F,若 F=2线段 3.(2005年全 国高中数学联赛山东 初赛试题 )已知正四面体 1F=41则直线 弦值 是 ( ) (A)134(B)133(C)2012 年全 国高中数学联赛陕西 初赛试题 )在正四面体 ,平面 足为 是线段 一点 ,且满足 ,则 . 5.(2005年全 国高中数学联赛 试题 )空间四点 A、 B、 C、 |=3,|=7,|=11,|=9,则 的取值 ( ) (A)只有一个 (B)有二个 (C)有四个 (D)有无穷多个 6.(2008年全 国高中数学联赛湖北 初赛试题 )已知正三棱锥 ,其外接球的球心 A + =0,则这个正三棱锥的体积为 . 7.(2012年 大纲 高考试题 )三 棱 柱 底面边长和 侧棱长都相等 , 00,则异面直线 . 8.(2010年全 国高中数学联赛 试题 )正三棱柱 条棱长都相等 ,二面角 ,则 . 9.(2007 年全 国高中数学联赛安徽 初赛试题 )平行六面体 顶点 A 出发的三条棱 长度分别为2、 3、 4 且两两夹角都为 600,那么这个平行六面体的四条对角线 按顺序 )分别为 . 10.(1992年 上海市高中数学竞赛 (新知杯 )试题 )在平行六面体 已知对角线 ,是空间一点使,则 . 设 8a,8b,8c,则 |a|=|b|=|c|=2,ab=bc=,25b+211|= 137 . 设 3a,3b,3c,则 |a|=|b|=|c|=2,ab=bc=,2b+|= 23 . 设 正四面体 的棱长 为 4,a,b,c,则 41F =3b+41c |2=(41a- c)2=13,|2=(3b+41c)2=13, (413b+41c)=4 (A). 设 a, b, c,则 31(a+b+c),设 (a+b+c),则 (a+b+c) (a+b+c)M =0 ( -1)( + 2 2+ -1) 2 ( -1) =61 1. 设 a,b,c,则 |a|=3,|7,|11,|c|=9 ,9,2