16_4256779_57.直线合成的二次曲线系方程及其应用

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 直线合成 的 二次曲线系方程及其应用 由 完全四边形 的 两对“直线对”合成 的 曲线系 我们 把完全四边形的每组相对的边和两条对角线称为一对“直线对” ;利用 完全四边形的 两对“直线对” 合成 的 二次曲线系这一技巧处理一些具有深度的解析几何问题 ,有 化繁为简、 简洁明快的优点 . 母题结构 :己知 完全 四边形 对“直线对” 方程分别为 :,则 过四边形 个顶点 A、 B、 C、 D 的二次线系 G:(0. 母题 解 析 :易证 ,在此从略 . 子题类型 :(2013 年 江西 高考 文科 试题 )椭圆 C:222(ab0)的离心率 e=23,a+b =3.( )求椭圆 ( )如图 ,A,B,的顶点 ,上除顶点外的任意点 ,直线 ,直线 P 于点 M,设 斜率为 k,斜率为 m,证明 :2定值 . 解析 :( )由 e=22123 a=2b,又由 a+b=3 a=2,b=1 椭圆 C:42x+; ( )设 N(n,0),则 AB:y=0,BP:,DP:,AD:=0 过 A,B,P,:(2)+ y(0 2- n)4;由曲线系 G 为 椭圆 C: ,4 =2k+1,n=12 24 由 AD:=0 与 BP: M(12 24 24 212 1. 点评 :当 四边形 (i=1,2,3,4)时 ,则过 A、 B、 C、 : . 子题类型 :(2011 年四川 高考 理 科 试题 )椭圆有两顶点 A()、 B(1,0),过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交与 C、D 两点 ,并与 x 轴交于点 C 与直线 于点 Q. ( )当 |232 时 ,求直线 l 的方 程 ; ( )当点 P 异于 A、 B 两点时 ,求证 : 定值 . 解析 :( )椭圆 2y=1,直线 l:y= 3 x+1; ( )设直线 CD:=0,AC:n=0,直线 BD:,则 P(),Q(,) ;由过A,B,C,D 四点的二次曲线系 G:y()+ (n)(0 -1)1+;由曲线系 G 为 椭圆 C:2x2+ ,1+ =1. 点评 :在四边形 ,两条对角线方程为 (i=1,2),其中一组对边方程为 (i=1,2),则过 A、 B、 C、 D 四点的二次线系 G: 或 . 个顶点处的切线 合成 子题类型 :(2015 年 陕 西 高考试题 )如图 ,椭圆 E:222(ab0)经过点 A(0, 且离心率为22.( )求椭圆 E 的方程 ; ( )经过点 (1,1)且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明 :直线 斜率之和为 2. 解析 :( )由 b=1,e=22122 椭圆 E:22x+; ( )设 直线 AP:,AQ:,PQ:,椭圆 E 在点 A 处的切线 :y+1=0,则 过 A,P,Q 三 点的二次曲线系G:( (y+1)( 1 x+(2- k)y+1+ (10;由曲线系 G 为 椭圆 E: ,2- k=0 k1+ k=2. 点评 :在 三条边方程顺次为 (i=1,2,3),曲线 处的切线 方程为 g=0,则过 A、 B、 C、 : 或 . 1.(2005 年 重庆 高考试题 )连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 (填写所有正确选项的序号 ).菱形 ;有 3 条边相等的四边形 ;梯形 ;平行四边形 ;有一组 对角相等的四边形 . 2.(2011 年四川 高考 文 科 试题 )过点 C(0,1)的椭圆222(ab0)的离心率为23,椭圆与 x 轴交于两点 A(a,0),B(),过点 C 的直线 l 与椭圆交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 直线 于点 Q. ( )当直线 l 过椭圆右焦点时 ,求线段 长 ;( )当点 P 异于点 B 时 ,求证 : 为定值 . 3.(2013年 江西 高考 理科 试题 )如图 ,椭圆 C:222(ab0)经过点 P(1,23),离心率 e=21, 直线 l 的方程为 x=4.( )求椭圆 C 的方程 ; ( )经过右焦点 F 的任一弦 (不经过点 P),设直线 直线 l 相交于点 M,记 B,斜率分别为 k1,k2,是否存在常数 ,使得 k1+k 3？若存在 ,求 的值 ;若不存在 ,说明理由 . 易知 正确 ,下面证明 : 不正确 ,实质上 ,只需证 不正确 ,可证其等价命题 :过一平行四边形四个顶点的二次曲线不是抛物线 ;设平行四边形的两组对边分别为 :ax+by+(i=1,2)和 y+(i=1,2)(a:b A:B),则过平行四边形的四个顶点的二次曲线系 G:(ax+by+ax+by+ (y+y+0,其中 A2, B2,系数为 2( 二次曲线系 G 是抛物线 , ,且 0, 0 或 , ,且 0, 0;由 ( + (=( (=0 a:b=A:B,矛盾 故选 . ( )椭圆42x+,|716; ( )由直线 AB:y=0,AC:x+2,设直线 BD:m=0,直线 CD:=0,则 P(),Q(4 24由过A,B,C,D 四点的二次曲线系 G:(x+2m)+ y()=0 2 n)+ )4m+2+ );由曲线系 G 为 椭圆 C: 2 n=0,4m+2+ =0 2(2m+1)n=2=2 24 . ( )由 e=22121 3 由21a+249b=1 , 椭圆 C:42x+32y=1; ( )由 F(1,0),设 直线 AB:,PA:m=0(m=23PB:n=0(n=2